初中数学《垂径定理》实用ppt北师大版1
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▪ 2、经历探索、操作、推理的过程，进一步 体会垂径定理在实际生活中的应用，培养 创新意识.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于M． (1)图5-17是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么 （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说理由。
C
M A
B
·O
D
图5-17
验证发现
[验证篇]
怎样用几何语言表达?
O
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB
A
⌒ ⌒⌒⌒ ∴ AE＝BE，AD= BD ，AC=BC
E
B
D
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
垂径指垂直于弦的直 径、半径、过圆心的
直线或线段
O
C
B
巩固练习
课本P17第2题
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O 到AB的距离及∠OAB的余弦值。
▪
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
26寸
总结归纳
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示， 弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
r2
d2
a
2
2
a
O
d
r
A
hE
B
若下面的弓形高为h则r、 d、h之间有怎样的关系?
r=d+h
垂径定理的推论
如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD，交AB于点M. (1)图形是轴对称图形吗？如果是，其对称轴M是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
则 AE=BE,CE=DE
证明：过O作OE⊥AB于E， •o
∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
A
C
┐E D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 往往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 做一做
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于 E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝， 求弦AB的长。
▪
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
▪
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
AD 1 AB 137.418.7, 22
37.4
▪
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
▪
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
九年级数学(下)第五章圆
5.3 垂径定理
赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱 桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
问题情境:你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
7.2
A
37.4
B
问题 ：它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m，
学习目标
▪ 1、利用圆的轴对称性探索垂径定理，识别 垂径定理的常见图形，并能利用垂径定理 进行画图、计算、证明.
已知：如图5-18，在⊙O中，AB是⊙O的一条弦，
CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M。
求证：AM＝BM，⌒AC = ⌒BC ,⌒AD= ⌒BD ,
C
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A M
B
·O
D
图5-18
归纳总结
• 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
C
▪
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
▪
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
▪
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
C
OD O CD CR7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D
B
O2AAD 2OD 2,
R
即 R 21.7 8 2(R 7 .2 )2.
解得 R≈27.9（m）. O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
Байду номын сангаас
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点，你认为AC和 BD的大小有什么关系？为什么？
OC 24mm
O
cos OAB 3 5
A
C
B
典例解析
如(中即图C图D，中=一60C⌒条0Dm公，,E路点为的oC⌒是转D弯C⌒上D处一的是点圆一，段心且圆)，弧其
OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段
弯路的半径。
C
E
FD O
对应练习
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中 的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯 锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”转化为现在的 数学语言就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足 为点E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．
C
A
B
·O
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直．径）的直径垂直于弦,
并且平 分弦所对的两条弧.
C
●O
A
EB
被平分的这条 弦不是直径
CD是直径 AE=BE
可推得
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
补充
实际上，垂直于弦，平分弦，直径 ，平分弦所对的一条弧，平分弦所 对的另一条弧这5个条件中，任知2 个，可得另3个。
A
F
D
OEC
B
体 会. 分 享
能说出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
教师寄语
▪ 爱因斯坦说过：提出一个问题往往比解决 一个问题更重要，对观察过的事物能提出 为什么，是我们解决问题走向创新的起点。
课堂小结
垂径定理
知识方面 数学思想方面 情感方面
垂径定理及推论 辅助线的构造
▪
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于M． (1)图5-17是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么 （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说理由。
C
M A
B
·O
D
图5-17
验证发现
[验证篇]
怎样用几何语言表达?
O
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB
A
⌒ ⌒⌒⌒ ∴ AE＝BE，AD= BD ，AC=BC
E
B
D
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
垂径指垂直于弦的直 径、半径、过圆心的
直线或线段
O
C
B
巩固练习
课本P17第2题
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O 到AB的距离及∠OAB的余弦值。
▪
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
26寸
总结归纳
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示， 弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
r2
d2
a
2
2
a
O
d
r
A
hE
B
若下面的弓形高为h则r、 d、h之间有怎样的关系?
r=d+h
垂径定理的推论
如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD，交AB于点M. (1)图形是轴对称图形吗？如果是，其对称轴M是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
则 AE=BE,CE=DE
证明：过O作OE⊥AB于E， •o
∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
A
C
┐E D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 往往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 做一做
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于 E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝， 求弦AB的长。
▪
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
▪
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
AD 1 AB 137.418.7, 22
37.4
▪
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
▪
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
九年级数学(下)第五章圆
5.3 垂径定理
赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱 桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
问题情境:你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
7.2
A
37.4
B
问题 ：它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m，
学习目标
▪ 1、利用圆的轴对称性探索垂径定理，识别 垂径定理的常见图形，并能利用垂径定理 进行画图、计算、证明.
已知：如图5-18，在⊙O中，AB是⊙O的一条弦，
CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M。
求证：AM＝BM，⌒AC = ⌒BC ,⌒AD= ⌒BD ,
C
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A M
B
·O
D
图5-18
归纳总结
• 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
C
▪
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
▪
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
▪
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
C
OD O CD CR7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D
B
O2AAD 2OD 2,
R
即 R 21.7 8 2(R 7 .2 )2.
解得 R≈27.9（m）. O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
Байду номын сангаас
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点，你认为AC和 BD的大小有什么关系？为什么？
OC 24mm
O
cos OAB 3 5
A
C
B
典例解析
如(中即图C图D，中=一60C⌒条0Dm公，,E路点为的oC⌒是转D弯C⌒上D处一的是点圆一，段心且圆)，弧其
OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段
弯路的半径。
C
E
FD O
对应练习
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中 的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯 锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”转化为现在的 数学语言就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足 为点E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．
C
A
B
·O
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直．径）的直径垂直于弦,
并且平 分弦所对的两条弧.
C
●O
A
EB
被平分的这条 弦不是直径
CD是直径 AE=BE
可推得
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
补充
实际上，垂直于弦，平分弦，直径 ，平分弦所对的一条弧，平分弦所 对的另一条弧这5个条件中，任知2 个，可得另3个。
A
F
D
OEC
B
体 会. 分 享
能说出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
教师寄语
▪ 爱因斯坦说过：提出一个问题往往比解决 一个问题更重要，对观察过的事物能提出 为什么，是我们解决问题走向创新的起点。
课堂小结
垂径定理
知识方面 数学思想方面 情感方面
垂径定理及推论 辅助线的构造
▪
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。