函数模型及其应用

由图4可以看出 所 由图 可以看出,所 可以看出 得模型与 1950~1959年的实 年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y =55196e0.0221t .t ∈N. 由计算可得
t ≈ 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
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计划生育， 计划生育， 利国利民
数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数 学模型，因二次函数可求其最大值（最 小值），故常常最优、最省等最值问题 是二次函数的模型。看书中117页的例 六。
r = (r1 + r2 +... + r9) ÷9 ≈ 0.0221
令y0 = 55196, 则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y = 55196 e 0.0221t .t ∈ N .
根据表格3中的数据作出散点图,并作出函数
y = 55196e0.0221t .t ∈N. 的图象(图4).
3.2.2 函数模型的应用实例
对比三种函数的增长差异
y = ax (a >1), y = log a x(a >1)和 = xn(n > 0) y 对于指数函数、对数函数、 对于指数函数、对数函数、幂函数
在区间（ ＋ ） 在区间（0,＋∞）上，尽管函数 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个” 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个”档次 “ y =ax(a >1) x y =log a x(a >1) x 的增大， 的增长速度越来越快， 上。随着 y =的增大， 的增长速度越来越快，会超过并 xn(n>0) x > x0 的增长速度， 远远大于 的增长速度，而 x 0 的增长速度 n x 则会越来越慢。因此， 则会越来越慢。因此，总会存在一个 ，当 时，就有
log a x < x < a
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口 的年平均增长率。
0
y = wk.baidu.com0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
年份
55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
5 5 1 9 6 (1 + r 1 ) = 5 6 3 0 0, 可 得 1 9 5 1 年 的 人 口 增 长 率 r1 ≈ 0 . 0 2 0 0 . 同理可得, r2 ≈ 0.0210,r3 ≈ 0.0229,r4 ≈ 0.0250, r5 ≈ 0.0197,r6 ≈ 0.0223,r7 ≈ 0.0276, r8 ≈ 0.0222,r9 ≈ 0.0184. 于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为
v/ (km/h)
图1
90 80 70 60 50 40 30 20 10
0
1
2
3
4
5
解：（1）阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360km。
根据图1,有
s
这个函数的图象如图2所示。
t
例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口 数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早 在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
人数／ 万人
y = y0e
n (1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口 增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我 国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人 口数据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r 1 ,r 2 ,......,r 9 . 由