第2章线性方程组求解方法第2讲

y1 1 1 1 y2 3 3 y 34 3 5
1 2 3 x1 1 再解 5 9 x2 3 ,得 34 17 x 5 3 5
计算方法 2.3.1
线性代数方程组求解方法
直接三角分解法
将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元
素得到计算L、 U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤 ，这就是所谓的直接三角分解法。一旦实现了矩阵A的LU分
解，那么求解线性代数方程组Ax=b的问题就等价于求解两
个三角方程组 Ly=b，求y Ux=y，求x 的问题，而这两个线性代数方程组只要回代，就可以求出其
1 u11 u12 u13 u 22 u 23 l21 1 l l 1 u 33 31 32 l l l 1 n1 n 2 n 3
计算方法
线性代数方程组求解方法
克罗脱(Grout)分解
a11 a12 a21 a22 a 31 a32 an 1 an 2 ... a1n ... a2n a3n ... ann ... u1n ... u 2n ... u 3n 1
a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 a a ... a b nn n n1 n 2
u11 u12 ... u1n y 1 l21 u 22 ... u 2n y 2 l l ... u y nn n n1 n 2
设A
A=LU=L1U1 其中, L、L1 为单位下三角矩阵， U、 U1为上三角矩阵。由 于U１－1
计算方法
线性代数方程组求解方法
容易证明上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然为上(下)三角矩
阵，因而上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵，
故上式要成立，两边都必须等于单位矩阵，从而U=U1，
L=L1。证毕。
再确定U的第k行元素与L的第k列元素,对于k=2,3, …,n计 算：① 计算U的第k行元素
u kj a kj l kr u rj
r 1
k 1
（j=k,k+1,…,n）
② 计算L的第k列元素
l ik a ik l ir u rk
r 1 k 1
u kk
（i=k,k+1,…,n）
其中， L1=LD，U1=D－1U。对角矩阵D为可逆的非单位矩阵
，显然L1≠L， U1≠U。为了保证A的三角分解的唯一性，我 们有如下定理。
计算方法
线性代数方程组求解方法
定理2.9 如果非奇异矩阵A满足下列三个条件之一，
则矩阵A有唯一的杜利脱尔分解A=LU和唯一的克罗脱分解 。
(1) A的各阶顺序主子式det(Ak)>0(k=1, 2, …，n)；
(2)
(3) A为对称正定矩阵。
计算方法
线性代数方程组求解方法
证明 仅给出条件(1)下杜利脱尔分解唯一性的证明，
其余情形读者可练习证明。 根据以上高斯消去法的矩阵分析，当det(Ak)>0(k=1, 2, …, n)时，杜利脱尔分解过程可以进行到底，即A=LU的存在 性已证。以下证明分解的唯一性。
l32=(a32-l31*u12)/u22=(3-1*2)/1=1
第三步有：
u33=a33-u13*l31-u23*l32=6-3*1-2*1=1
l33=1
计算方法
线性代数方程组求解方法
x1 2 x3 3 x4 1 2 x1 x2 3 x 3 5 3 x 2 x 2 x 1 2 3 1
计算方法
线性代数方程组求解方法
2.3 矩阵的三角分解
由线性代数知道，对矩阵进行一次初等变换，就相当于
用相应的初等矩阵去左乘或右乘原来的矩阵。因此，我们把
上述求解线性代数方程组的高斯消去法用矩阵乘法表示出来
，即可得到求解线性代数方程组的另一种直接方法——矩阵 的三角分解法。
计算方法
线性代数方程组求解方法
x1 1 x2 3 3 x 2 2 2 3
计算方法
线性代数方程组求解方法
于是有
1 0 0 L 1 1 0 1 1 1
解。
计算方法
线性代数方程组求解方法
用三角分解法解方程组 求解线性方程组Ax=b时,先对非奇异矩阵A进行LU分解 使A=LU，那么方程组就化为 LU x=b 从而使问题转化为求解两个简单的的三角方程组 L y=b 求解 y U x=y 求解 x 这就是求解线性方程组的三角分解法的基本思想。下面介绍 杜利特尔（Doolittle）分解法。设A=LU为
计算方法
线性代数方程组求解方法
所以 1 2 3 1 2 3 1 A 2 1 3 2 1 5 9 3 2 2 3 8 1 17 先解 2 1 y2 5 ,得 3 8 1 y 1 5 3
其中,
为单位下三角矩阵。
计算方法
线性代数方程组求解方法
由以上讨论可知，高斯顺序消去法实质上产生了一个将
A分解为两个三角形矩阵相乘的因式。为明确起见，对矩阵 的三角分解有如下定义。 定义2.4 设A为n(n≥2)阶方阵，称A=LU为矩阵A的三 角分解，其中L是下三角矩阵， U是上三角矩阵。
定义2.5 若L是单位下三角矩阵， U是上三角矩阵，
1 2 3 U 0 1 2 0 0 1
由Ly=b得y=(2, 1, 1)T；由Ux=y得x=(1，－1，1)T。
n3 直接三角分解法大约需要 次乘除法运算，与高斯顺 3
序消去法的计算量基本相同。
计算方法
线性代数方程组求解方法
实际计算中，将L和U以及Y存放在一个矩阵中
解 设
1 2 3 1 0 1 3 5 l 21 1 1 3 6 l31 l32
0 u11 u12 0 u 0 22 1 0 0
u13 u23 u33
计算方法
线性代数方程组求解方法
第一步有：
u11=1, 第二步有： u22=a22-u12*l21=3-2*1=1 u23=a23-u13*l21=5-3*1=2 u12=2, u13=3 l21=1, l31=1
由矩阵乘法规则
a1i u1i
ai1 li1u11
i 1,2,, n
i 2,3,, n
由此可得U的第1行元素和L的第1列元素
u1i a1i
li1 ai1 u11
i 1,2,, n
i 2,3, , n
计算方法
a11 a11 a 21 a 22 a n1 a n 2
线性代数方程组求解方法
a11 1 l a2n 1 21 a nn l n1 l n 2 1 u11 u12 u1n u u 22 2 n u nn
l11 1 u12 u13 1 u 23 l21 l22 l l l 1 31 32 33 l l l l nn n1 n 2 n 3
计算方法
线性代数方程组求解方法
应该注意的是，矩阵A=LU的三角分解是不唯一的，如
3 用直接三角分解法解Ax=b大约需要 n / 3 次乘除法。
计算方法
线性代数方程组求解方法
例2.4 用杜利脱尔分解法求线性代数方程组的解： 1 2 3 x1 2 1 3 5 x 3 2 1 3 6 x3 4
例 利用三角分解方法解线性方程组
解 因为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A 2 1 3 2 2 5 3 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 9 2 5 9 2 5 9 3 8 3 8 17 3 5 5 5
A
( k 1)
一般第k步消元后， A ( k ) 化为
为A(k+1)，b(k)化为b(k+1)，相当于
，其中A(k)化
LkA(k)=A(k+1)，
其中，
Lkb(k)=b(k+1)
计算方法
线性代数方程组求解方法
(2.8)
其中,
计算方法
线性代数方程组求解方法
将上三角形矩阵A(n)记为U，由(2.8)
(i n 1, ,2,1)
计算方法
线性代数方程组求解方法
显然, 当 ukk 0(k 1,2,, n) 时, 解Ax=b直接三角分解法 计算才能完成。设A为非奇异矩阵, 当 u kk 0 时计算将中 断或者当 u kk 绝对值很小时，按分解公式计算可能引起舍 入误差的积累，因此可采用与列主元消去法类似的方法 ，对矩阵进行行交换，则再实现矩阵的三角分解。
设(2.1)式的系数矩阵A∈Rn×n的各阶顺序主子式均不为 0。由于对A施行初等行变换相当于用相应的初等矩阵左乘 矩阵A，因此对(2.1)式施行第一次消元后，
A (1)
化为
A
( 2)
，其中A(1)化为A(2) ，b(1)化为b(2)，即
计算方法
线性代数方程组求解方法
其中，
计算方法
线性代数方程组求解方法
计算方法
线性代数方程组求解方法
利用上述计算公式便可逐步求出U与L的各元素 求解 Ly=b , 即计算:
y1 b1 i 1 y i bi l ik y k k 1 (i 2,3, , n)
求解 Ux=y , 即计算：
yn xn u nn n y i u ik x k k i 1 x i u ii
则三角分解A=LU称为杜利脱尔(Doolittle)分解；若L是下三
角矩阵， U是单位上三角矩阵，则称A=LU为克罗脱(Grout)
分解。
计算方法
线性代数方程组求解方法
杜利脱尔(Doolittle)分解
a11 a12 a21 a22 a 31 a32 an 1 an 2 ... a1n ... a2n a3n ... ann ... u1n ... u 2n ... u 3n u nn
计算方法
a11 a11 a a 21 22 an1 an 2
线性代数方程组求解方法
a11 1 l 1 a2n 21 ann l n1 l n 2 1 u11 u12 u1n u u 22 2n u nn