等差数列的概念及性质

等差数列的概念及性质
一．选择题（共12 小题）
1．等差数列 { a n} 中， a2＝7， a6＝ 23，则 a4＝（）
A ．11
B ．13C． 15D． 17
2．在等差数列 { a n} 中， a4＝ 6， a3+a5＝ a10，则公差 d＝（）
A．﹣1 B ．0C． 1D． 2
3．等差数列 { a n} 的前 n 项和为S n，且 a8﹣ a5＝ 9， S8﹣S5＝ 66，则 a33＝（）
A ．82
B ．97C． 100D． 115
4．在等差数列 { a n} 中，已知 a2+a5+a12+a15＝ 36，则 S16＝（）
A ．288
B ．144C． 572D． 72
5．已知 { a n} 为递增的等差数列，a4+a7＝ 2， a5?a6＝﹣ 8，则公差 d＝（）
A ．6B．﹣ 6C．﹣ 2D． 4
n1与 a11的等差中项是 15， a123＝9，则a9＝（）6．在等差数列 { a } 中，已知a+a +a
A ．24
B ．18C． 12D． 6
7．已知等差数列
n n，且a18 12＝12，则S13＝（）{ a } 的前 n 项和为 S+a +a
A ．104
B ．78C． 52D． 39
8．等差数列 { a n} 的前 n 项和为S n，若 a1＝ 3，S5＝ 35，则数列 { a n} 的公差为（）A．﹣2 B ．2C． 4D． 7
9．在等差数列 { a n} 中，若 a3+a5+2 a10＝4，则 S13＝（）
A ．13
B ．14C． 15D． 16
10．在等差数列 { a n} 中，若2a8＝ 6+a11，则 a4+a6＝（）
A ．6
B ．9C． 12D． 18
11．等差数列 { a n} 中， a2与 a4是方程 x 2
﹣ 4x+3 ＝ 0 的两根，则a1+a2+a3+a4+a5＝（）
A ．6
B ．8C． 10D． 12 12．等差数列 { a n} 满足 4a3+a11﹣ 3a5＝ 10，则 a4＝（）
A．﹣5 B ．0C． 5D． 10二．填空题（共 5 小题）
13．数列 { a n} 中，若 a n+1＝ a n+3， a2+a8＝ 26，则 a12＝．
14．在等差数列 { a n} 中， a1+3a8+a15＝120，则 3a9﹣ a11的值为．
15．已知等差数列{ a n} ，{ b n} 的前 n 项和分别为S n，T n，若＝，则＝．
16．等差数列 { a n} 中，前n 项和为 S n， a1＜ 0， S17＜ 0， S18＞ 0，则当 n＝时，S n取得最小值．
17．等差数列 { a n} 、 { b n} 的前 n 项和分别为S n、 T n，若，则＝
三．解答题（共 5 小题）
18．已知等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，且 a3＝ 7， a5+a7＝26．
（Ⅰ）求a n及 S n；
（Ⅱ）令b n＝（n∈N+），求证：数列{ b n} 为等差数列．
19．已知等差数列{ a n} 满足 a1+a2＝ 10， a5﹣ a3＝ 4．
（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{ b n} 满足 b2＝a3， b3＝ a7，问： b6是数列 { a n } 中的第几项？
20．在等差数列
n n 为其前n项的和，已知a1 3＝ 22， S5＝45．{ a } 中， S+a
（1）求 a n， S n；
（2）设数列 { S n} 中最大项为 S k，求 k 及 S k．
21．观察如图数表，问：
（1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？
（2）此表第 n 行的各个数之和是多少？
（3） 2012 是第几行的第几个数？
22．（理）在△ ABC 中， a， b，c 分别是角A， B， C 的对边，且角B，A， C 成等差数列．
（1）若 a 2
﹣ c
2
＝ b
2
﹣ mbc，求实数 m 的值；
（2）若 a＝，求△ ABC 面积的最大值．
等差数列的概念及性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共12 小题）
1．等差数列 { a n} 中， a2＝7， a6＝ 23，则 a4＝（）
A ．11
B ．13C． 15D． 17
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{ a n} 中， a2＝ 7，a6＝ 23，
∴，解得 a1＝ 3，d＝ 4．
∴a4＝ a1+3d＝ 3+12＝ 15．
故选： C．
【点评】本题考查等差数列的第 4 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．在等差数列 { a n} 中， a4＝ 6， a3+a5＝ a10，则公差 d＝（）
A．﹣1 B ．0C． 1D． 2
【分析】根据等差数列的性质和通项公式即可求出
【解答】解：∵ a4＝ 6， a3+a5＝ a10，
∴2a4＝ a4+6d，
∴d＝ a4＝ 1，
故选： C．
【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题
3．等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 a8﹣ a5＝ 9， S8﹣S5＝ 66，则 a33＝（）
A ．82
B ．97C． 100D． 115
【分析】先求出公差 d，再根据求和公式求出a1＝ 4，即可求出 a33．
【解答】解：∵等差数列 { a n n，且a8﹣a5＝9，
} 的前 n 项和为S
∴3d＝9，
∴d＝ 3，
∵S8﹣ S5＝ 66，
∴ 8a 1+
× 3﹣5a 1﹣
×3＝ 66，
∴ a 1＝ 4，
∴ a 33＝ a 1+32d ＝ 4+32× 3＝ 100，
故选： C ．
【点评】 本题考查等差数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
4．在等差数列 n
2 5 12 15＝ 36，则 S 16＝（
）
{ a } 中，已知 a +a +a +a
A ．288
B ．144
C ． 572
D ． 72
【分析】 根据等差数列的性质和求和公式计算即可．
【解答】 解： a 2+a 5+a 12+a 15＝ 2（ a 2+a 15）＝ 36，
∴ a 1+a 16＝a 2+a 15＝ 18，
∴ S 16＝
＝ 8× 18＝ 144，
故选： B ．
【点评】 本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题
5．已知 { a n } 为递增的等差数列， a 4+a 7＝ 2， a 5?a 6＝﹣ 8，则公差 d ＝（
）
A ．6
B ．﹣ 6
C ．﹣ 2
D ． 4
【分析】 a 5， a 6
是方程 x 2
﹣ 2x ﹣8＝ 0 的两个根，且 a 5＜ a 6，求解方程得答案． 【解答】 解：∵ { a n } 为递增的等差数列，且 a 4+a 7＝2， a 5?a 6＝﹣ 8，
∴ a 5+a 6 ＝2，
∴ a 5， a 6 是方程 x 2
﹣2x ﹣ 8＝ 0 的两个根，且 a 5＜ a 6，
∴ a 5＝﹣ 2， a 6＝ 4，
∴ d ＝ a 6﹣ a 5＝ 6，
故选： A ．
【点评】 本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．
6．在等差数列 n
1 与 a 11 的等差中项是 15， a 1
2 3＝ 9，则 a 9＝（
）
{ a } 中，已知 a
+a +a
A ．24
B ．18
C ． 12
D ． 6
【分析】 利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出 a 9 的值．
【解答】 解：∵在等差数列 { a n } 中， a 1 与 a 11 的等差中项是 15， ∴
＝ a 1+5d ＝ 15，①
∴a1+d＝ 3，②
联立①②，得 a1＝ 0， d＝ 3，
∴a9＝ a1+8d＝ 0+24＝ 24．
故选： A．
【点评】本题考查等差数列的第 9 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．
7．已知等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 a1+a8+a12＝ 12，则 S13＝（）
A ．104
B ．78C． 52D． 39
【分析】数列 { a n 1 812 可以用首项和公差表示，进而得到a7，求出} 为等差数列，故 a +a +a
13．
S
【解答】解：因为已知等差数列 { a n n，且a18 12＝3a17＝12，
} 的前 n 项和为 S+a +a+18d＝ 3a 故 a7＝ 4，所以 S13＝＝13a7＝ 13×4＝ 52．
故选： C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差中项，前n 项和公式，属于基础题．n n，若a1＝3，S5＝35，则数列{ a n
8．等差数列 { a } 的前 n项和为 S
} 的公差为（）A．﹣2 B ．2C． 4D． 7
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵ a1＝ 3， S5＝ 35，∴ 5× 3+＝ 35，解得 d＝ 2．
故选： B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．在等差数列 { a n} 中，若 a3+a5+2 a10＝4，则 S13＝（）
A ．13
B ．14C． 15D． 16
【分析】由 a3+a5+2 a10＝ 4，可得 4a7＝ 4，解得 a7，利用 S13＝13a7即可得出．
【解答】解：∵ a3+a5+2 a10＝ 4，
∴ 4a7＝ 4，解得 a7＝ 1，
则S13＝13a7＝ 13．
故选： A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
10．在等差数列 { a n } 中，若 2a 8＝ 6+a 11，则 a 4+a 6＝（
）
A ．6
B ．9
C ． 12
D ． 18
【分析】 由等差数列 { a n } 中， 2a 8＝ 6+a 11，可得 a 5＝ 2a 8﹣ a 11，利用 a 4+a 6＝ 2a 5，即可得出．
【解答】 解：由等差数列 { a n } 中， 2a 8＝ 6+a 11，∴ a 5＝ 2a 8﹣ a 11＝ 6，
则 a 4+a 6＝ 2a 5＝ 12．
故选： C ．
【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．等差数列 { a n } 中， a 2 与 a 4 是方程 x 2
﹣ 4x+3 ＝ 0 的两根，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝（
）
A ．6
B ．8
C ． 10
D ． 12
【分析】 利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出．
【解答】 解：∵ a 2 与 a 4 是方程 x 2
﹣ 4x+3＝ 0 的两根，∴ a 2+a 4＝ 4＝ 2a 3，解得 a 3＝ 2，
则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝5a 3＝ 10．
故选： C ．
【点评】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．等差数列 { a n } 满足 4a 3+a 11﹣ 3a 5＝ 10，则 a 4＝（
）
A ．﹣5
B ．0
C ． 5
D ． 10
【分析】 利用通项公式即可得出．
【解答】 解：设等差数列 { a n } 的公差为 d ，∵ 4a 3+a 11﹣ 3a 5＝ 10，
∴ 4（ a 1+2d ） +（a 1+10d ）﹣ 3（ a 1+4d ）＝ 10，
化为： a 1+3d ＝ 5．则 a 4＝ 5．
故选： C ．
【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共 5 小题）
13．数列 { a n } 中，若 a n+1＝ a n +3， a 2+a 8＝ 26，则 a 12＝ 34 ．
【分析】 先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案．
∴数列 { a n} 为等差数列，其公差d＝ 3，
∵a2+a8＝26，
∴ 2a1+8d＝ 26，
∴ a1＝ 1，
∴ a12＝ 1+11× 3＝ 34，
故答案为： 34
【点评】本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．
14．在等差数列 { a n} 中， a1+3a8+a15＝120，则 3a9﹣ a11的值为48 ．
【分析】 { a n1815＝120? 5a18＝24，然后将3a9 } 为等差数列，所以 a +3a +a+35d＝ 120? a ﹣ a11也表示为用a8表示即可．
【解答】解：因为数列{ a n} 为等差数列，所以a1+3a8+a15＝ 120 可化为 5a1+35d＝ 120 可
化为 a8＝ 24，又因为3a9﹣a11＝ 2a1+14d＝ 2a8＝ 48，
故填： 48．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
15．已知等差数列
nn n，T n，若＝，则{ a } ，{ b } 的前 n 项和分别为S
＝．
【分析】由等差数列的性质得＝＝＝，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{ a n} ，{ b n} 的前 n 项和分别为S n， T n，＝，
∴＝＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算
求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．等差数列 { a n} 中，前n 项和为 S n， a1＜ 0， S17＜ 0， S18＞ 0，则当 n＝9时，S n取得最小值．
【分析】推导出 a8+a9＜ 0，a9＞ 0， a8＜ 0，由此能求出当n＝ 8 时， S n取得最小值．
【解答】解：∵等差数列{ a n} 中，前 n 项和为 S n，a1＜ 0， S17＜0， S18＞ 0，
∴a9＜ 0， a9+a10＞0，
∴a9＜ 0， a10＞ 0，
∵ a1＜ 0，
∴当 n＝ 9 时， S n取得最小
值．故答案为： 9．
【点评】本题考查等差数列的前 n 项和最小时 n 的值的求法，考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．等差数列 { a n} 、 { b n} 的前 n 项和分别为 S n、 T n，若，则＝
【分析】由题意可设 S n＝ kn（n+1）， T n＝ kn（ 2n﹣ 1），（ k≠0）．由此求得a8， b9，则答案可求．
【解答】解，依题意，设S n＝ kn（ n+1）， T n＝kn（ 2n﹣1），（ k≠ 0）．
则a8＝ S8﹣ S7＝ 72k﹣ 56k＝ 16k， b9＝ T9﹣ T8＝ 33k，
所以＝，
故填：．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的应用，是中档题．
三．解答题（共 5 小题）
18．已知等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，且 a3＝ 7， a5+a7＝26．
（Ⅰ）求a n及 S n；
（Ⅱ）令b n＝（n∈N+），求证：数列{ b n} 为等差数列．
【分析】（Ⅰ）设等差数列的首项为a1，公差为d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1＝ 3， d＝ 2，由此能求出a n，S n．
（Ⅱ）由＝，能证明数列{ b n} 为等差数列．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项为a1，公差为 d，
∵a3＝ 7， a3+a2＝ 26．
∴由题意得，
解得 a1＝ 3， d＝ 2，
∴a n＝ a1+（ n﹣ 1）d＝ 3+2 （n﹣ 1）＝ 2n+1．
＝＝ n（n+2）．
证明：（Ⅱ）∵＝，
b n+1﹣ b n＝ n+3﹣（ n+2）＝ 1，
∴数列 { b n} 为等差数列．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的求法，考查等差数列的证明，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．已知等差数列{ a n} 满足 a1+a2＝ 10， a5﹣ a3＝ 4．
（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{ b n} 满足 b2＝a3， b3＝ a7，问： b6是数列 { a n } 中的第几项？
【分析】（Ⅰ）设 { a n} 公差为 d，由已知列式求得首项与公差，则a n可求；
（Ⅱ）由 b2＝a3＝ 8， b3＝ a7＝ 16，得公比 q＝ 2，进一步求得 b6，代入等差数列的通项公式求得 n 值得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设 { a n} 公差为 d，由 a5﹣ a3＝ 4＝ 2d? d＝ 2，
由a1+a2＝ 10＝ 2a1 +d? a1＝4，
∴ a n＝ 2n+2；
（Ⅱ）由 b2＝ a3＝8， b3＝ a7＝16，得公比 q＝ 2，
∴．
令a n＝ 2n+2＝ 128，得 n＝63．
即b6为 { a n} 中的第 63 项．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．
20．在等差数列{ a n} 中， S n为其前 n 项的和，已知a1+a3＝ 22， S5＝45．（1）求 a n， S n；
（2）设数列 { S n} 中最大项为 S k，求 k 及 S k．
【分析】（ 1）利用已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解a n， S n；
（ 2）利用变号的项，求解最值即可．
【解答】（ 10 分）解：（ 1）由已知得，所以，
所以 a n＝ a1+（ n﹣1） d＝﹣ 2n+15 ；
；
（ 2 ）由a n≥ 0 ，即﹣ 2n+15 ≥ 0 ，可得n ≤ 7 ，所以S7最大， k ＝ 7 ， S7＝
＝49．
【点评】本题考查等差数列的性质，数列求和以及通项公式的应用，考查计算能力．
21．观察如图数表，问：
（1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？
（2）此表第 n 行的各个数之和是多少？
（3） 2012 是第几行的第几个数？
【分析】（ 1）写出此表n 行的第 1 个数，且第n 行共有求出第 n 行的最后一个数；
（ 2）由等差数列的求和公式求出第n 行的各个数之和；（ 3）设 2012 在第 n 行，列不等式求出n 的值，再计算2
n﹣1
个数，且成等差数列，由此2012 在第该行的第几个数．
n﹣1
，
【解答】解：（ 1）此表 n 行的第 1 个数为 2
n﹣ 1
个数，依次构成公差为 1 的等差数列；（ 4 分）第 n 行共有 2
由等差数列的通项公式，此表第n 行的最后一个数是n ﹣1n﹣1
﹣1）× 1＝
n
﹣1；2+（ 22
（8 分）
（ 2）由等差数列的求和公式，此表第n 行的各个数之和为
＝22n﹣2+22n﹣3 ﹣2n﹣ 2，
或 2n﹣ 1n﹣ 12n﹣ 2 2n﹣ 3n﹣2
；（8 分）×2+×1＝2+2﹣ 2
（3）设 2012 在此数表的第 n 行．则
2n﹣1
≤2012 ≤ 2
n
﹣1，
可得 n＝ 11，
故 2012 在此数表的第11行；（ 10 分）
设 2012 是此数表的第11行的第 m 个数，而第 11 行的第 1 个数为 210
，
因此， 2012 是第 11 行的第 989 个数．（12 分）
【点评】本题考查了等差数列的应用问题，是中档题．
22．（理）在△ ABC 中， a， b，c 分别是角A， B， C 的对边，且角B，A， C 成等差数列．
（1）若 a 2
﹣ c
2
＝ b
2
﹣ mbc，求实数 m 的值；
（2）若 a＝，求△ ABC 面积的最大值．
【分析】（ 1）由角 B，A， C 成等差数列以及三角形内角和公式知A＝ 60°，再由余弦定理和条件可得cos A＝＝，由此求得 m 的值．
（ 2）由 cos A＝＝可得 bc≤ a 2
，故 S△ABC＝sin A≤×，由此求
得结果．
【解答】解：（ 1）由角 B， A， C 成等差数列以及三角形内角和公式知A＝ 60°．
222
可以变形得＝．
又由 a ﹣ c＝ b ﹣ mbc
再由余弦定理可得cos A＝＝，
∴ m＝ 1．（4 分）
（ 2）∵ cos A＝＝，
22222
∴ bc＝b+c ﹣ a≥ 2bc﹣ a ，即 bc≤ a ，
故 S△ABC＝sin A≤×＝，
∴△ ABC 面积的最大值为．（ 8 分）
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及
解三角形的方法，属于中档题．
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