关于无穷小量的比较和性质点滴

2
x → x0
f ( x) = 0 ，即 g ( x)
当 x → x0 （有限值）时， f ( x) 是比 g ( x) 高阶的无穷小量的几何解释是：点 ( x, f ( x)) 到点
( x0 , 0) （或 x 轴）的距离比点 ( x, g ( x)) 到点 ( x0 , 0) （或 x 轴）的距离更近；当 x0 为无穷时，
x →0
1− 2x − 4 1+ 2x sin 3 x
3 1− 2x −1 − 4 1 + 2x −1 1− 2x − 4 1+ 2x = lim 解： lim x →0 x →0 sin 3x sin 3 x 3
(
)
= lim
x →0
−2 x 3 − 2 x 4 7 =− . 3x 18
为了避免用性质(5)，教师们主要采用的方法是：
比 x 趋向于零更快。” 上面所提到的“快慢程度”是函数 y 相对于自变量 x 的变化快慢程度，即变化率，与 函数 y = f ( x) “趋向于零的快慢程度”不是一回事。通常我们对快慢的说法有两种，一种 是：单位时间内，离出发点的远近；另一种说法是：单位时间内，离终点的近与远。因此， “趋向于零的快慢程度”应理解为离终点（零）的近与远，也就是说， lim
2
谋
1 →0 x
sin x sin 2 x x x2 = 0 ， lim = 1 ， lim =2 而它们的商的极限： lim 2 = ∞ ， lim x →0 x x →0 x x →0 x → 0 x x 1 x sin x 不存在。 lim x →0 x
为什么会出现这样的情况呢？主要是因为：虽然都是无穷小，但趋于 0 的速度不一样， 使得它们的商会出现各种不同的情况。趋于 0 的“快慢”程度，在数学上用“阶”来描述， 具体定义如下（为简洁，只叙述文后能用到的概念） ： 定义1 若 lim f ( x ) = 0 ，则称 f ( x) 是当 x → x0 时的无穷小量。
β
β1
β1
结论：
1 0 , (1 + 0) 0 , 00 , ∞ 0 型中无穷小均可用与之等价的无穷小来替换，其成立的条件， 0
一般地，只要替换后的极限存在。 三、等价无穷的应用 等价无穷小在求极限的时候起作重要的作用，这是因为： 定理 设 α ( x) ~ α1 ( x), β ( x) ~
β1 ( x) ,则
x →∞ x →∞
1 x
2
1 1 = . 2 2x 2
等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一， 也是非常重要的一个概念。 在高等数学中 等价无穷小的性质运用非常广泛，正确理解无穷小、无穷比较等相关概念，正确运用无穷小 的性质可使许多复杂问题简单化。
参考文献： [1] 高等数学，高等教育出版社，叶仲泉，王新质主编，2007年6月。 [2] 关于不同无穷小比较的新解释，河北北方学院学报，Vol.24,No2,Apr.2008. [3] 高阶无穷小与低阶无穷小，高等数学研究，Vol.3,No.3,Sep.2000. 2012年1月27日星期五
β , λ > 0 ，则 α λ ~ β λ . β1 ，且 lim α = c ，若 c ≠ −1 ，则 α + β ~ α1 + β1 ； β
若 c ≠ 1 ，则 α − β ~ α1 − β1
性质(5) α ~ α1 , β ~
证：只证前一部分，后一部分同理可证。
lim
1+ c α +β α β +1 α β +1 =1 = lim = lim = α1 + β1 α1 β + β1 β α1 α ⋅ α β + 1 1 + c
x → x0
定义2
[1]
设 x → x0 时， f ( x) 与 g ( x) 都是无穷小量，且在 x0 的某一去心邻域内
g ( x) ≠ 0 ，
(1)若 lim
x → x0
f ( x) = 0 ，则称 f ( x) 是比 g ( x) 高阶的无穷小量，记作 f ( x) = o[ g ( x)] （这 g ( x)
2
≠ ∞ ，分母
1 g ( x) = x 2 sin 有无穷多个零点，也不满足定义2的条件。 x
对于定义2中的(2)： lim
x → x0
f ( x) g ( x) = ∞ 一定有 lim = 0 ，即无穷大的倒数是无穷小； x → x0 f ( x ) g ( x)
对于(1)： lim
x → x0
； 时我们认为 f ( x) 趋于零的速度较 g ( x) 快） (2)若 lim
x → x0
f ( x) = ∞ ，则称 f ( x) 是比 g ( x) 低阶的无穷小量； g ( x)
若 f ( x) 是比 g ( x) 低阶的无穷小量，反过来说就是， g ( x) 是比 f ( x) 高阶的无穷小量。 (3)若 lim
x → x0
f ( x) = 0 ，即当 x → x0 g ( x)
时， “ f ( x) 趋于零的速度较 g ( x) 快”从几何上理解应是：当 x → x0 时，曲线 f ( x) 比 g ( x) 离 x 轴更近。 二、等价无穷小的性质 对于等价无穷小的性质大多数教材没有介绍,探索和完善等价无穷小量的性质，对学生 灵活掌握相关的知识、开拓思维、熟练应用具有重要意义。 为了简洁,涉及到的极限假设均存在,涉及到的无穷小均为自变量取同一变化过程的无穷 小，由等价无穷小的定义容易得到其性质: 性质(1) 反身性:
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张
谋
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lim
tan x − sin x tan x − x 1 = lim = 3 x →0 x →0 3 x x3 1 3 1 x ,sin x ~ x − x3 ，则 3 6
其错误在于不满足性质(5)的条件，但若用更精细的等价无穷小来代替，则又是正确的。 如当 x → 0 时 tan x ~ x +
理解为动点到 x 轴的距离更好。
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y
y
g ( x) = x
F
f ( x) = x 3
F ( x, g ( x)) E ( x, f ( x))
x
o
H
g ( x) =
E
o
G
f ( x) =
x
1 x 1
x2
如图1，当 x → 0 时， f ( x) = x 是比 g ( x) = x 高阶的无穷小， x 趋于零的速度比 x 快，应
tan x − sin x sin x(1 − cos x) x ⋅ x2 2 1 = lim = lim = x →0 x →0 x →0 sin 3 x sin 3 x 2 x3 tan x − sin x x−x 错误做法： lim = lim 3 = 0 3 x →0 x → 0 sin x sin x tan x − sin x x − sin x 1 lim = lim = 3 x →0 x → 0 6 x x3
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高等数学教学点滴——
关于无穷小量的比较和性质
张
一、关于无穷小比较的概念及理解 我们知道，有限个无穷小的和、差、积均为无穷小，而无穷小的商会出现不同的情 况。 例如当 x → 0 时， x, x , sin x, sin 2 x, x sin
x → x0
f ( x) = 1 ，则称 f ( x) 与 g ( x) 是等价无穷小量，记为 f ( x) ~ g ( x). g ( x)
关于定义2的几点理解： (A) 不是任意两个无穷小都可以进行比较。如当 x → 0 时，两个无穷小 x sin 不能进行比较。 (B) 不能认为定义2中的(2)是多余的，即认为： f ( x) 是比 g ( x) 高阶的无穷小量，则
3
lim
x →0
3 4 1− 2x − 4 1+ 2x 1− 2x −1 1+ 2x −1 −2 x 3 2x 4 7 = lim − lim = lim − lim =− 0 0 0 0 x → x → x → x → sin 3 x sin 3 x sin 3 x 3x 3x 18 2
例4 lim x (1 − cos ) = lim x
1
1 与x就 x
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g ( x) 是比 f ( x) 低价的无穷小（即定义2中的(1)可以推出(2)成立） ，这是错误的。
x 2 sin
例1 因 lim
x →0
x
1 x = 0 ，故分子是分母的高阶无穷小，但 lim
x →0
x 1 x sin x
性质(6) α ~ α1 , β ~ 性质(7) α ~
β1 ，则 αβ ~ α1β1
β ，则 α f ( x) ~ β f ( x) ，其中 α f ( x) 为无穷小。
1 1 1
性质(8) α ~ α1 , β ~
β1 ，且 lim(1 + α1 ) 存在，则 lim(1 + α ) = lim(1 + α1 )
f ( x) g ( x) = 0 不一定有 lim = ∞ ，因为非零无穷小的倒数才为无穷大。 x → x0 f ( x ) g ( x)
x sin
对等价无穷小也应注意相应的问题，如不能说 e
1Leabharlann Baidux
1 − 1 与 x sin （当 x → 0 时）等价。 x
(C) 如何理解下面这句话： f ( x) 是比 g ( x) 高阶的无穷小量，这时我们认为 f ( x) 趋于 零的速度较 g ( x) 快。 文[2]对这句话的疑虑是这样的： “一般地,“函数变化的快慢程度”用函数 a ( x) 的导数
a′( x) = lim
a ( x + Δx) − a( x) 2 2 来描述, 当 x → 0 时， x → 0 ， x 趋向于零的快慢程度即 Δx → 0 Δx
( x 2 )′ = 2 x ； 类似地，3 x 趋向于零的快慢程度即 (3 x)′ = 3 。 由于 2 x 3( x → 0) ， 显然，3 x
β ( x ) ,则 β ( x) ~ sin β ( x) ,
(1) sin α ( x) ~ α ( x) ~ (2) 1 − cos α ( x) ~
1 2 1 α ( x) ~ β 2 ( x) ~ 1 − cos β ( x) 2 2
(3) ln[1 + α ( x)] ~ α ( x) ~
β ( x) ~ ln[1 + β ( x)]
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(4) e
α ( x)
− 1 ~ α ( x) ~ β ( x) ~ e β ( x ) − 1
λ λ
(5) [1 + α ( x)] − 1 ~ λα ( x) ~ λβ ( x) ~ [1 + β ( x)] − 1 性质(4) α ~
lim
α ( x) α ( x) α ( x) α ( x) = lim = lim 1 = lim 1 β ( x) β1 ( x) β ( x) β1 ( x)
也就是说，在求两个无穷小之商的极限时，分子分母均可用等价无穷小代替，只要替换 后的极限存在。 在教学过程发现， 学生用此定理出现错误较多的情况， 是极限中分子分母有和差的情况， 如 例 2 lim
lim
3 1 3 x+ 1 tan x − sin x 1 3 x − (x − 6 x ) lim = = 3 3 x →0 x →0 2 x x
这实际上是用了函数的泰勒展式。也就是说，满足等价无穷小性质(5)的条件其无穷小可以 用相应的无穷小替换；上例说明，不满足条件可以用。
3
例 3 （教材[1]习题） lim
3
3
理解为当 x → 0 时， 点 E ( x, x ) 比点 F ( x, x) 离原点或 x 轴更近。 对于图2， lim
3
x →+∞
f ( x) = 0， g ( x)
点 G 比点 H 离 x 轴更近。 综上所述，若 x → x0 时， f ( x) 与 g ( x) 都是无穷小量，且 lim
α ( x) ~ α ( x). β ( x) ,则 β ( x) ~ α ( x).
性质(2) 对称性: 若 α ( x) ~ 性质(3) 传递性:
α ( x) ~ β ( x), β ( x) ~ γ ( x) ,则 α ( x) ~ γ ( x).
这三个性质是等价无穷小的基本性质，结合教材中常见的等价无穷小,利用等价无穷小 的定义及性质可得: 若 α ( x) ~