大学物理 静电场中的介质

孤立导体的电势
U Q
定义电容：
CQ U
真空中半径为R的孤立导体球的电容
CQ U
4 0R
几何
介质
1）电容只与几何因素和介质有关， 表示 导体固有的容电本领
2）SI单位：法拉（F）
1F(微法) 106F 1 pF（皮法） 1012F
真空中孤立导体球的电容
C 4 0R
问题 欲得到 1F 的电容
孤立导体球的半径 R=?
U
与Q 、△U无关
极板
典型的电容器
平行板 电容器
柱形 电容器
球形 电容器
A d
B
R1
R2
R1
R2
➢电容的计算 电容只与结构及介质有关
设Q
E
U
C Q
U
1、 平行板电容器： S d 2
E
0 0
Q
0S
Q
Q
0
0
SE
U Ed Qd 平行板电容器
0S C S、1
C Q 0S
d
d
U d
2 、球形电容器：同心的金属球和金属球壳
真空中： 有介质时:
Q0
E0
U
0
C0
Q0 U 0
E
E0
r
U
U 0
r
C
Q0
U
Q0 U 0
r
C0 r
C C0 r 电介质可增大电容量!
电容器中常用电介质的种类：纸介、云母、陶瓷、 涤纶、独石、
平行板电容器：
C0
0S
d
C 0r S S
d
d
球形电容器：
C0
4 0R1R2
R2 R1
C 4 R1R2
(A) C1上电势差减小,C2上电量增大； (B) C1上电势差减小,C2上电量不变； (C) C1上电势差增大,C2上电量减小； (D) C1上电势差增大,C2上电量不变。
串联电量相同
U1C1 U 2C2
C1
C2
[A]
3. C1 和 C2 两个电容器，其上分别表明200pF（电 容量）、500v（耐压值）和300pF 、900v把它们串 联起来在两端加上1000V电压，则
A W q2 q2 2C2 2C1
q q
末态
q2
A 2C1
2d
A q2 2C1
若把电容器极板拉开一倍的距离， 所需外力的功等于电容器原来具 有的能量。
2) 外力反抗极板间的电场力作功
极板带电不变，场强不变，作用力恒定
A Fd
A q2d
q2
F
d 20Sd 20S
极板间的力
1. C1 和 C2 两空气电容器并联起来接上电源充电.然后将 电源断开，再把一电介质插入 C1 中，则
令 U UA UB
U U1 U2 U3 Ui
U1
q C1
U2
q C2
C q
q
U U1 U2 Ui
q Ui Ci
1 1 1 1
C C1 C2
Ci
电容器串联耐压能力增大，电容减小
并联电容器的电容等于 各个电容器电容的和。
C Ci
i
串联电容器总电容的倒数
1 1
等于各串联电容倒数之和。 C i Ci
无限大均匀介质中点电荷的场：
E E0 q
r 40rr 2
q
4r 2
0r
电介质的
介电常数
§5.2有介质时的高斯定理
一、 电位移矢量
定义 D 0 E P 无直接物理含义
单位 C/m2 各向同性线性介质
P 0(r 1)E
D 0r E E
0r称为电介质的介电常数
二、 有介质时的高斯定理
W Sd
1 2
0
E
2
对任意电场其能量为：
W
wedV
0E2 dV
2
例 求导体球壳的电场能
we
1 2
0
E
2
E
Q
4π0r 2
r
We wedV
E
all of
space field
R
Q2
32π2
0
r
4
4πr
2dr
We
Q2
8π 0 R
Q2 2C
例：设想电量Q在真空中均匀分布在一个半径为R
的球体内，试计算其电场能量。
(A) C1 和 C2 极板上电量都不变.
(B) C1极板上电量增大，C2极 板上的电量不变.
C1
(C) C1极板上电量增大，C2极 板上的电量减少.
(D) C1极板上的电量减少,C2极
板上电量增大.
C2
断电后总电量守恒，两电容器电压相等
Q1 C1
Q2 C2
[C]
2. C1 和 C2 两空气电容器串联起来接上电源充电, 保持电源联接,再把一电介质板插入 C1 中,则
电容只与结构及介质有关
1、 平行板电容器： C 0S
d
2 、球形电容器：同心的金属球和金属球壳
C 4 0R1R2
R2 R1
R2 C 4 0R1
真空中孤立导体球的电容
3.柱形电容器的电容(L>>R2-R1)
C 2 0L
ln R2 R1
电容只与介质及电 容器的结构有关
三、有介质时的电容器的电容
(以平行板电容器为例)
C 0S
d
E 0 Q 0 0S
W Q2 2C
Q2d
2 0 S
0 ( Q )2 Sd 2 0S
0 E2Sd
2
W
1 2
0 E 2V
结果讨论：
W
1 2
0 E 2V
电容器所具有的能量与极板间E有关，还与电 场存在的空间有关，电场携带了能量。
➢电场的能量密度为：
we
0 0
做如图所示高斯面
r
由有介质时的高斯定理，得
D
0
由 D 0r E E
得 E 0 E0 r0 r
E0为无介质存 在时的场强
§5.3 电容器及其电容
+
导体的一个重要性质就是具有 Q +
+
一定的容纳电荷的能力，称为 + R
+
电容。
+
+
一.孤立导体的电容
+
孤立导体球的电势 U Q
40 R
• 电容器储存的能量
电容器放电过程中,电量 dq 在电场力的作用下，
从正极板到负极板，这微小过程中电场力作功为：
dA dqu u q
c
A
dA
udq
0
Q
qdq c
1 2
Q2 C
CR
I
所以储存在电容器中的能量为：
W 1 Q2 1 CU 2 1 QU
2C 2
2
• 电容器储存的能量与场量的关系
当电容器的性能不被满足时，常用串并联使用 来改善。如串联使用可提高耐压能力;并联使用
可以提高电容量。
§5.4电容器的能量和电场的能量
这里我们从电容器具有能量， C R
来说明电场的能量。
I
电容器充放电的过程是能 量从电源到用电器（如
灯泡）上消耗的过程。
设充电完毕后，电容器的带电量为Q,电压为U。 则此时电容器具有的能量？
R2 R1
柱形电容器：
C0
2 0 L
ln R2
R1
C 2L
ln R2 R1
➢电容器的性能指标 1、电容器的电容 2、电容器的耐压能力
当单个电容器不能满足实际电路需要时，可 以把几个电容器联结起来使用。
串联 电容器的两种基本联结方法
并联
四、电容器的串联和并联
• 并联电容器的电容： C Ci
E1
r 3 0
rˆ
rR
E2
Q
4 0r 2
rˆ
R3 30r 2
rˆ
rR
W
wedV
0E2 dV
2
Q 4 R3
3
r
R dr
R 0E12 4r2dr 0E22 4r2dr
02
R2
球内空间
球外空间
R 0 ( r )24r 2dr 0 2 30
R
0
2
(
R3 30r 2
)24r 2dr
C1
i
UA
C2 UB
等效 U A C U B
Ci
令 U UA UB
q1 C1U
q2 C2U
C q1 q2 qi U
C C1 C2 Ci
qi CiU
电容器并联电容增大，耐压能力受 耐压能力最小的那个电容限制
U A C1
串联电容器的电容：1 1 C i Ci
C2
C3 Ci U B 等效 U A C U B
B
A -Q
oQ
E
Q
4 0r 2
rˆ
R1 r R2
B
B
U
A
E dl
A
Q
4 0r 2
rˆ
dr
R2
R1
R2
Q
dr Q ( 1 1 )
R1 4 0r 2
4 0 R1 R2
Q1 1
B
U
( )
4 0 R1 R2
A -Q
oQ
R2 R1
球形电容器电容
C Q 4 0R1R2
U R2 R1
外电场越强，电介质表面的束缚电荷越多
3.描述极化强弱的物理量--极化强度
定义
pi
P i
V
V
pi
一个分子的 电偶极矩
SI 单位 C m 2
无极分子构成的电介质：
v P
r npi
电极化强度随外电场的增大而增大
实验证明：当电介质中的电场不太强时，各 种各向同性的电介质的电极化强度与场强成
正比，方向相同。
(A) C1被击穿,C2不被击穿； (B) C2被击穿, C1不被击穿； (C) 两者都被击穿； (D) 两者都不被击穿。
[C]
4．一平行板电容器充电后，与电源断开，然后
再充满相对介电常数为r 的各向同性均匀电介质。
则其电容C、两板间电势差U12及电场能量We与 充介质前比较将发生如下变化：
（A）C↑ U12↓ We↑ (B) C↑ U12↓ We↓ (C) C↑ U12↑ We↓ (D) C↓ U12↓ We↓
P 0(r 1)E 0E
r 为电介质的相对介电常量
电介质的击穿
介电强度（P74）
四、电介质对电场的影响
E0
E E0 E
E'
E0 自由电荷产生的场
E 束缚电荷产生的场
E
E E0 E
E E0
r
真空中： r 1
空气中： r 1
r 1
为电介质的特征常 数称为电介质的 相对介电常数
由孤立导体球电容公式知：
R
1
4 0
9109 m
103
RE
由孤立导体作 电容不经济！
二、电容器及其电容 电容器：由两个相互隔开的金属导体组成，
相对的两个面称为电容器的两个极板。
当一个极板带电Q时，由高斯定理知， 另一极板带等量异号电量-Q 。
Q -Q
由实验知，两极板间电势差△U=U+-U-∝ Q
定义电容器电容：C Q
DEdV
作业: 5.19 5.22; 5.23; 3.33
例：一平板电容器面积为S，间距d，用电源充电
后，两极板分别带电为+q和-q，断开电源，再把
两极板拉至2d ，试求： 外力克服电力所做的功。
两极板间的相互作用力？
解 ：根据功能原理可知， 外力的功等于系统能量的增量
q q
r
d 初态
电容器两个状态下所存贮的 能量差等于外力的功。
表达式： D dS q0i 自由电荷代数和
S
i
1）有介质时静电场的性质方程
2）在解场方面的应用
来自百度文库
思路
在具有某种对称性的情况下 可以首先由高斯定理解出
D
E
D
D
0r
例1、 平行板电容器 ,自由电荷面密度为0
其间充满相对介电常数为r的均匀的各向
同性的线性电介质。求:板间的场强。
解:均匀极化 表面出现束缚电荷
例如，H2O 、Hcl 、CO 、SO2
②无极分子:无外电场作用时，正负电荷中心重合, 整个分子无固有电矩
例如，CO2、 H2 、N2、 O2 、 He
+-
二、电介质分子对电场的影响
1、无外场时
因无序排列 对外总体不 呈现电性。
热运动---紊乱 电中性
有极分子
无极分子
2、有电场时 电介质分子的极化 ➢ 取向极化——有极分子的极化
2
有介质存在时电场中单位体积 内的能量
we
1 2
0 r E 2
1 2
E 2
1 2
DE
对任意电场其能量为：
W
V
wedV
V
1 2
0
r
E
2
dV
V
1 E 2dV
2
V
1 2
DEd
V
有介质存在时，记住以下结论：
E0
E
E0
r
C0 C C0 r
W
V
1 2
0
r
E
2
dV
V
1 E 2dV
2
V
1 2
(B)
真空中有一不带电的导体球，现在把电量为q的点 电荷放在球外离球心为a处，求导体球的电势。
q U
4 0r
6.真空中有一均匀带电球体和一均匀带电 球面,如果它们的半径和所带的电量都相 等,则它们的静电能之间的关系是：
（A）球体的静电能等于球面的静电能； （B）球体的静电能大于球面的静电能； （C）球体的静电能小于球面的静电能； （D）无法比较。
电容只与结构及介质有关
特例当 R2 C 4 0R1
3.柱形电容器的电容(L>>R2-R1)
设单位长度带电量为
R1< r< R2
E 2 0r
R2
U
dr
R1 2 0r
E
r
ln R2 Q ln R2 2 0 R1 2 0L R1
柱形
Q Q
R1
L
R2
C Q U
2 0L
ln R2
R1
电场
取向极化
E0
由于热运动，这种取向只能是部分的，遵守统计规律。
➢ 位移极化——无极分子的极化
电场
+-
E0
感生电矩
无极分子的感应电矩约是有极分子固有电矩的10-5， 方向与外加电场相同，外电场越强，感生电矩越大。
三、极化电荷
E0
E0
结论：极化的总效果是介质边缘出现电荷分布
称呼：由于这些电荷仍束缚在每个分子中，所 以称之为束缚电荷或极化电荷。
静电场中的电介质
§5.1 、电介质对电场的影响 §5.2、 有介质时的高斯定理 §5.3 、电容器及其电容 §5.4 、电容器的能量及电场的能量
§5.1 电介质对电场的影响 一.电介质的微观图象
1.电介质：是由大量电中性的分子组成的绝缘体。
2.电介质的分子：
①有极分子：正负电荷中心不重合，相当于电偶极子, 存在固有电矩
4 2R5 4 2R5
5 180
18 0
4 2R5 15 0
• 电介质存在时电容器储存的能量与场量的关系
(以平行板电容器为例)
C 0r S
d
E 0 Q 0r 0rS
W Q2 2C
Q2d
20r S
0r ( Q )2 Sd 2 0 r S
E2Sd
2
W 1 E2V 1 DEV
2