第3章 地图投影的基本原理

P=1
由面积变形公式得： H=M*r 或 ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种 投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距
离投影只存在于方位投影、圆柱投影和圆锥投影之中。
等距离投影规定经线长度比等于1为条件,即 m=1
地图投影基本理论
六、地图投影分类
地图投影的变形规律 不同地图投影之间的转换 图上量算等问题 2.任务 把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系 建立制图网—经纬线在平面上的表象
内容提要
地图投影基本概念
地图投影基本理论
地图投影基本理论
一、地图投影的一般方程
x = f1(B , L) y = f2(B, L) x,y表示原点在投影面上的纵、横坐标
Δu u u
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
角度变形是变量，随位置和方向的不同而变化。 角度最大变形:在同一点的某个特殊方向上，其角差具有 最大值，称为该点的角度最大变形。
地图投影基本理论
标准纬线：在地图投影中不变形的纬线称为标准纬
线。 主比例尺：在计算地图投影或制作地图时，首先要 将地球椭球面或球面按一定的比率缩小，然后再 投影到平面上，这个小于1的常数比率称为地图的
x'
dy dx
C' （x+dx,y+dy）
ds'
dsm' Ψ
dsn' A' （x,y）
O
q
B'
y
地图投影基本理论
Ψ是任意方向与x轴夹角的表达式，特殊情况下，即当dλ和dΦ 为零时，经、纬线方向与x轴的夹角为
m
n
与
sin m
dy 1 y dsm E dx 1 x cos m dsm E
B、L表示原点在地球椭球体上的纬度、经度地理坐标
函数f1、f2取决于不同的投影条件
地图投影基本理论
二、地图投影变形
（一）投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现 变形表现在长度、面积和角度三个方面。
地图投影基本理论
地图投影基本理论
（二）长度比和长度变形 长度比(μ):投影面上某一方向上无穷小线段 ds 和原
P = a· = m ·n b
(θ= 90度) (θ≠ 90度)
P = a· = m ·n ·sin θ b
地图投影基本理论
dF Mrd d
dF dsm dsn sin q Hd d
dF ' Hd d H P dF Mrd d Mr
地图投影基本理论
微分梯形投影后的面积，即平行四边形的面积，为：
dF dsm dsn sin q Hd d
地图投影基本理论
dy dx ds' α dsm
ds
dsn
x
D'
x'
C'
dsm' A' O
Ψ
q
B' dsn'
y
地图投影基本理论
（一）长度比公式
地图投影基本理论
(二)面积比公式
dF ' π a r b r P a b 2 dF πr
B' dsn'
y
为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各 元素，如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式， 以便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。
地图投影基本理论
沿经线微分线段
x
x'
dy
AD Md
C'
D'
沿纬线微分线段
dsm
dx AB ds' rd Ψ
α ds
dsn
对角线ds对应的为ds′：
ds= dx 2 +dy 2
x
D'
x'
dy dx
C' （x+dx,y+dy）
ds Ed 2 Gd 2 2 Fd d
ds'
dsm' Ψ
α dsm
ds
dsn
利用上式可以获得平面上经 纬线微分线段的表达式：
dλ=0时， AD dsm Ed
dΦ=0时， AB dsn Gd
dsn' A' （x,y）
O
q
B'
y
地图投影基本理论
将投影的一般表达式取x、y对Φ、λ的全微分：
x x d d y y dy= d d dx=
x 2 y 2 ) ( ) E x y ( )2 ( )2 G x x y y F x y y x H (
sin n
dy 1 y dsn G dx 1 x cos n dsn G
地图投影基本理论
m 、 n 推导出十分重要的经、纬线投影后的夹角的表达式
利用
q DAB 360 n m
H EG F co s q cos( n m ) EG H tgq F sin q sin( n m )
sin( ') a b ab
以ω表示角度最大变形： 令 2( ')
a b sin 2 ab

地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形， 一种投影可以同时存在以上三种变形，但在某种条件下， 可以使某一种变形不发生，如投影后角度不变形，或投影 后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变形。
对角线
dsm'
ds AC M 2 d 2 r 2 d 2
q
B'
dsn'
tg rd Md
A' C点对A点方位角α为：
rd sin O ds
Md cos ds
y
由微分几何的概念可得微分梯形 ABCD的微分面积为：
dF Mrd d
地图投影基本理论
（一）按地图投影变形性质分类
等角投影
等面积投影
任意投影
的无穷小面积dF之比。
dF p dF
地图投影基本理论
面积变形（Vp）
v p p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
面积比是变量，随位置的不同而变化。
地图投影基本理论
（四）角度变形 角度变形（ u ）：投影面上任意两方向线所夹之 角 u 与球面上相应的两方向线夹角 u 之差。
地图投影基本理论
特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a
据阿波隆尼定理，有
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n
m2 + n2 = a2 + b2
m· sinq = a· n· b
地图投影基本理论
3、变形椭圆对地图投影变形的描述
1）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形
为纬度
卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值， 以字母N表示：
地图投影基本理论
r
纬圈的半径，一般用r表示，即
r N cos B
a cos B (1 e sin B)
2 2 1 2
地图投影基本理论
x D' α dsm
ds
dsn
x'
dy dx ds' Ψ
C'
dsm' A' O
q
E、F、G、H称为一阶 基本量，或称高斯系 数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的
表达式：
sin dy ds dx cos ds α ds dsm y y dsnd d dy tg dx x d x d
x
D'
需要考虑其他的投影方式，采用透视投影方法。
地图投影基本概念
地图投影基本概念
2）数学分析法
地球椭球面上的经纬网
地球椭球面：原面
平面上相应的经纬线网
平面：投影面 原面与投影面
上的点线面具
有一一对应关 系
地图投影基本概念
二、地图投影的研究对象及任务
1、研究对象
地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法及应用
的方法称为地图投影。
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之 间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法 1）几何透视法
将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然
后将其上的一些特征点用垂直投影的方法投影到图纸 上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式， 可认为投影没有变形。但是大区域垂直投影存在变形，
第3章 地图投影的基本原理
内容提要
地图投影基本概念
地图投影基本理论
地图投影基本概念
地球：人类生活的环境，科学研究的基础
地图投影基本概念
地球仪
近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的模拟地球
的椭球体 各点的几何关系的保持-距离、方位、各种特性 曲线及面积保持不变 难于制作，成本高，不便于量测及携带保管。
（三）角度变形公式
A点（x、y），A ′点 (x ′、y ′)
y tan x
tan '
y' x'
x' a x
y' b y
地图投影基本理论
tan ' by b tan ax a
将上式两边各用tana减和加 即：
b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a
2）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律
地图投影基本理论
地图投影基本理论
地图投影基本理论
四、地图投影变形计算
法截面：通过法线的平面所截成的截面。 主法截面：相互垂直的法截面。
地图投影基本理论
对椭球来说，要研究下列的两个主法截面，一个曲率 半径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值
M a(1 e2 ) (1 e sin B)
地图投影基本概念
地图
比例尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带
保管都很方便
地图投影基本概念
地球：不可展曲面 地图：连续的平面
用地图表示地球表面的一部分或全部，就产生了一 种不可克服的矛盾 球面 平面
地图投影基本概念
一、地图投影的概念和实质
1、地图投影：
将地球表面上的点、经纬线等变换到地图平面上
地图投影基本理论
（一）等角投影条件 使地球面上任意点的任意二方向所夹之角投影后仍 保持原夹角大小不变的投影叫等角投影。为了保持等角， 就必须使投影面上任意点的角度最大变形为零，即：
ω=0
按最大角度变形公式，得 a=b
地图投影基本理论
（二）等面积投影条件 等面积投影在于使投影面上的面积与地球面上相应面 积相等。面积不发生变形的投影叫等面积投影，其条件是 面积比为1，即
地图投影基本理论
微分圆→变形椭圆
X' m 为经线长度比； X
Y' n 为纬线长度比 Y
地图投影基本理论
代入： X2 + Y2 = 1，得
X' Y' 2 1 2 m n
2
2
地图投影基本理论
2、主方向
底索定律:无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有
一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。 主方向:在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向。
主比例尺。
局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外， 其他部分的比例尺称为局部比例尺。
地图投影基本理论
三、主方向和变形椭圆
1.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，
把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，
通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这 种图解方法就叫变形椭圆。
通过三角变换，得：
sin( ') ab tan cos cos ' a
将两式相除，得：
sin( ') a b sin( ') a b
地图源自文库影基本理论
sin( ') a b sin( ') ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方 向变形：
面上相应无穷小线段 ds
之比。
ds u ds
地图投影基本理论
长度变形（Vμ）:指长度比与1的差值。 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
vu u 1
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化 任何一种投影都存在长度变形
地图投影基本理论
(三)面积比和面积变形
面积比(P ):投影面上某区域无穷小面积dF’与球面上相应
2 2 3 2
式中： a 椭球的长半径
e
B
子午圈截面：包含子午圈的截面。
第一偏心率
为纬度
子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截 弧的曲率半径中的最小值
地图投影基本理论
N a (1 e 2 sin 2 B)
式中： a 椭球的长半径
1 2
e
B
卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。
第一偏心率