函数项级数的一致收敛

∑M
n =1
∞
n
, ∀n ∈ N + , 以及 ∀x ∈ D ,
∑M
n =1
∞
n
收 敛 . 根 据 常 数 项 级 数 的 Cauchy 收 敛 原 理 ,
∀ε > 0, ∃N (ε ) ∈ N + , 使得 ∀n, p ∈ N + , 当 n > N ( x ) 时, 恒有 M n +1 + M n +2 + + M n+ p < ε .
充分性 设不等式(3)成立. 由数列的 Cauchy 收敛原理, 对于任意固定的 x ∈ D , 部分
和数列 {Sn ( x )} 收敛 , 即级数的 (2) 的部分和函数 {Sn } 在 D 上处处收敛 , 设其极限函数为
S : D → R . 在不等式(3)中令 p → ∞ , 便得: 当 n > N (ε ) 时, ∀x ∈ D ,
恒有
| Sn ( x ) − S ( x ) | < ε ,
则称级数（2）在 D 上一致收敛于 S . 例 2. 证明: 函数项级数
∞ x ⎡ x x ⎤ + − ∑ 2 2 2 2 2 ⎥ ⎢ 1+ x 1 + ( n − 1) x ⎦ n =2 ⎣ 1 + n x
在区间 [0,1] 上一致收敛于 S = 0. 证 由于该级数的部分和函数列为 S n ( x ) =
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
∑ u ( x ) 在 I 上一致收
n =1 n
∞
∫
证
x
a
S (t )dt = ∫ ( ∑ un (t ))dt = ∑ ∫ un (t )dt. 人
x x a n =1 n =1 a
x , 所以 ∀x ∈ [0,1], 有 1 + n2 x2
n →∞
lim Sn ( x ) = 0 . 即在 [0,1] 上该级数处处收敛于 S ( x ) = 0. 下面证明它在 [0,1] 上一致收敛
于 0. 由于
| Sn ( x ) − S ( x ) |=
x 1 2nx 1 = ⋅ ≤ , 2 2 2 2 1+ n x 2n 1 + n x 2n
使得 ∀x ∈ I , 恒有
| S ( x) − SN ( x) | <
因而, 对于任意的 x0 ∈ I , 也有
ε
3
(4)
| S ( x0 ) − S N ( x0 ) | <
ε
3
(5)
又由 un ( x ) ∈ C ( I ) , 得知部分和 S N ( x ) =
∑ u ( x ) 也在 x
k =1 k
n
0
处连续 , 故对于上述 ε > 0 , 必
∃δ > 0 , 使得 ∀x ∈ U ( x0 , δ ) ∩ I , 有
| S N ( x ) − S N ( x0 ) | <
ε
3
(6)
综合(4),(5)与(6), 就有 ∀ε > 0, ∃δ > 0 , 使得当 x ∈ U ( x0 , δ ) ∩ I 时,
u1 ( x ) + u2 ( x ) +
其前 n 项和记为
+ un ( x ) + + un ( x ).
（2）
Sn ( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) +
定义（函数的一致收敛性）若存在一个函数 S : D → R ，满足
∀ε > 0, ∃N (ε ) ∈ N + , 当 n > N (ε ) 时， ∀x ∈ D
n =1
对于任意的 x ∈ [a , b] , 由于 un ( x ) 在 [a , b] 上单调, 可得
| un ( x ) |≤| un ( a ) | + | un (b) |, n = 1, 2,
由此易推得
∑ u ( x ) 在 [a, b] 上绝对一致收敛.
n =1 n
∞
3．一致收敛级数的性质 在一致收敛条件下，函数项级数的和函数保持了有限个函数之和的一些重要分析性质， 如连续性、可导性和可积性，下面的定理就是证明这些性质. 定理 3 (和函数的连续性) 设 un ( x ) ∈ C ( I ) ( n ∈ N + ) , 若函数项级数 一致收敛于 S : I → R , 则和函数 S ∈ C ( I ). 证 为证明 S 在 I 上连续, 只要证明 S 在任意一点 x0 ∈ I 处连续. 根据连续的定义, 就
| S ( x ) − Sn ( x ) | ≤
ε.
2
由一致收敛定义, {Sn } 在 D 上一致收敛于 S , 故级数(2)在 D 上一致收敛于 S . 定理 2( M 判别准则) 如果存在一个收敛的正项级数 恒有 | un ( x ) |≤ M n , 那么级数(2)在 D 上一致收敛. 证 由于正项级数
由比值判别法知级数
∑ M n 收敛, 所以级数 ∑ ne− nx 在区间 [δ , +∞) 上一致收敛.
n =1 n =1
∞
∞
评注 4: 我们先给出“内闭一致收敛”的定义: 若级数
∑ u ( x ) 在开区间 (a, b) 内的任一
n =1 n
∞
个闭子区间上一致收敛, 则称该级数在 ( a , b) 上内闭一致收敛. 一个简间事实:
∞
∑ u ( x ) 在 [a, b] 的端点
n =1 n
∞
绝对收敛, 证明它在 [a , b] 上绝对一致收敛, (指
∞ ∞
∑ | u ( x ) | 一致收敛).
n =1 n ∞ n =1
证
由于
∑ un (a ) ,
n =1
∑ un (b) 均收敛, 可知 ∑ ⎡ ⎣ un ( a ) + un (b) ⎤ ⎦ 收敛,
+ | un + p ( x ) |
+ M n+ p < ε .
根据定理 1 知, 级数(2)在 D 上一致收敛. 评注 3: 定理 2 中的级数
∑M
n =1
∞
n
称为级数(2)的优级数或控制级数. 利用 M 判别准则证
明级数(2)在 D 上一致收敛., 关键在于找到它的一个优级数. 例4 证明级数
∑
∀ε > 0, ∃N (ε ) ∈ N + , 使得 ∀n, p ∈ N + , 当 n > N (ε ) 时, ∀x ∈ D , 恒有
| Sn + p ( x ) − Sn ( x ) |=
n+ p
k = n +1
∑ u ( x) < ε .
(2)在 D 上一致收敛于 S : D → R . 则 ∀ε > 0, ∃N (ε ) ∈ N + , 使
x + ( x2 − x) + ( x3 − x2 ) +
在区间 ( −1,1] 上不一致收敛. 证
+ ( x n − x n −1 ) +
,
易知该级数在 ( −1,1] 上处处收敛于和函数
⎧0, − 1 < x < 1, S ( x) = ⎨ ⎩ 1, x = 1 .
为了证明它在 ( −1,1] 上不一致收敛于 S ( x ) , 只要证明 : ∃ε 0 > 0, ∀n ∈ N + , ∃x0 ∈ ( −1,1] , 使 得 | Sn ( x0 ) − S ( x0 ) |≥ ε 0 就 行 了 . 由 于 级 数 的 部 分 和 Sn ( x ) = x , 且 ∀n ∈ N + , 点
n
xn =
n
1 ∈ ( −1,1] , 故有 2
⎛ 1 ⎞n | Sn ( xn ) − S ( xn ) |= ⎜ n ⎟ − 0 = 1 . 2 ⎝ 2⎠
因此, 只要取 ε 0 ≤ 结论.
1 , ∀n ∈ N + , 在点 xn 处都有 | Sn ( xn ) − S ( xn ) |≥ ε 0 . 这样即证明了题中 2
又已知 ∀n ∈ N + , 以及 ∀x ∈ D, | un ( x ) |≤ M n , 故得
| un +1 ( x ) + un + 2 ( x ) +
+ un + p ( x ) | ≤ | un +1 ( x ) | + | un + 2 ( x ) | + ≤ M n +1 + M n + 2 +
函数项级数的一致收敛
1．函数项级数的一致收敛概念 例 1．考察区间 [0,1] 上的函数项级数
x + ( x2 − x) + ( x3 − x2 ) +
其前 n 项和为
+ ( x n − x n −1 ) +
（1）
Sn ( x ) = x + ( x 2 − x ) +
和函数为
+ ( x n − x n −1 ) = x n
n =1
∞
− nx
在区间 [δ , +∞) (其中 δ > 0 )上一致收敛.
证
由于 ∀x ∈ [δ , +∞) , ∀n ∈ N + , 恒有
| un ( x ) |= ne − nx ≤ ne − n δ ,
记 M n = ne
−nδ
, 则
lim
M n +1 n + 1 −δ = lim e = e −δ < 1. n →∞ M n →∞ n n
⎧0, 0 ≤ x < 1, S ( x ) = lim Sn ( x ) = lim x n = ⎨ n →∞ n →∞ ⎩ 1, x = 1 .
n n −1
评注 1 ：从例 1 看出，级数（1）的通项 un ( x ) = x − x
均为 [0,1] 上的连续函数，但
和函数在 [0,1] 上显然不再连续；而有限个连续函数之和是连续的，这说明有限个连续函数 的和函数与无穷个连续函数的和函数在性质上有很大差异. 那么在什么条件下， 无穷个连续 函数的和函数仍具有连续性？下面的“一致收敛”条件即为其充分条件。 设有集合 D ⊆ R 上的函数项级数
得 ∀n, p ∈ N + , 当 n > N (ε ) 时, ∀x ∈ D , 恒有
| Sn ( x ) − S ( x ) | <
从而有
ε , | S ( x) − S ( x) | < ε , n+ p
2 2
| Sn + p ( x ) − Sn ( x ) | ≤| Sn + p ( x ) − S ( x ) | + | Sn ( x ) − S ( x ) | < ε .
1 ⎡1⎤ < ε 就行了 . 取 N = ⎢ ⎥ , 2n ⎣ 2ε ⎦
因此 , 对于任给的 ε > 0 , 要使 | Sn ( x ) − S ( x ) | < ε , 只要
当 n > N 时, ∀x ∈ [0,1] , 恒有 | Sn ( x ) − 0 | < ε . 根据一致收敛的定义, 该级数在 [0,1] 上致 收敛于 0. 例 3 证明级数
sin nx 在 ( −∞, +∞) 上一致收敛. n2 n =1
∞
证
由于 ∀x ∈ ( −∞, +∞ ) , 不等式
sin nx 1 ≤ 2 , ∀n ∈ N + 2 n n
成立, 并且级数
∑n
n =1
∞
1
2
收敛, 故由 M-判别准则知, 原级数在 ( −∞, +∞) 上一致收敛.
例5
证明级数
∑ ne
∑ u ( x) 在 I 上
n =1 n
∞
是要证明: ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当 x ∈ U ( x0 , δ ) ∩ I 时, 恒有
| S ( x ) − S ( x0 ) | < ε .
由于
∑ u ( x ) 在 I 上一致收敛于 S , 根据一致收敛的定义,
n =1 n
∞
∀ε > 0, ∃N = N (ε ) ∈ N + ,
评注 2: 由一致收敛的定义易知, 若级数(2)在 D 上一致收敛于 S , 则它必在 D 上处处 收敛于 S ; 反之, 结论不一定成立, 例 3 中级数就属于这种情况. 2. 函数项级数一致收敛的判别法 下面介绍函数级数一致收敛的两个判别方法: 定理 1 (Cauchy 一致收敛原理) 函数项级数(2)在 D 上一致收敛的充分必要条件是
| S ( x ) − S ( x0 ) |
≤| S ( x ) − S N ( x ) | + | S N ( x ) − S N ( x0 ) | + | S N ( x0 ) − S N ( x0 ) | <
从而定理得证. 定理 4(和函数的可积性) 设 un ( x ) ∈ C[a , b]( n ∈ N + ) . 若级数 敛于 S : [a , b] → R , 则和函数 S 在 [a , b] 上可积, 且 ∀x ∈ [a , b],
若
∑ u ( x ) 在 (a, b) 上内闭一致收敛, 则它在 (a, b) 内逐点收敛.
n =1 n
∞
证
设 x0 ∈ ( a, b), 则存在 [c, d ] ⊂ ( a, b) 且 x0 ∈ [c, d ] , 因
∑ u ( x ) 在 [c, d ] 上一致收
n =1 n
∞
敛, 所以在 x0 点收敛. 例 6 如果 ∀n ∈ N + , un ( x ) 在 [a , b] 上是单调函数, 并且级数