第六章 两相渗流理论基础
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※ 上式即为考虑毛管力的油水两相渗流的数学模型
q w S w A( x ) x t
11
2. 不考虑毛管力的油水两相渗流的数学模型
<1>运动方程
油相： vo K o (s ) grad P o K (s ) w grad P w 1
水相：
vw
2
<2>连续性方程
或写成：
ko ( S ) S o [ p ] o t k (S ) S w [ w p ] w t
（6）
（3）饱和度方程：
So S w 1
油水两相为稳定渗流时：
ko ( S ) [ p ] 0 o k (S ) [ w p ] 0 w
（5）
qw qo q(t )
（1）、（2）代入（5）：
q(t ) (
则
kkrw
w
p w kkrw o kkro ) A( x) ( ) g sin A( x) o x w o kkro
（ 6）
q(t ) g sin A( x)k (C1 w C2 o ) p x (C1 C2 )kA( x)
pr p gdz p gdxsin
考虑不可压缩流体，对一维流动，油水两相渗流的 连续性方程为：
水相：
油相：
qw S w A( x) x t
qo S o A( x) x t
3
4
由（3）、（4）： 即：
( qo q w ) 0 x
3. 考虑重力作用的油水两相渗流
只考虑重力作用的一维油水两相渗流的运动方程可写为：
kkrw p qw ( w g sin ) A( x) w x kkro p qo ( o g sin ) A( x) o x
z g
A （ x） x
（1） （ 2）
<1><2>式代入<6>式：
Pw Po Pc ( s)
KK rw ( s) Pw KK ro ( s) S Pw ' q(t) q o q w A( x) A( x)[Pc ( s) ] w x o x x K rw ( s) K ro ( s) Pw K ro ( s) ' S KA(x)[-( ) Pc ( s) ] w o x o x Pw S ' KA(x)[-(C C2 Pc ( s) ] 1 C2 ) x x K rw ( s) K ro ( s) Pc ( s) ' 式中 C1 , C2 , Pc ( s) w o S 7
KK rw ( s) Pw qw A( x) w x KK ro ( s) Po qo A( x) o x
1
2
3
4
<3>毛管力方程
1 1 Pw Po Pc ( s) ( ) R1 R2
5
式中R1,R2为毛细弯液面主半径， 为两相界面上的界面张力。
由 7 式： Pw q(t ) C2 S ' Pc (s) x KA( x)(C1 C2 ) C1 C2 x
8
由 8 式代入 1 式： C1q(t ) C1 C2 ' S qw KA( x) Pc ( s) C1 C2 C1 C2 x
KK rw ( s ) Pw qw A( x ) w x
9
对上式求导： q w d C1 S C C S ' q(t ) ( ) [ KA( x) 1 2 Pc ( s) ] x dS C1 C2 x x C1 C2 x
10
10 式代入 3 式： d C1 S C1 C2 ' S S ( ) q(t ) [ KA( x) Pc ( s) ] A( x) dS C1 C2 x x C1 C2 x t
因 Sw So 1 ,
由<3><4>式：
Sw So 则 t t
q o S A( x ) o x t
q w S w A( x ) x t
qw qo (qo qw ) 0 x x x
<6>式表示总液量与坐标x没关。
6
油相： v ox v oy v oz So ( ) x y z t 3
水相：
v wx v wy v wz S w ( ) x y z t
4
把（1）、（2）代入（3）、（4）：
S o ko ( S ) p k o ( S ) p k o ( S ) p ( ) ( ) ( ) t x o x y o y z o z k ( S ) p S w（5） k w ( S ) p k w ( S ) p ( w ) ( ) ( ) t x w x y w y z w z .
第六章 两相渗流理论基础
前面无论是刚性液体渗流还是弹性液体渗流都是以均质流 体作为前提，没有考虑油水在粘度、密度上的差别及毛管力的 影响，也未考虑油中气体的分离。而实际渗流中由于油水性质 差异，毛管力的影响，形成油水共渗或伴有气体的渗流。
本章内容包括： 6.1 两相渗流数学模型的建立 6.2 活塞式水驱油
6.3 非活塞式水驱油
6.4 油气两相渗流理论
6.1 两相渗流数学模型的建立
一、油水两相渗流数学模型的建立 1. 考虑毛管力的油水两相单向渗流的数学模型
<1>运动方程
水相：
பைடு நூலகம்
油相：
<2>连续性方程 qw S w 水相： A( x) x t qo S o 油相： A( x) x t
q w S w A( x ) x t
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2. 不考虑毛管力的油水两相渗流的数学模型
<1>运动方程
油相： vo K o (s ) grad P o K (s ) w grad P w 1
水相：
vw
2
<2>连续性方程
或写成：
ko ( S ) S o [ p ] o t k (S ) S w [ w p ] w t
（6）
（3）饱和度方程：
So S w 1
油水两相为稳定渗流时：
ko ( S ) [ p ] 0 o k (S ) [ w p ] 0 w
（5）
qw qo q(t )
（1）、（2）代入（5）：
q(t ) (
则
kkrw
w
p w kkrw o kkro ) A( x) ( ) g sin A( x) o x w o kkro
（ 6）
q(t ) g sin A( x)k (C1 w C2 o ) p x (C1 C2 )kA( x)
pr p gdz p gdxsin
考虑不可压缩流体，对一维流动，油水两相渗流的 连续性方程为：
水相：
油相：
qw S w A( x) x t
qo S o A( x) x t
3
4
由（3）、（4）： 即：
( qo q w ) 0 x
3. 考虑重力作用的油水两相渗流
只考虑重力作用的一维油水两相渗流的运动方程可写为：
kkrw p qw ( w g sin ) A( x) w x kkro p qo ( o g sin ) A( x) o x
z g
A （ x） x
（1） （ 2）
<1><2>式代入<6>式：
Pw Po Pc ( s)
KK rw ( s) Pw KK ro ( s) S Pw ' q(t) q o q w A( x) A( x)[Pc ( s) ] w x o x x K rw ( s) K ro ( s) Pw K ro ( s) ' S KA(x)[-( ) Pc ( s) ] w o x o x Pw S ' KA(x)[-(C C2 Pc ( s) ] 1 C2 ) x x K rw ( s) K ro ( s) Pc ( s) ' 式中 C1 , C2 , Pc ( s) w o S 7
KK rw ( s) Pw qw A( x) w x KK ro ( s) Po qo A( x) o x
1
2
3
4
<3>毛管力方程
1 1 Pw Po Pc ( s) ( ) R1 R2
5
式中R1,R2为毛细弯液面主半径， 为两相界面上的界面张力。
由 7 式： Pw q(t ) C2 S ' Pc (s) x KA( x)(C1 C2 ) C1 C2 x
8
由 8 式代入 1 式： C1q(t ) C1 C2 ' S qw KA( x) Pc ( s) C1 C2 C1 C2 x
KK rw ( s ) Pw qw A( x ) w x
9
对上式求导： q w d C1 S C C S ' q(t ) ( ) [ KA( x) 1 2 Pc ( s) ] x dS C1 C2 x x C1 C2 x
10
10 式代入 3 式： d C1 S C1 C2 ' S S ( ) q(t ) [ KA( x) Pc ( s) ] A( x) dS C1 C2 x x C1 C2 x t
因 Sw So 1 ,
由<3><4>式：
Sw So 则 t t
q o S A( x ) o x t
q w S w A( x ) x t
qw qo (qo qw ) 0 x x x
<6>式表示总液量与坐标x没关。
6
油相： v ox v oy v oz So ( ) x y z t 3
水相：
v wx v wy v wz S w ( ) x y z t
4
把（1）、（2）代入（3）、（4）：
S o ko ( S ) p k o ( S ) p k o ( S ) p ( ) ( ) ( ) t x o x y o y z o z k ( S ) p S w（5） k w ( S ) p k w ( S ) p ( w ) ( ) ( ) t x w x y w y z w z .
第六章 两相渗流理论基础
前面无论是刚性液体渗流还是弹性液体渗流都是以均质流 体作为前提，没有考虑油水在粘度、密度上的差别及毛管力的 影响，也未考虑油中气体的分离。而实际渗流中由于油水性质 差异，毛管力的影响，形成油水共渗或伴有气体的渗流。
本章内容包括： 6.1 两相渗流数学模型的建立 6.2 活塞式水驱油
6.3 非活塞式水驱油
6.4 油气两相渗流理论
6.1 两相渗流数学模型的建立
一、油水两相渗流数学模型的建立 1. 考虑毛管力的油水两相单向渗流的数学模型
<1>运动方程
水相：
பைடு நூலகம்
油相：
<2>连续性方程 qw S w 水相： A( x) x t qo S o 油相： A( x) x t