第2讲概率论

m
m
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i1
推论
P( A) 1 P( A)
例4.从10件同类型产品(其中6件正品，4件次品)中任取4件，求 (1)“取得的4件中次品不超过1件”(事件A)的概率 (2)“取得的4 件中次品至少有1件”(事件B)的概率.
解：设 Ai 为“取得的4件中恰好有 i 件次品”, i=0,1,2,3,4. 则有

13 14
例5.设有n个球，每个球都以同样的概率1/N落入到N个格子(Nn) 的每一个格子，试求 (1)前n个格子中各有一球(A)的概率； (2)任何n个格子中各有一球(B)的概率； (3)某指定的一个盒子中没有球(C)的概率.
解：(1)试验E是将n个球 投入N个格中 1 2 …n … N
共有Nn个样本点，而A中有n!个样本点，所以有 P(A) = n! / Nn
设A表示“两人能会面”，则有
A={(x, y): |x−y| 20}
所以
P( A)

602 402 602
=
5 9
3.几何概型的基本性质
设A, A1, A2, …是 E 中事件，则有 (1)非负性：P(A) ≥0；
P(
A)

g的度量 G的度量
(2)归一性：P(S)=1；
(3)可加性： 若A1, A2, …是互不相容的事件，则有
A表示“任取一号码为偶数的球”.
则样本空间 S ={1,2,…,10}， A ={2,4,6,8,10}
所以
P(A) = 5/10=1/2
1. 加法原理
基本计数原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方式有n2种方法, …；
第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
(2) B=A1UA2UA3UA4 且A1, A2, A3, A4 互不相容
P(B)=P(A1UA2UA3UA4)= P(A1)+P(A1) +P(A3) +P(A4)

4 i 1
C 4i 6

C
i 4
C140

13 14
P(B) 1 P(B)
1 P( A0 )
1
C64 C140
三.概率的频率定义(统计概率)
1.事件的频率
设试验E的样本空间为S, A为E的一个事件.把试验E重复进行n次， 在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值 nA/n称为在这n次试验中，事件A发生的频率，记作fn(A).
fn(A) = nA /n
表示事件A发生的频繁程度
直观想法是用频率来近似事件A在一次试验中发生的概率，但是 这种近似是否可行呢？
格子中各有一球”.
所以
P(
A)

C
n n
365
!
365n
至少有两个人生日相同的概率为： P( A) 1 P( A)
人数
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
至少有两人同生日的概率
0.1169 0.4114 0.7063 0.8912 0.9704 0.9941 0.9992 0.999914 0.999993 0.999999
(1) A=A0UA1 且A0，A1互不相容
P(A)=P(A0UA1)= P(A0)+P(A1)

C
4 6
C140

C63

C
1 4
C140

19 42
例4.从10件同类型产品(其中6件正品，4件次品)中任取4件，求 (2)“取得的4件中次品至少有1件”(事件B)的概率.
设 Ai 为 “取得的4件中恰好有 i 件次品” i=0,1,2,3,4.
计算方法 (1)当样本点的总数较小时，列出S和A中的样本点，然后数 点的个数； (2)当样本点的总数较大时，需要以排列组合为工具.
例1.在一袋中有10个相同的球，分别标有号码 1,2,…,10. 从中任取 一个球，求此球的号码为偶数的概率.
解：设用 i 表示取到 i 号球， i =1,2,…,10 .
则完成这件事总共有
n1 + n2 + … + nm 种方法 .
2. 乘法原理
基本计数原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法， …；
第m个步骤有nm种方法，
必须通过每一步骤，才算 完成这件事.
则完成这件事共有
n1 n2 nm
种不同的方法 .
从n个不同元素（无放回地）取 k个元素 (1 k n)排成一列，
由此，从袋中不放回抽取3个球，相当于从10个不同的数中
任取3个组合，组合数为 n C130 设A={不放回抽取的3个球的号码均为偶数}
“一把抓”问题
相当于从5个偶数中取3个组合，组合数为
P( A)

C53 C130

1 12
k

C
3 5
例3.设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件. 今从中任取 n(假定nN−M)件，求次品恰有 k 件的概率(0 k min(M, n)).
解：令B={恰有k件次品}
P(B)

C C k nk M NM
C
n N
M件 次品
次品 正品
N−M件 正品
……
3.古典概率的基本性质
设E是古典概型，其样本空间为S={ω1,…,ωn}；A, A1, A2,…, Am 是E中事件，则有
(1)非负性：P(A) ≥ 0；
(2)归一性：P(S)=1；
(3)可加性：若A1, A2,…, Am是互不相容的事件，则有
在几何概型中，样本空间为S=G, G中的点是样本点 设A={投点落入区域g内}，则有
P(A)= [g的度量] / [G的度量]
例1.两人约定于12点到1点到某地会面，先到者等20分钟后离去， 试求两人能会面的概率？ 解：设x, y分别为两人到达的时刻(12时x,y)，问题可以看作是向 平面区域G内投点. 由于两个人分别“等可能”地在12点--1点的任何时刻达到，故可看作几何 概型.
0.6 0.6 0.2 0.8 0.4 0.8 0.4 0.8 0.2 0.8
用同一枚硬币做20次试验，每次试验为抛掷10次硬币
假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任 何理由认为其中某一结果出现的机会比另一结果出现的机会大 或小，我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会， 即1/n的出现机会.
例如，一个袋子中装有10个大小、形 状完全相同的球.将球编号为1－10.把球 搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.
因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 比另一个更容易取得.也就是说，10个球 中的任一个被取出的机会是相等的，均 为1/10.
有人于“我”生日相同的概率
0.0271 0.0534 0.0790 0.1039 0.1282 0.1518 0.1747 0.1971 0.2188 0.2399
在概率论发展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限 个样本点的随机试验是不够的，还必须考虑试验结果是无穷多个 的情形，这中间最简单的一类是试验结果是无穷多个，而又有某 种“等可能性”的情形.
如：考虑一个点等可能地随机落在[0,1]区间.
0
0.3
0.7
1
问事件A：点落在0与0.3之间的概率.
问事件B：点落在0.7与1之间的概率.
P(
A)

事件A对应的区间长度 整个区间的长度

0.3
P(
B)

事件B对应的区间长度 整个区间的长度

0.3
在如，向如下正方形区域G内投点，求点落在区域A和B内的概
在大量重复一随机试验时，会发现，有些事件发生的次数 多一些，有些事件发生的次数少一些.也就是说，有些事件发生 的可能性大一些，有些事件发生的可能性小一些.
将表征随机事件 发生可能性大小 的数称为事件的 概率
如何度量事件发生的 可能性呢？
记为P(A)
0≤P(A)≤1
事件发生的可能性 最小是零，此时
概率为0.
所以
P(B)

C
n N
n
!
Nn
例5.设有n个球，每个球都以同样的概率1/N落入到N个格子(Nn) 的每一个格子，试求 (3)某指定的一个格子中没有球(C)的概率.
解：(3)将n个球投入N个格中，共有Nn种放法
C: 指定的格子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可
以并且只可以放入其余的N−1个格子中. 总共有 (N−1)n 种
85 1946 7 2 3 10
1.古典概型 若随机实验E满足：
(1) 试验的样本空间S 只含有有限个元素 S ={ω1,…,ωn}； (2)试验中每个基本事件发生是等可能的.
则称E为等可能概型，简称古典概型.
2.概率的古典定义
设随机实验E的样本空间S含有n个样本点，事件A包含k个样
本点，定义
P( A) k n
放法.
所以
P(C
)

(
N 1)n Nn
生日问题 一个n(n<365)人的班级中，求任何两个人生日都不相同 (A)的概率.
解：试验相当于从365天中可重复地找n天，分别作为n个同学的
生日，它相当于n个球扔入365个格子中.关心的事件为“任意找
不同的n天，分别作为n个同学的生日”，它相当于“任选的n个
可以得到
Ank Pnk n (n 1) (n k 1)
个不同的排列.
从n个不同元素中有放回地每次抽取一个，依次取 k个元素排成 一列，可以得到
n n n nk
个不同的排列.
从n个不同的元素中（无放回地）抽取 k个元素，不论次序地组 成一组，可以得到
个不同的组合.
C
k n

n! k !(n
k)!Βιβλιοθήκη 例2.在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码1, 2, …,10. 今不 放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率. 解一： 试验为从袋中不放回抽取3个球，这相当于从10个不同的数中任 取3个作排列，排列数为
n A130 设A={不放回抽取的3个球的号码均为偶数}


P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
在古典概率和几何概率的定义中，“等可能性”是一基本假 定.
然而在许多实际问题中，这一基本假定并不成立.
例如. 从同一型号的反坦克弹中任取一发射击目标，观察命中情 况.设 A={命中}.求 P(A).
样本空间为 S={命中，不命中} 此试验既不是古典概型，也不是几何概型.
率P(A)和P(B).
G
P( A)

区域A的面积 区域G的面积

1 9
2
1A
B
P(
B)

区域B的面积 区域G的面积

1 9
1
1
这种与几何测量有关的概
3
率称为几何概率.
二.几何概率 1.几何概型定义:向任一可度量区域G内投一点，如果所投的点落 在G中任意可度量区域g内的可能性与g的度量成正比，而与g的位 置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验.或简称为几 何概型. 2. 概率的几何定义
相当于从5个偶数中取3个排列，排列数为
P( A)

A53 A130

1 12
k A53
例2.在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码1, 2, …,10. 今不放
回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率.
解二：“不放回抽取”还有另外一种理解，不放回抽取3个球可
以用下述方式实现“从袋中一次性取出3个球”
事件发生的可能性 最大是百分之百，此时
概率为1.
度量事件发生的概率的大小，实际上就是需要给出概率的定 义，我们将按照由简单到复杂的顺序给出概率的四种定义，分别 为概率的古典定义，概率的几何定义，概率的频率(统计)定义， 概率的公理化定理.
一.古典概率
假定随机试验E有有限个可能的结果
1, 2, …, n
生日悖论 某人群有n个人，求他们中有人与“我”生日相同(B)的 概率？ 解：B的对立事件为无人与“我”生日相同
相当于某指定的一个格子中没有球
所以：
(365 1)n P(B) 365n
即有：
(365 1)n P(B) 1 365n
人数
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
例5.设有n个球，每个球都以同样的概率1/N落入到N个格子(Nn) 的每一个格子，试求 (2) 任何n个格子中各有一球(B)的概率.
解：(2)将n个球投入N个格中，共有Nn种放法
B：先选出n个格子，共有
C
n N
种选法
对于选中的n个格子，每个各自各放一个球，共有n! 种放法.
⸫B中有
C
n N
n个! 样本点.
2.频率的稳定性 掷一枚均匀硬币，观测正面朝上(A)的次数并计算其频率.
用同一枚硬币做20次试验，每次试验为抛掷5次硬币
第1次
第2次
…
第19次
第20次
试验
试验
试验
试验
抛掷5次
… 抛掷5次
抛掷5次 抛掷5次
正面朝上 2次
正面朝上 … 3次
正面朝上 正面朝上
1次
4次
事件A在各次试验中频率分别为
0.4 0.6 0.2 0 0.2 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4