河海大学 弹性力学
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正应力
切应力
fx fy
fx fy
x y
xy
未 正应变
知
x
y
量 切应变
xy
空间问题
fx fy fz
fx fy fz
x y z xy yz zx
x y z
xy yz zx
位移 u v u v w
量纲 L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一
变形状态假定
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由于
( , ) ( , )2 ( , )3 , 可略去 ( , )2
等项,使几何方程成为线性方程。
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》
清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today, Teach me to fish and I will eat for a life time.
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方 程 (Physical equations)；
第三节 弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s上，建立应力边
界条件(Stress boundary conditions);
在给定约束的边界 上su，建立位移边界条
件(Displacement boundary conditions)。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
因此，即应力与应变关系可用胡克定律 (Hooke’s law)表示（物理线性）。
适用性：材料具有明显的弹性区，应力在一定限 度内(弹性力学采用） 反例：橡皮、人体组织（非线性弹性）、土（无 明显的弹性区）
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性(homogeneity)--假定物体由同种 材料组成。
H=192m
小湾拱坝混凝土浇筑H=292m
锦屏一级拱坝
H=305m
双
线
五
级
船
闸
可
通
行
万
海洋石油钻井平台
吨
轮
船
天生桥厂房高边坡
南
水
北
引
调
水 隧
蔺
洞
家
坝
泵
站
第一节 弹性力学的内容
学习目的
工科学生学习弹力的目的：
（1）理解和掌握弹力的基本理论； （2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法（变分法、差分法
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节 弹性力学的内容
研究对象
材料力学(Mechanics of materials)--研究简单
构件（主要是杆件如梁、柱和轴的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等）的强度、刚度和稳定性计算。
结构力学(Structural mechanics)--在材料力
因此， E、μ等与位置 (x, y无, z)关。
含义：从试样测定的材料特性可以代表了这 种材料
适用性：与问题宏观尺度有关、与研究问题的 目的有关（简单问题基本都采用） 反例： 混凝土当作非均质材料、纤维增强复 合材料
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（4）各向同性(isotropy)--假定物体各向同 性。
量纲一
L
正负方向的规定
沿坐标轴正向为 正，反之为负
正面正向，负面 负向为正，反之
为负
线段伸长为正， 反之为负
线段间直夹角变 小为正，反之为
负
沿坐标轴正向为 正，反之为负
直角坐标表示的各种基本物理量
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。
2. 在d x d y 1的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
柯西在1822年的一篇论文中，建立了弹性理论的 基础。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，临终前， 他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是： 人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O(z)
y
x
yx
xy
x
x
xy
yx
y
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
第一章 绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程 (Differential equations of equilibrium)；
由微分线段上形变与位移的几何关系，建立 几何方程 (Geometrical equations)；
学基础上研究杆系结构(如桁架、刚架等)的内力 和位移计算。
弹性力学(Elasticity)--研究各种形状的弹性
体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等的位 移、变形和应力计算。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
在研究方法上，弹力和材力也有区别：
弹力研：究在方区法域V内严格考虑静力学、 几何学和物理学三方面条件，建立-2.
基本量纲是指具有独立性的量纲。国际单位制有7个基本量 的量纲符号,与力学有关的为：长度L、质量M、时间T。
（符号）坐标正向为正。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
面力
面力(Surface force)
--（定义）作用于物体表面上的力。
（表示）以单位面积所受的力来量
Elasticity 河海大学力学与材料学院
弹性力学也称弹性理论，主要研究 弹性体在外力作用或温度变化等外界因 素下所产生的应力、应变和位移，从而 解决结构或机械设计中所提出的强度和
刚度问题。
教材 徐芝纶编《弹性力学简明教程》(第四版)，高
等教育出版社，2013 主要参考书
陈国荣编《弹性力学》，河海大学出版社，2002 徐芝纶编《弹性力学》(第四版，上册)，高等教育出
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O(z)
f y xy x
fx
x
xy x
fy fx
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O(z)
x
O(z)
x
x
x
y
材力：以拉为正
y
材力：顺时针向为正
第二节 弹性力学中的几个基本概念
授人以鱼，不如授人以渔。
第一节 弹性力学的内容 第二节 弹性力学中的几个基本概念 第三节 弹性力学中的基本假定 第四节 弹性力学发展简史
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity)
--研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。
弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
外力(External force) --其他物体对研究对象 （弹性体）的作用力。
远距作用和接触作用 前者包括万有引力、电磁力等 后者包括表面压力、摩擦力等
第二节 弹性力学中的几个基本概念
体力
体力（Body force）
f lim F V 0 V
--（定义）作用于物体体积内的力。
（表示）以单位体积内所受的力来量
和有限单元法）解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学
科打下基础。
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对 象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？
3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
第一章 绪论
外力
§1－2 弹性力学中的几个基本概念
-- 形状的改变。以通过一点的沿坐标正向
微分线段的正应变 (Normal strain)和切应变
(Shearing strain)来表示。
正应变 x , y，以伸长为正。 切应变 ,xy以直角减小为正,用弧度表示。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
然后在边界条件下求解上述方程，得 出应力、形变和位移。
第三节 弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？
任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素,从而建立 计算模型,并归纳为学科的基本假定。
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹性 力学理论中的作用： （1）连续性(Continuity)--假定物体是连续 的。
因此，各物理量可用连续函数表示。
这是连续介质力学（包括固体力学和流体 力学）中的基本假定。
反例： 带裂纹材料 – 断裂力学 多孔介质 散粒体材料 – DEM、DDA
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性(perfect elasticity)-假定物体是,
a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。
切应力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)：
由微分体的平衡条件 Μ得 0：
xy yx ,
在弹力中， x与y 数yx 值相同，符号也相同。
在材力中， x与y yx数值相同，符号相反。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 (Deformation)
F lim f S0 S
度， f x , f y , f z .
（量纲）ML-1T-2.
（符号）坐标正向为正 。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：表示出下图中正的体力和面力
O(z)
x
fx
fx
fy
fy
y
O(z)
x
fy
fx
fx
fy
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 (Internal force)
第一节 弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,具
有重要的地位：
弹性力学是其他固体力学分支学科的基 础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤 其对于安全性和经济性要求很高的近代大型 工程结构，须用弹力方法进行分析，或以弹 性应力分析和变形分析为基础。
二滩拱坝
H=240m
施工中的龙滩大坝
xy -- x面上沿 y向切应力(Shearing
stress)。
（符号）坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正。
柯西（1789-1857）
出生于巴黎。在纯数学和应用数学的功力
是相当深厚的，很多数学的定理和公式也
都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯 西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上 仅次于欧拉的人。
--假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 (Stress)
--截面上某一点处，单 位
截面面积上的内力值。
p lim F A0 A
（量纲）ML-1T -2 .
（表示）σ x -- x 面上沿 x向正应力(Normal
stress)，
oz
x
P
yx α
B y
α
A
xy
C
第二节 弹性力学中的几个基本概念
位移
位移(Displacement)
-- 一点位置的移动，用 , u 表v示,
量纲为 L。以坐标正向为正。
变形前p x, y,变形后 pxu,yv.
基本物理量 平面问题
外力 体力 （已 知量） 面力
在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界
条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出 较精确的解答。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不是十
分严格的：常常引用近似的计算假设（如 平面截面假设）来简化问题，并在许多方 面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得出 的是近似的解答。从其精度来看，材料力 学解法只能适用于杆件形状的结构。
第三节 弹性力学中的基本假定
变形状态假定：
变形状态假定
（5）小变形假定(micro-deformation
assumption)--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜ 1弧度（57.3°）.
第三节 弹性力学中的基本假定
因此， E、μ等与方向无关。
含义：试样制作不需要考虑方向。 作用：数学描述简单 适用性：当材料的各向异性性不明显或是可忽 略的次要因素。
反例：如木材、沉积岩等材料。
由（3）,（4）知E、μ等为常数
（3）均匀性(homogeneity) （4）各向同性(isotropy) 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体 (perfect elastic body)。 （1）连续性(Continuity) （2）完全弹性(perfect elasticity)
切应力
fx fy
fx fy
x y
xy
未 正应变
知
x
y
量 切应变
xy
空间问题
fx fy fz
fx fy fz
x y z xy yz zx
x y z
xy yz zx
位移 u v u v w
量纲 L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一
变形状态假定
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由于
( , ) ( , )2 ( , )3 , 可略去 ( , )2
等项,使几何方程成为线性方程。
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》
清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today, Teach me to fish and I will eat for a life time.
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方 程 (Physical equations)；
第三节 弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s上，建立应力边
界条件(Stress boundary conditions);
在给定约束的边界 上su，建立位移边界条
件(Displacement boundary conditions)。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
因此，即应力与应变关系可用胡克定律 (Hooke’s law)表示（物理线性）。
适用性：材料具有明显的弹性区，应力在一定限 度内(弹性力学采用） 反例：橡皮、人体组织（非线性弹性）、土（无 明显的弹性区）
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性(homogeneity)--假定物体由同种 材料组成。
H=192m
小湾拱坝混凝土浇筑H=292m
锦屏一级拱坝
H=305m
双
线
五
级
船
闸
可
通
行
万
海洋石油钻井平台
吨
轮
船
天生桥厂房高边坡
南
水
北
引
调
水 隧
蔺
洞
家
坝
泵
站
第一节 弹性力学的内容
学习目的
工科学生学习弹力的目的：
（1）理解和掌握弹力的基本理论； （2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法（变分法、差分法
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节 弹性力学的内容
研究对象
材料力学(Mechanics of materials)--研究简单
构件（主要是杆件如梁、柱和轴的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等）的强度、刚度和稳定性计算。
结构力学(Structural mechanics)--在材料力
因此， E、μ等与位置 (x, y无, z)关。
含义：从试样测定的材料特性可以代表了这 种材料
适用性：与问题宏观尺度有关、与研究问题的 目的有关（简单问题基本都采用） 反例： 混凝土当作非均质材料、纤维增强复 合材料
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（4）各向同性(isotropy)--假定物体各向同 性。
量纲一
L
正负方向的规定
沿坐标轴正向为 正，反之为负
正面正向，负面 负向为正，反之
为负
线段伸长为正， 反之为负
线段间直夹角变 小为正，反之为
负
沿坐标轴正向为 正，反之为负
直角坐标表示的各种基本物理量
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。
2. 在d x d y 1的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
柯西在1822年的一篇论文中，建立了弹性理论的 基础。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，临终前， 他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是： 人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O(z)
y
x
yx
xy
x
x
xy
yx
y
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
第一章 绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程 (Differential equations of equilibrium)；
由微分线段上形变与位移的几何关系，建立 几何方程 (Geometrical equations)；
学基础上研究杆系结构(如桁架、刚架等)的内力 和位移计算。
弹性力学(Elasticity)--研究各种形状的弹性
体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等的位 移、变形和应力计算。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
在研究方法上，弹力和材力也有区别：
弹力研：究在方区法域V内严格考虑静力学、 几何学和物理学三方面条件，建立-2.
基本量纲是指具有独立性的量纲。国际单位制有7个基本量 的量纲符号,与力学有关的为：长度L、质量M、时间T。
（符号）坐标正向为正。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
面力
面力(Surface force)
--（定义）作用于物体表面上的力。
（表示）以单位面积所受的力来量
Elasticity 河海大学力学与材料学院
弹性力学也称弹性理论，主要研究 弹性体在外力作用或温度变化等外界因 素下所产生的应力、应变和位移，从而 解决结构或机械设计中所提出的强度和
刚度问题。
教材 徐芝纶编《弹性力学简明教程》(第四版)，高
等教育出版社，2013 主要参考书
陈国荣编《弹性力学》，河海大学出版社，2002 徐芝纶编《弹性力学》(第四版，上册)，高等教育出
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O(z)
f y xy x
fx
x
xy x
fy fx
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O(z)
x
O(z)
x
x
x
y
材力：以拉为正
y
材力：顺时针向为正
第二节 弹性力学中的几个基本概念
授人以鱼，不如授人以渔。
第一节 弹性力学的内容 第二节 弹性力学中的几个基本概念 第三节 弹性力学中的基本假定 第四节 弹性力学发展简史
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity)
--研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。
弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
外力(External force) --其他物体对研究对象 （弹性体）的作用力。
远距作用和接触作用 前者包括万有引力、电磁力等 后者包括表面压力、摩擦力等
第二节 弹性力学中的几个基本概念
体力
体力（Body force）
f lim F V 0 V
--（定义）作用于物体体积内的力。
（表示）以单位体积内所受的力来量
和有限单元法）解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学
科打下基础。
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对 象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？
3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
第一章 绪论
外力
§1－2 弹性力学中的几个基本概念
-- 形状的改变。以通过一点的沿坐标正向
微分线段的正应变 (Normal strain)和切应变
(Shearing strain)来表示。
正应变 x , y，以伸长为正。 切应变 ,xy以直角减小为正,用弧度表示。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
然后在边界条件下求解上述方程，得 出应力、形变和位移。
第三节 弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？
任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素,从而建立 计算模型,并归纳为学科的基本假定。
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹性 力学理论中的作用： （1）连续性(Continuity)--假定物体是连续 的。
因此，各物理量可用连续函数表示。
这是连续介质力学（包括固体力学和流体 力学）中的基本假定。
反例： 带裂纹材料 – 断裂力学 多孔介质 散粒体材料 – DEM、DDA
第三节 弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性(perfect elasticity)-假定物体是,
a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。
切应力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)：
由微分体的平衡条件 Μ得 0：
xy yx ,
在弹力中， x与y 数yx 值相同，符号也相同。
在材力中， x与y yx数值相同，符号相反。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 (Deformation)
F lim f S0 S
度， f x , f y , f z .
（量纲）ML-1T-2.
（符号）坐标正向为正 。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：表示出下图中正的体力和面力
O(z)
x
fx
fx
fy
fy
y
O(z)
x
fy
fx
fx
fy
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 (Internal force)
第一节 弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,具
有重要的地位：
弹性力学是其他固体力学分支学科的基 础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤 其对于安全性和经济性要求很高的近代大型 工程结构，须用弹力方法进行分析，或以弹 性应力分析和变形分析为基础。
二滩拱坝
H=240m
施工中的龙滩大坝
xy -- x面上沿 y向切应力(Shearing
stress)。
（符号）坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正。
柯西（1789-1857）
出生于巴黎。在纯数学和应用数学的功力
是相当深厚的，很多数学的定理和公式也
都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯 西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上 仅次于欧拉的人。
--假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 (Stress)
--截面上某一点处，单 位
截面面积上的内力值。
p lim F A0 A
（量纲）ML-1T -2 .
（表示）σ x -- x 面上沿 x向正应力(Normal
stress)，
oz
x
P
yx α
B y
α
A
xy
C
第二节 弹性力学中的几个基本概念
位移
位移(Displacement)
-- 一点位置的移动，用 , u 表v示,
量纲为 L。以坐标正向为正。
变形前p x, y,变形后 pxu,yv.
基本物理量 平面问题
外力 体力 （已 知量） 面力
在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界
条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出 较精确的解答。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不是十
分严格的：常常引用近似的计算假设（如 平面截面假设）来简化问题，并在许多方 面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得出 的是近似的解答。从其精度来看，材料力 学解法只能适用于杆件形状的结构。
第三节 弹性力学中的基本假定
变形状态假定：
变形状态假定
（5）小变形假定(micro-deformation
assumption)--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜ 1弧度（57.3°）.
第三节 弹性力学中的基本假定
因此， E、μ等与方向无关。
含义：试样制作不需要考虑方向。 作用：数学描述简单 适用性：当材料的各向异性性不明显或是可忽 略的次要因素。
反例：如木材、沉积岩等材料。
由（3）,（4）知E、μ等为常数
（3）均匀性(homogeneity) （4）各向同性(isotropy) 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体 (perfect elastic body)。 （1）连续性(Continuity) （2）完全弹性(perfect elasticity)