泛函极值及变分法

J y( x) ≥J y( x) y( x)
令 f ( ) J y( x) y( x)，则有：
（2.1.15）
f ( )
0
J y( x) J y( x) y( x) f ( )
（2.1.16）
上式表示 f ( ) 在 0 处有极大值，根据函数取极值的必要条件：
2
泛函变分是 J [ y( x) y( x)] 对 的导数在 =0 时的值，即：
J
J [ y ( x) y ( x)] 0 L[ y ( x),y ( x)]
（2.1.6）
首先，我们进行泛函：
J J [ y ( x)]

x2
x1
F ( x, y ( x), y ( x))dx
J y ( x) n J y ( x) （4）
J y ( x)
（2.1.14d）
2.1.2 泛函的极值和变分问题
本节将讨论泛函的极值和变分。 微积分知识： 函数取极值的必要条件（但不是充分条件） ：对于一个连续可导函数，如果其在定义域 的某（些）点函数有极值，那么这个函数的一阶导数在这（些）点等于零，这个（些）点就 是函数的极值点或驻点。 对于泛函的极值问题， 也有类似的结论， 即泛函取极值的必要条件是其一阶变分 J 0 。 简要证明： 假设函数 y(x)是泛函 J 所定义的函数集合中的任一函数，这里不妨设泛函 J[y(x)]在函数 y(x)处有极大值，那么对于任一实变量 ，必有：
J1 y ( x ) J1 y ( x ) J 2 y ( x ) J 1 y ( x ) J 2 y ( x ) 2 J 2 y( x) J 2 y ( x)
n n 1
（2.1.14c）
y( x1 ) y1 , y( x2 ) y2
5
（2.1.25）
采用拉格朗日法来求其泛函变分，有：
J y y


x2
x1
F ( x, y y, y y )dx

（2.1.26）
令： y y y, y y y . （利用复合函数求导法则）
（2.1.22）
则在区域 S 内有：
F ( x, y) 0
现在我们来研究最简单的泛函：
J J y ( x)
（2.1.23）

ห้องสมุดไป่ตู้
x2
x1
F x, y ( x), y( x) dx
（2.1.24）
的极值问题。 其中 F 为 x，y 和 y 的函数，且 F ( x, y, y) 是三阶可微的。 确定泛函极值的曲线 y y( x) 的边界是固定不变的，且有：
2J

x2 2 F
x1
2F 2F 2 yy (y ) 2 dx 2 (y ) 2 yy ( y) y
（2.1.10）
也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到：
J

J y ( x) y ( x) 0
J [ y ( x)]

x2
1 y 2 2 g[ y ( x 1 ) y ( x )
x1
dx
1/ 2
x2
x1
1 [ y( x)]2 2 g[ y ( x1 ) y ( x)]
dx
（2.1.2）
则最速降线问题对应于泛函 J[y(x)]取最小值。 回顾函数的微分： 对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：
x2
dx
（2.1.8）
当 y 0 ，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。 根据变分的定义，该泛函的变分为：
J

x2
x1
F F y y y y dx
（2.1.9）
（2.1.9）也称为泛函 J 的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作δ2J，即：
J1 y ( x) J 2 y ( x) J1 y ( x) J 2 y ( x) （1）
（2.1.14a） （2.1.14b）
（2） J1 y ( x) J 2 y ( x) J1 y ( x) J 2 y ( x) J1 y ( x) J 2 y ( x) （3）
（2.1.20） （2.1.21）
则在线段（x1,x2）上有： F ( x) 0 这里 y( x) 满足的一般条件为： ① 一般或若干阶可微； ② 在（x1,x2）的端点外为 0； ③ y ( x) 或 y ( x) 和 y ( x) 等。 对于多变量问题，也有类似的变分定理。
J

xB
xA
1 (dy / dx) 2 dx
（2.1.1）
显然，对于不同的曲线 y(x)，对应于不同的长度 J，即 J 是函数 y(x)的函数，J=J[y(x)]。
图 2.1.1 两点间任一曲线的长度 例 2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果 2.1.2 所示。设在不同铅垂线上 的两点 P1 与 P2 连接成某一曲线，质点 P 在重力作用下沿曲线由点 P1 自由滑落到点 P2，这 里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
J y( x) 0,
2 J y ( x)＞0
（2.1.19）
通常，我们将求泛函极值的问题称为变分问题。 变分法的基本预备定理： 如果函数 F（x）在线段（x1,x2）上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选取的函 数 y( x) ，有：

x2
x1
F ( x)y ( x)dx 0
J
其中：
J y y 0

x2 F
x1
F y y y y dx
（2.1.28）
F F F ( x, y, y ), F ( x, y, y ) y y y y
第二章 泛函极值及变分法（补充内容）
2.1 变分的基本概念
2.1.1 泛函和变分
泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y(x)}中的每一个函数 y(x)，变量 J 有一 值与之对应，或者说数 J 对应于函数 y(x)的关系成立，则我们称变量 J 是函数 y(x)的泛函， 记为 J[y(x)]。 例 1：如果表示两固定端点 A(xA，yA)，B(xB，yB)间的曲线长度 J（图 2.1.1） ，则由微积分相关 知识容易得到：
x2 J y y F ( x, y y, y y ) y F ( x, y y, y y ) y dx x1 y y
（2.1.27） 令 0 ，则：

x2
x1
dx F ( x, y y, y y) 0

x2
x1
(
F F y y)dx y y
（2.1.11）
此结果与（2.1.9）是相同的。 类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如：
J J u ( x, y ), v( x, y ) s F ( x, y , u , v, u x , u y , v x , v y )ds
dy( x x) d
0
y( x x)x 0 y( x)x dy
（2.1.4）
上式说明 y( x x) 在 ε=0 处关于 ε 的导数就是函数 y(x)在 x 处的微分。相应地， 在泛函 J[y(x)]中，变量函数 y(x)的增量在其很小时称为变分，用δy(x)或δy 表示， 指 y(x)与它相接近的 y1(x)的差，即： y( x) y( x) y1( x) 。 泛函的变分也有类似的两个定义： 对于函数 y(x)的变分δy(x)所引起的泛函的增量为 J J [ y( x) y( x)] J [ y( x)] ，当
y y( x x) y( x) A( x)x ( x, x)
（2.1.3）
其中 A（x）与 x 无关，且有 x→0 时 ρ（x, x）→0，于是就称函数 y(x)是可微的，其
线性部分称为函数的微分 dy A( x)x y( x)x ，函数的微分就是函数增量的主部。 函数微分的另外一种定义： 通过引入一小参数 ε，对 y( x x) 关于 ε 求导数，并令 ε→0 的途径得到，即：
（2.1.17）
泛函实现局部极大或极小值的充要条件与函数取极值的充要条件类似，除了其一阶变 分为零外，还需要考察二阶变分的情况：
4
1) 若泛函 J[y(x)]在 y(x)处取局部极大值，其充分必要条件为：
J y( x) 0,
2 J y ( x)＜0
（2.1.18）
2) 若泛函 J[y(x)]在 y(x)处取局部极小值，其充分必要条件为：
df ( ) 0 0 ，得到： d df ( ) dJ y ( x) y ( x) 0 0 J 0 d d
由此就得到泛函取极大值的必要条件是其一阶变分为零。 同样的方法可以证明，泛函取极小值的必要条件也是其一阶变分为零。 泛函实现局部极大或极小值的充要条件：
图 2.1.2 最速降线问题 选取一个表示曲线的函数 y(x)，设质点从 P1 到 P2 沿曲线 y=y(x)运动，则其运动速度为：
v
1 y 2 ds dx dt dt
其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：
dt
1 y 2 dx v
1
设重力加速度为 g，则 v 2 gy 。 因为 P1 和 P2 点的横坐标分别为 x1 到 x2，那么质点从 P1 到 P2 所用时间便为：
二维：函数 F（x，y）在（x，y）平面 S 内连续，设 u( x, y) 在 S 的边界上为零，
u , u , u y 且满足连续性以及一阶或若干阶的可微性，对于这样选取的
u( x, y) ，若有：

s
F ( x, y ) u ( x, y ) dxdy 0
y( x) 0 时泛函增量的线性主部就称为泛函 J 在函数 y(x)处的变分，记为δJ，即：
J J [ y( x) y( x)] J [ y( x)]y0 L[ y( x),y( x)]
（2.1.5）
其中 L[y(x),δy(x)]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy(x)是线性的。 另一种定义： 拉格朗日的泛函变分定义为：
（2.1.7）
的变分。 此泛函的增量可以用 Taylor 展式表示为：
J F x, y ( x) y ( x), y ( x) y ( x) F x, y ( x), y ( x) dx x1
x2 F 1 2 F 2 F 2 F F y y 2 (y )2 yy (y ) 2 2 x1 y 2 y yy ( y ) y
其变分为：
（2.1.12）
J s
F u
u
F F F F F v ux uy vx v y ds v u x u y vx v y
（2.1.13）
依此类推，不难得到多个多元函数的变分。
3
此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：