数学建模 插值
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为解决Runge问题，引入分段插值。
2.2.2 分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段
多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
：a x0 x1 ，L 并 x在n 每b 个子段 上构造x插i , x值i1
多项式，然后把它们装配在一
起，作为整个区间 a上,b的插值函数，即称为
1. yi=interp1(x，y，xi)，默认为分段线性插 值
2. yi=interp1(y，xi)，在默认情况下，x变量 选择为1：n，其中n是向量y的长度
Method方法中有以下特点：
1. nearest，最邻近插值方法。这种方法在已知数 据的最邻近点设置插值点，对插值点的数值进 行四舍五入，对超出范围的数据点返回NaN。这 种方法速度最快，占用内存最小，但一般来说 误差最大，插值结果最不光滑。
数学建模
插值
一、概述
在实际中，常常要处理由实验或测量所 得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是 要通过这些数据去确定某一类已知函数的参 数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函 数与已知数据有较高的拟合精度。
如果要求这个近似函数（曲线或曲面） 经过所已知的所有数据点，则称此类问题为 插值问题。（可以不需要函数表达式）
三、用MATLAB解插值问题 网格节点数据的插值 散点数据的插值
二、一维插值
已知 n+1个节点(x j , y j ) ( j 0,1,L , n,其中 x j
互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点 x*( xj ) 处的插值 y*.
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
0,
其他
xj xj+1 xn
x
计算量与n无关; n越大，误差越小.
lim
n
Ln (x)
g(x),
x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn
1 例2 g(x) 1 x2 , 5 x 5
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.
1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11.m) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12.m) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13.m) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14.m)
但事实并非如此。
反例：
f (x) 1 1 x2
在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此区间上取n个节点
所构成的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛。
例1 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。
>> x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.1:5]; >> y0=lagrange(x,y,x0); >> y1=1./(1+x0.^2); ％绘制图形 >> plot(x0,y0,'--r') ％插值曲线 >> hold on >> plot(x0,y1, '-b') ％原曲线 >> hold off
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
一、插值的定义 二、插值的方法
一维插值
拉格朗日插值
分段线性插值
三次样条插值 三、用MATLAB解插值问题
二维插值
一、二维插值定义
二、网格节点插值法 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g表达式复杂,
或无封闭形式, 或未知.
2.1 插值的定义
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f (x j ) y j ( j 0,1,L , n) 再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
y*
y1
• •
y0 •
分段段上多都项是式次。式如k，果则函称数为具S在k有 分x 分划划
的每个子 的分段
次式。 k
分段线性插值
y
• •
• •
• •
Ｏ x0
xj-1
n
Ln ( x) y jl j (x) j0
x x j1
x
j
x j 1
,
x j 1
x
xj
l j (x)
x xj
x j 1 x j 1
,
xj
x
x j 1
样条插值就是一个很好的例子．
样条函数的背景和定义 分段线性插值导数不连续； Hermite插值导数连续但需要已知； 本节讨论一种特殊类型的分段三次插
值，称为三次样条插值。 比拉格朗日插值多两个条件，二阶导
数连续。
2.3 MTALAB中有关插值的命令
2.3.1 一维插值函数命令：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 插值节点 值结果
被插值点
插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ：分段线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值；
‘pchip’:分段三次Hermite
插值
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能 够超过x的范围。
注意：
2.2.3 埃尔米特插值
不少插值问题不仅要求在节点上函数值相 等，而且要求在某些节点上对应的导数值甚至 高阶导数值相等，这种插值问题称为Hermite插 值。
着重讨论一种情况：在n 1个节点a x0 x1 L xn b 上已知f (xi ) fi和f (xi ) fi,i 0,1,L , n, 要求一个次数不 超过2n 1次的多项式H2n1(x)满足
H2n1(xi ) fi , H 2n1(xi ) fi, i 0,1,L , n.
2.2.4 三次样条插值
比分段线性插值更光滑
y
a
xi-1 xi
bx
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲
线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光
滑性．
光滑性的阶次越高，则越光滑．是否存在较低
次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次
x0 x1 x*
• •
xn
2.2 插值的方法
选用不同类型的插值函数，逼近的效果 就不同，插值函数一般有：
（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
Runge现象
问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式p(x)的
近似值，一般总认为p(x)的次数越高则逼近f(x)的精度就越好，
2. linear，分段线性插值。该方法采用直线将相邻 的数据点相连，对超出范围的数据点返回NaN。 这种方法在速度和误差之间取得了比较好的均 衡，其插值函数具有连续性，但在已知数据点 处的斜率一般都会改变，因此它不是光滑的。
2.2.2 分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段
多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
：a x0 x1 ，L 并 x在n 每b 个子段 上构造x插i , x值i1
多项式，然后把它们装配在一
起，作为整个区间 a上,b的插值函数，即称为
1. yi=interp1(x，y，xi)，默认为分段线性插 值
2. yi=interp1(y，xi)，在默认情况下，x变量 选择为1：n，其中n是向量y的长度
Method方法中有以下特点：
1. nearest，最邻近插值方法。这种方法在已知数 据的最邻近点设置插值点，对插值点的数值进 行四舍五入，对超出范围的数据点返回NaN。这 种方法速度最快，占用内存最小，但一般来说 误差最大，插值结果最不光滑。
数学建模
插值
一、概述
在实际中，常常要处理由实验或测量所 得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是 要通过这些数据去确定某一类已知函数的参 数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函 数与已知数据有较高的拟合精度。
如果要求这个近似函数（曲线或曲面） 经过所已知的所有数据点，则称此类问题为 插值问题。（可以不需要函数表达式）
三、用MATLAB解插值问题 网格节点数据的插值 散点数据的插值
二、一维插值
已知 n+1个节点(x j , y j ) ( j 0,1,L , n,其中 x j
互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点 x*( xj ) 处的插值 y*.
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
0,
其他
xj xj+1 xn
x
计算量与n无关; n越大，误差越小.
lim
n
Ln (x)
g(x),
x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn
1 例2 g(x) 1 x2 , 5 x 5
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.
1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11.m) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12.m) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13.m) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14.m)
但事实并非如此。
反例：
f (x) 1 1 x2
在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此区间上取n个节点
所构成的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛。
例1 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。
>> x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.1:5]; >> y0=lagrange(x,y,x0); >> y1=1./(1+x0.^2); ％绘制图形 >> plot(x0,y0,'--r') ％插值曲线 >> hold on >> plot(x0,y1, '-b') ％原曲线 >> hold off
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
一、插值的定义 二、插值的方法
一维插值
拉格朗日插值
分段线性插值
三次样条插值 三、用MATLAB解插值问题
二维插值
一、二维插值定义
二、网格节点插值法 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g表达式复杂,
或无封闭形式, 或未知.
2.1 插值的定义
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f (x j ) y j ( j 0,1,L , n) 再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
y*
y1
• •
y0 •
分段段上多都项是式次。式如k，果则函称数为具S在k有 分x 分划划
的每个子 的分段
次式。 k
分段线性插值
y
• •
• •
• •
Ｏ x0
xj-1
n
Ln ( x) y jl j (x) j0
x x j1
x
j
x j 1
,
x j 1
x
xj
l j (x)
x xj
x j 1 x j 1
,
xj
x
x j 1
样条插值就是一个很好的例子．
样条函数的背景和定义 分段线性插值导数不连续； Hermite插值导数连续但需要已知； 本节讨论一种特殊类型的分段三次插
值，称为三次样条插值。 比拉格朗日插值多两个条件，二阶导
数连续。
2.3 MTALAB中有关插值的命令
2.3.1 一维插值函数命令：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 插值节点 值结果
被插值点
插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ：分段线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值；
‘pchip’:分段三次Hermite
插值
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能 够超过x的范围。
注意：
2.2.3 埃尔米特插值
不少插值问题不仅要求在节点上函数值相 等，而且要求在某些节点上对应的导数值甚至 高阶导数值相等，这种插值问题称为Hermite插 值。
着重讨论一种情况：在n 1个节点a x0 x1 L xn b 上已知f (xi ) fi和f (xi ) fi,i 0,1,L , n, 要求一个次数不 超过2n 1次的多项式H2n1(x)满足
H2n1(xi ) fi , H 2n1(xi ) fi, i 0,1,L , n.
2.2.4 三次样条插值
比分段线性插值更光滑
y
a
xi-1 xi
bx
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲
线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光
滑性．
光滑性的阶次越高，则越光滑．是否存在较低
次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次
x0 x1 x*
• •
xn
2.2 插值的方法
选用不同类型的插值函数，逼近的效果 就不同，插值函数一般有：
（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
Runge现象
问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式p(x)的
近似值，一般总认为p(x)的次数越高则逼近f(x)的精度就越好，
2. linear，分段线性插值。该方法采用直线将相邻 的数据点相连，对超出范围的数据点返回NaN。 这种方法在速度和误差之间取得了比较好的均 衡，其插值函数具有连续性，但在已知数据点 处的斜率一般都会改变，因此它不是光滑的。