变质量物体动力学研究

毕业论文

题目：变质量物体动力学研究学号：06111002028

姓名：肖贵仁

教学院：理学院

专业班级：物理学10级（2）班指导教师：张凤玲

完成时间：2014年5月10日

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论文作者：（签字）时间：年月日

指导教师：（签字）时间：年月日

目录

摘要: (i)

Abstract: (ii)

引言 (1)

1. 变质量物体的动力学问题 (1)

1.1动力学方程 (1)

1.2拉格朗日方程 (4)

2. 变质量物体动力学方程的应用 (7)

2.1水滴下落问题 (7)

2.2火箭升空问题 (10)

3. 总结 (13)

参考文献 (15)

致谢 (16)

变质量物体动力学研究

作者姓名：肖贵仁 专业班级：物理学10级2班 学 号：06111002028 指导老师：张凤玲

摘要：

首先导出变质量物体的动力学方程和拉格朗日方程，然后对水滴下落问题和火箭升空问题进行分析和讨论，借助MATHEMATICA 进行可视化处理，给出水滴下落问题和火箭升空问题的t v -图像和t s -图像。

关键词：

变质量物体；动力学方程；拉格朗日方程；可视化处理

Dynamics of variable mass objects

Candidate: Xiao Gui-ren Major: Physics

Student No.: 06111002028 Advisor: Zhang Feng-ling

Abstract:

Dynamics equation and Lagrange equation of the variable mass object were derived in this paper. Then the droplets and rocket problems were analyzed and discussed. Finally, the diagrams of t v - and t s - of droplets and rocket problems were showed by MATHEMATICA plot function.

Keywords:

Variable mass matter ；Dynamic equation ；Lagrange equation ；Visualization

引言

在经典力学物体运动问题的讨论中，物体质量往往是固定不变的。但是在日常生活或工程实践中，会经常碰到这样的问题，运动的物体由于不断地有物质的并入或分离而导致质量的变化，这样的问题称为变质量问题[1-10]。如水滴下落和火箭升空等问题都属于变质量问题。本文所讨论的变质量问题，是指在低速(c v 光速<<)条件下物体的动力学问题。

文献[1]根据牛顿力学的动量定理，简单的推导出变质量物体的动力学方程，对火箭升空问题作了相应的介绍；文献[2]中将变质量系统的分离或并入的质量看成是小量，且是时间的连续可微函数，并由变质量动量定理导出变质量系统的动力学方程，即密歇尔斯基方程。但是，文献[1]中变质量问题的概念较为模糊，对变质量物体的动力学问题，方程的推导和讨论都没有进行详细的分析和讲解，也没有分析同时有质量分离和并入时的情况。文献[2]简单的给出在变质量系统的动量定理和动量矩定律，主要思想是将主体和微元组成的质系看成是一个变质量系统，但是都是直接给出结论而没有给出进一步的推导过程。

本文在前人的研究基础上,从动力学的基本原理出发，分别导出变质量物体的动力学方程和拉格朗日方程。在文献[1]和文献[2]的基础上，结合图形，导出质量增加和质量减少的情况下的变质量物体的动力学方程，对其形式和应用进行分析和讨论。并借助MATHEMATICA 软件对水滴下落和火箭升空的运动规律进行可视化处理，给出变质量物体的位置随时间的变化关系。

1. 变质量物体的动力学问题

1.1 动力学方程

设质点（主体）在t 时刻的质量为m ，其速度为v ()c v 光速<<，用1m ∆和2m ∆分别表示分离和并入质点m 的微元的质量，它们的绝对速度分别为1u ()c u 光速<<1 和2u ()c u 光速<<2 ，在t t ∆+时刻，1m ∆从质点m 中分离出去，2m ∆和质点m 相合并，主体在运动过程中随时间连续变化。主体对微元1m ∆的作用力为1f ，微元1m ∆对主体的作用力为2f ，主体对微元2m ∆的作用力为3f ，

微元2m ∆对主体的作用力为4f ，主体所受其它外力之和为R ,微元1m ∆受其它外力之和为1F ,微元2m ∆受其它外力之和为2F ,主体和微元组成的系统所受合外力为F ，所以在该系统中，根据牛顿第三定律有：021=+f f ，043=+f f ，

214321F F R f f f f F ++++++=，故21F F R F ++=。

分别对主体和微元进行研究，在t ∆时间内，主体m 动量的增量为