工程结构抗震设计3.结构地震反应分析与抗震验算

M x K x 0
2
可由ຫໍສະໝຸດ Baidu得到相应的振幅方程：
K M X 0
K M
0
若要使方程有非零解，则要求其系数行列式的值等于零，即得 其频率方程为： 2 解此方程可求得n个正实根，这就是n个自由度体系的n个自振 频率。
3.2.2 单自由度弹性体系的运动方程
（1）随时间变化的干扰力 P(t )
（2）弹性恢复力 S (t )
S (t ) K x(t )
（3）阻尼力 R(t )
R(t ) C x(t )
（4）惯性力 I (t )
I (t ) m x(t ) xg (t ) mx(t )
Sa / g
，称为地震影响系数。实际上就是作用
于单质点弹性体系的水平地震作用与结构自重之比。
F G
——地震影响系数
3.3 多质点体系的地震反应分析
3.3.1 多质点体系计算简图 n层的房屋简化为n个质点的弹性体系。
3.3.2 多自由度弹性体系的运动方程
多高层房屋、不等高厂房、烟囱等，应将其质量相对集中于若干高度处， 简化为多质点体系。 第i质点的动力平衡方程：
n
2. 振型的最大地震作用 作用在第j振型第i质点上的最大水平地震作用绝对最大标准 值为：
Fji mi j X ji x g t j t max
x t j t g max j g
令：
Gi mi g
得：
式中：
T
X j K X i X j M X i
T 2 i T
两式相减
X i K X j X i M X j
T 2 j T
再转置
X j K X i 2 j X j M X i
第3章 结构地震反应分析 与抗震验算
*3.1 *3.2 *3.3 地震作用的性质、特点及分析方法 单自由度弹性体系的地震反应分析与抗震设计反应谱 多质点体系的地震反应分析
*3.4
3.5 3.6
多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法
水平地震作用扭转影响的地震效应 结构地震反应的时程分析法
3.7
3.8 *3.9
3.2.3
运动方程的解
1. 齐次方程的通解（自由振动）
t
0 x0 x xt e x0 cos ' t sin ' t ' ' 1 2
C C 1 ， Cr 2m 称为临界阻尼系数， 表示 2m Cr
当阻尼比 =0.05 时， ' 0.9987
阻尼比 1 时， ' 0 ，
体系的阻尼系数 C 与临界阻尼系数 Cr 的比值，所以， 又叫做临界阻尼比简称为阻尼比。
图3.4 有阻尼单自由度弹性体系 自由振动的位移曲线
3.2.4
水平地震作用的基本公式
当基础作水平运动时，根据式（3.6），可求得作用于单自 由度弹性体系质点上的惯性力：
地震作用及其效应的分析方法有反应谱法和动力分析法两类
3.2
单自由度弹性体系的地震反应分析与抗震设计 反应谱
3.2.1 单自由度弹性体系的计算简图 1、集中质量法 把结构的全部质量假想的集中到若干质点上，结构杆件本 身则看成是无重弹性直杆。 2、单自由度体系 如果一个振动体系只需要一个独立参数就可确定其弹性变 形位置，该体系即为单自由度体系。
4. 广义质量、广义刚度和广义阻尼
当 i j 时，振型关于质量、刚度及阻尼不是正交的，将
M i X i M X i 称为振型的广义质量。
T
K i X i K X i
T T
称为振型的广义刚度。
CRi X i C R X i 称为振型的广义阻尼系数。
图3.8
1940年埃尔森特罗地震加速度反应谱
3.2.6
标准反应谱
F mSa
最大绝对加速度，取决于地面运动加速度、结构自振频率及阻尼比。
| xg |max Sa F mSa mg | x | g g max Gk
3. 影响反应谱形状的因素
m[ xg (t ) x(t )] kx(t ) cx(t )
略去阻尼力项，则：
m[ xg (t ) x(t )] kx(t )
质点在任一时刻的相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。 惯性力 相对位移
地震作用
3.2.5
地震反应谱
..
根据式（3.29） ，若给定地震时地面运动的加速度记录 x g ( ) 和体系的阻尼比 ，则可 计算出质点的最大加速度 S a 和体系自振周期 T 的一条关系曲线，并且对于不同的 值就可 得到不同的 S a - 曲线，这类 S a - 曲线称为加速度反应谱。
F2 n
F jn
Fnn
Fni
Fn 2
F2i
F22
F21
Fji
Fj 2
F j1
Fn1
n振型
1振型地震 2振型 作用标准值
j振型
3. 振型组合
S EK
S
2 j
式中， S ——水平地震作用标准值的效应（内力或变形）；
S j——j振型水平地震作用标准值产生的作用效应。
一般采用前2～3阶振型即可。但考虑周期较长结构的各 个自振频率比较接近，故《抗震规范》规定，当基本自 振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，可适当增加参 与组合的振型个数。
4. 重力荷载代表值
Gi ——重力荷载代表值
《抗震规范》规定，计算水平或竖向地震作用时，结构重 力荷载应采用重力荷载代表值。抗震设计的重力荷载代表 值用 GE 表示，是指地震时的永久性的结构和构配件、非 结构构件和固定设备等的自重标准值Gk ，再加上各可变 重力荷载组合值。
GE Gk QiQki
i
式中， Qki ——第 i 个可变重力荷载的标准值；
Qi ——第 i 个可变重力荷载的抗震设计组合值系数，它是根据可变重力荷载与
地震的遇合概率确定的，应按表 3.3 采用。
3.4.3 多自由度弹性体系地震反应分析的底部剪力法
若建筑物高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿 高度分布比较均匀的结构，结构振动位移往往以第一振型为 主，而且第一振型接近于直线。
Fji j j X jiGi
i 1,2,
mi m2 m1
, m; j 1,2 , n
F1n F1i
F12
F11
j ——相应于第j振型自振周期 T j 的地
震影响系数，按图3.12确定； j ——第j振型的振型参与系数，可按 式（3.79）计算。 X ji ——j振型第i质点的水平相对位移； Gi ——集中于i质点的重力荷载代表值。
3.4.2 水平地震作用计算的振型分解反应谱法 1. 第i质点水平地震作用基本公式 多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力就是地震 作用。因此，若不考虑扭转耦联，则质点i上的地震作用为：
Fi t mi x g t xi t
t X i t j x j ji
根据其超越概率的大小，可分为多遇地震和罕遇地震。
3.1.2 地震作用及其效应的分析方法 地震作用效应是指由地震动引起结构每一个瞬时内力 （如弯矩、剪力、轴力、扭矩等）或应力、瞬时应变 或位移、瞬时运动加速度、速度等。
地震作用效应也是一种随时间快速变化的动力作用，
故又称为地震反应，也是一个随机过程。
结构静力弹塑性分析法（Push-over）概念
水平地震作用下地基与结构的相互作用 结构自振周期和振型计算
3.10
*3.11 3.12
结构竖向地震作用效应计算
地震作用的一般规定及结构抗震验算 建筑抗震性能化设计
3.1 地震作用的性质、特点及分析方法
3.1.1 地震作用的特点 地震反应：结构由地震引起的振动称为结构的地震反应。 地震作用是由地震本身强度、场地特征、结构的动力特性 等多方面因素决定的。 地震是一个随机过程。

2 j
Kj Mj
值得注意的是，上述自振周期、振型以及振型广义质量、 广义刚度、广义阻尼系数等结构参数是与地震激励（包括 激励方向和大小）无关的。
3.4
多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法
3.4.1 振型分解
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振 型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微 分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于 各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结 构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。
底部剪力法适用范围： 底部剪力法适用于一般的多层砖房等砌体结构、内框架和底部框 架抗震墙砖房、单层空旷房屋、单层工业厂房及多层框架结构等 低于40m以剪切变形为主的规则（质量和刚度沿高度分布比较均 匀）房屋。
在结构侧移曲线中，楼盖出平面转动产生的侧移所占的比例较小。
1、底部剪力的计算（结构总水平地震作用标准值） j振型i质点水平地震作用为
3. 主振型的正交性
j 分别有第 i、j阶主振型，由振幅 设系统对应固有频率i 、 方程，可写为：
2 K X i i M X i
K X j M X j
2 j
第1式两边同时前乘以第j阶的主振型的转置向量 X j ，
T
第2式两边同时前乘以第i阶的主振型的转置向量 X i ，
j 1 n
xg t j xg t X ji
j 1
n
代入上式
Fi t mi j X ji x g t j t j 1
x t j t ——与第 j 振型相应的振的绝对加速度。 g
2. 主振型 将已经求出的固有频率逐次代入振幅方程，即可求得质点的位 移幅值。设某一质点的振幅为1，并将其余质点振幅按相应比 例关系放大或缩小，就可得到主振型。
主振型：在体系振动的任一时刻，两个质点的位移比值始终
保持不变，对应于某一个自振频率就有一个振幅比，体系便按 某一弹性曲线形状发生振动，振动时振动形状保持不变，只改 变质点振动的大小和方向。该振动形式就称为主振型。
Fji j x ji j G j
j振型的底部剪力（地震作用效应）为
V j F ji
j j x jiGi
i 1
i 1 n n
j Gi 1G j x ji G i 1 1
（a）不同场地条件下的平均反应谱；
（b）不同震中距下的平均反应谱
图3.11 不同场地条件及震中距对反应谱的影响 场地条件影响最大； 其次是震级和震中距，由此，规范给出了不同设计地震分组， 并给出了不同反应谱参数。
3.2.7 设计用反应谱 为了便于计算，《抗震规范》采用相对于重力加速度的单
质点绝对最大加速度（即 S / g ）与体系自振周期之间的 a 关系作为设计用反应谱。体现了烈度、场地类型、震中距 等的影响。 其中，
T T

2 i

2 j
X M X 0
T j i
当i j 时i 与 j 不相等，所以必有
X j M X i 0
T
X j k X i
T
0
i
j －振型对质量的正交性
同样主振型关于刚度和阻尼也具有正交性。
振型对质量正交性的物理意义——i振型上的惯性力在j振型 上作的虚功等于0。
mi xg xt cir xr kir xr
r 1 r 1
n
n
(i 1， 2，…，n）
cir kir
——第r质点产生单位速度，其余点速度为零，在i质点产生的阻尼力； ——刚度系数。使第r质点沿运动方向产生单位位移（其余质点不动）时 在质点i需施加的力；
3.3.3 多自由度弹性体系的自由振动 1、自振频率 对多自由度系统无阻尼自由振动，其微分方程的矩阵形式为