三角函数的化简与求值

3 3 3 3




=cos 2x.
2 2 tan α tan2α (2) + 3 (sin α-cos α) tan2α tan α
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2 ta n α 2 2 2 1 ta n α = 2 ta n α + 3 (sin α-cos α) ta n α 2 1 ta n α 2 2 2tan 2 α = + 3 (sin α-cos α) tan α tan 3α ta n α
2
2
2
2
2 ta n α 1 ta n 2 α
.
2 2
公式变形:①1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.(升幂公式) ②cos α=
2
1 co s 2 α 2
,sin α=
2
1 co s 2 α 2
.(降幂公式)
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
6 【解析】(1) sin( x )+ cos( -x) 4
4
2
4
4
2 3 = [ sin( -x)+ cos( -x)]
2 2
1 2
4
2
4
2 = [cos sin( -x)+sin cos( -x)]
3 4 3 4
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
三角函数的化简 与求值
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
tan(α±β)=
tan α tan β 1 tan α tan β
.
公式变形:①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); ②辅助角公式:asin α+bcos α=
a2 b2sin(α+φ)(其中cos
φ=
2
a
2
a b
,sin φ=
b
2
a b2
).
二、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α;
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
cos 2α=cos α-sin α=1-2sin α=2cos α-1; tan 2α=
【分析】此三角函数式出现两类函数,利用两角和与差公式 统一函数成为化简的主要目标. 【解析】(1)sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ )
3
6




3
3
=sin(3x+ )sin [ +(x- )]+cos(3x+ )cos(x+ )
3 2
6





3
3
Leabharlann Baidu
=sin(3x+ )sin(x+ )+cos(3x+ )cos(x+ )
三、半角公式 sin =±
2 θ
1 cos θ , 2
cos =±
2
θ
1 cos θ , 2
tan =±
2
θ
1 cos θ , 1 cos θ
θ 其中符号“±”的选取由 角的范围确定. 2
用正余弦来表示正切的半角公式: tan =
α 2
s in α 1 cos α = 1 cos α s in α
【点评】三角函数公式的结构特点是引导三角变换的导火 线,“统一思想”是一个基本变换准则,否则三角变换过程就 会乱.
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
6 2 变式训练1 (1)化简 sin( -x)+ cos( -x);
4
4
4
4
(2)化简 .
s i n ( α β ) 2 s i n α c o sβ 2 s i n α s i n β c o s ( α β )
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
=
2 ta n α + 3 2 1 ta n α
(sin α-cos α)
2 2
2
2
=2sin αcos α- 3 (cos α-sin α) =sin 2α- 3 cos 2α =2sin(2α- ). 3

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

2
【解析】∵△ABC为锐角三角形,∴A+B> , ∴cos(A+B)<0, 即cos A· cos B-sin A· sin B<0, ∴cos A· cos B<sin A· sin B,即y<x. 【答案】y<x
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
核心突围
技能聚合
题型1 三角函数式的化简
例1 (1)化简sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ );
3
6
3
3
(2)化简
tan α tan2α tan2α tan α
+ 3 (sin α-cos α).
2
2
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
.
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
1.设sin =m,则tan 等于 (
5

2 5
)
(A)
m
1 m2
. .

5
(B)2m 1 m2 . (D)1-m.

5
2m 1 m 2 (C) 1 2m 2
【解析】cos = 1 m2 ,tan
) (D)cos 1.
【解析】cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)=-cos x· sin(1-x)-sin x· cos (1-x)=-sin 1. 【答案】A
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
3.在锐角△ABC中,设x=sin A· sin B,y=cos A· cos B,则x,y的大 小关系是 .
7 2 = sin( -x).
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
= 1 m2
m
2 ,tan 5 = 1 ta n 2 5
2 ta n 5
=
1 m m 2 1 1 m
2
m
2
2
=
2m 1 m 2 1 2m 2
.
【答案】C
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
2.cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)等于 ( (A)-sin 1. (B)sin 1. (C)-cos 1.