依概率收敛与弱大数定律

§2 依概率收敛与弱大数定律

一、依概率收敛 二、弱大数定律

一、依概率收敛

尽管分布函数完全反映了随机变量取值得分布规律, 但就是两个不同得随机变量可以有相同得分布函数、 例如, 向区间[0,1]上随机等可能投点,ω表示落点得位置，定义

ξω(),,=⎧⎨⎩10

ωω∈∈[,.](.,]005051 ηω(),,=⎧⎨⎩01 ωω∈∈[,.](.,]005051、 (1) 则ξ与η具有相同得分布函数

F(x)=⎪⎩⎪

⎨⎧,1,2/1,0 .1,10,

0≥<≤

(2)

如果定义ξξn =, n ≥1, 则

ξηn d −→−, 但||ξηn -≡1、 这表明分布函数收敛性并不能反映随机变量序列取值之间得接近程度、 为此需要引入另外得收敛性、

定义1 设ξ与ξn 就是定义在同一概率空间 (Ω,F, P)上得随机变量序列、 如果对任意ε>0,

lim (||)

n n P →∞

-≥ξξε=0, (3)

或

lim (||)

n n P →∞

-<ξξε=1,

'

)3(

则称ξn 依概率收敛(convergence in probability)于ξ，记作ξn

P

−→−ξ、 注 定义1要求所有ξ与ξn 得定义域相同、

ξn P

−→−ξ可直观地理解为：除去极小得可能性，只要n 充分大，ξn 与ξ得取值就可以任意接近、

从上面例子可以瞧出, 由ξn d −

→−ξ并不能导出ξn P

−→−ξ、 关于这两种收敛性之间得关系，我们有下面得定理、

定理1 设ξ与ξn 就是定义在概率空间 (Ω,F, P)上得随机变量序列、

1、 如果ξn P −

→−ξ, 则 ξn d

−→−ξ、 2、 如果ξn d

c −

→−, c 为常数，则ξn P

c −→−、 证 1、 设F 与F n 分别就是ξ与ξn 得分布函数，x 表示F 得连续点、 任意给定ε>0,

(ξεξεξξεξ≤-=≤-≤≤->x x x x x n n )(,)(,)Y

⊆≤-≥()()ξξξεn n x Y ,

因此

F(x -≤+-≥εξξε)()()F x P n n 、

令n →∞, 由于

ξn P −→−ξ, 故P P n n ()(||)ξξεξξε-≥≤-≥→0, 从而 F(x

-≤→∞

ε)lim ()

n n F x 、 (4)

类似地

()(,)(,)ξξξεξξεn n n x x x x x ≤=≤≤+≤>+Y

⊆≤+-≥()()ξεξξεx n Y ,

从而

F x F x P n n ()()()≤++-≥εξξε、

令n →∞, 得

lim ()()

n n F x F x →∞

≤+ε、 (5)

连接(4) (5)两式，对任意ε>0, 有

F(x

-≤→∞

ε)lim ()

n n F x ≤

lim ()()

n n F x F x →∞

≤+ε、

由于F 在x 点连续，令ε→0, 就得

lim ()()

n n F x F x →∞

=, 即

ξn d

−→−ξ、 2、 如果ξn d

c −

→−，则 lim (),,n n F x →∞=⎧⎨⎩01 x c

x c <≥、

因此对任意ε>0,有

)

()(1)()()|(|εξεξεξεξεξ-≤++<-=-≤++≥=≥-c P c P c P c P c P n n n n n

=1-+-+-→F c F c n n ()(),εε00 (n →∞)、

定理证毕、

例1 设{ξn }独立同分布，都为[0, a]上得均匀分布, ηξξξn n =max{,,,}12Λ、求证

ηn P

a −→−、

证 由定理1, 只须证明ηn 得分布函数G x D x a n W

()()−

→−-, 其中D(x-a)就是在a 点得退化分布函数、

从第二章知道：若ξk 得分布函数为F(x), 则ηn 得分布函数为G x F x n n

()[()]=、 现在ξk 得

分布函数为

F(x)=

⎪⎩

⎪

⎨⎧,

1,/,0a x .,0,

0a x a x x ≥<≤<

故

G x x a n n (),

(/),,=⎧⎨⎪⎩⎪01 x x a x a <≤<≥00 → D(x-a)=01,,⎧⎨⎩

x a

x a <≥

(n →∞)、

证毕、

依概率收敛有许多性质类似于微积分中数列极限得性质, 下面仅举两个例子说明这类问题得证题方法、 大部分性质放在习题中留给读者自己证明、

例2 设ξ与ξn 就是定义在概率空间 (Ω,F, P)上得随机变量序列、 求证：

1、 若ξn P −→−ξ，

ξn P −→−η, 则P(ξ=η)=1、 2、 若ξn P −

→−ξ, f 就是 (-∞, ∞) 上得连续函数，则f (ξn )P

f −→−()ξ、 证 1、 任意给定ε>0，我们有

(|ξηεξξεξηε-≥⊆-≥-≥|)(||/)(||/)n n 22Y ,

从而

P(|ξηεξξεξηε-≥≤-≥+-≥|)(||/)(||/)P P n n 22、

由ξn P −→−ξ,

ξn P

−→−η, 并注意到上式左方与n 无关, 得P(|ξηε-≥|)=0、 进一步, P(|

ξηξηξη->=-≥≤-≥=∞=∞

∑|)((||/))(||/)

0111

1

P n P n n n Y =0,

即P(ξ=η)=1、

2、 任意给定εε,'>0，存在M>0, 使得

P(|ξ|≥≤M)P(|ξ|≥<'M /)/24ε、

(6)

由于ξn P

−

→−ξ, 故存在N 11≥, 当n ≥N 1时, P (||/)/ξξεn M -≥<'24, 因此