手足口病模型分析

手足口病模型分析

康慧燕王玲娜陈姗姗周红娜胡佩佩

（上海大学理学院）

摘要:本文建立了一类带有出生和死亡的手足口病的SIR模型,计算了模型的阈R,通过数值模拟以及与近几年传染手口足病的儿童患病人数的拟合估计出

值

R都是大于1的，即疾病至少爆发模型中的参数。而且近几年手口足病对应的

一次，与数据显示的结果一致。说明我们的模型是有效的。

关键字：传染病，SIR模型，阈值

1 引言

手足口病是由肠道病毒引起的传染病[1−6]，引发手足口病的肠道病毒有20多种，其中以柯萨奇病毒A16型（Cox A16）和肠道病毒71型（EV 71）最为常见。此病多发生于5岁以下儿童，表现口痛、厌食、低热、手、足、口腔等部位出现小疱疹或小溃疡，目前缺乏有效的治疗药物.

普通病例多为急性起病，并伴有发热、口痛、厌食等症状,口腔黏膜出现散在疱疹或溃疡，位于舌、颊黏膜及硬额等处为多，也可波及软腭，牙龈、扁桃体和咽部。手、足、臀部、臂部、腿部出现斑丘疹，后转为疱疹，疱疹周围可有炎性红晕，疱内液体较少。手足部较多，掌背面均有。皮疹数少则几个多则几十个。消退后不留痕迹，无色素沉着。部分病例仅表现为皮疹或疱疹性咽峡炎。多在一周内痊愈，预后良好。部分病例皮疹表现不典型，如单一部位或仅表现为斑丘疹。

少数病例（尤其是小于3岁者）病情进展迅速，在发病1～5天左右出现脑膜炎、脑炎（以脑干脑炎最为凶险）、脑脊髓炎、肺水肿、循环障碍等，极少数病例病情危重，可致死亡，存活病例可留有后遗症。

其感染途径包括消化道，呼吸道及接触传播。传播途径主要是有接触传播、接触病人接触过的毛巾、玩具等。感染者分为染病者和隐性感染者，疾病流行期间，感染者是主要传染源，包括染病者、隐性感染者。

我国全国各地及世界上大部分地区都流行此病，并且我国不少地区都有死亡病例的报导。1981年，我国在上海发现手足口病，很快北京、河北、天津、山

东等省市均有报道。1983年天津发生时，5月到10月五个月的时间里就有7000 病例；2年后又爆发了以托儿所及幼儿园为主的流行。2000年，山东省招远市流行了此病，约有1698例患儿，其中有3个小孩并发症死亡。到了2008年，手足口病蔓延，安徽、广东、天津等地爆发，山东菏泽，河南阜阳特别严重，五月份就有病例17.6万例，死亡31例。2009 年，仍是上升阶段，到4月份全国共有115618例，死亡50例。

对传染病动力学模型的研究，基本上是沿用Kermack和Mckendrick在1927年和1932年分别提出的仓室模型。他们把人群分为易感者、染病者和恢复者三大类，分别用S，I，R表示，构造了著名的SIR流行病仓室模型，建立常微分方程组来描述传染病模型。在此基础上通过考虑更多更现实动力因素，如接种、迁移、隔离等因素，得到更为复杂的动力学模型。如：SVIR、SEIR、SIQR等模型。

郭静[7]等用复杂网络上的动力学传播模型研究了手足口病的传播规律，讨论

了数据了对模型中参数的影响，该文章指出，采取措施进行控制后，病例数下降迅速，即采取的措施对疾病的控制有决定性的影响。Felix和Jane建立了一个简单的SIR动力学模型，模拟预测了手足口病的传播趋势，并计算了疾病人数的阈值。文献[8]建立了连续的SEIR手足口病传染病模型，采用的是标准发生率。将人口分为四类：易感者、潜伏者、染病者和康复者，给出了基本再生数的表达式，证明了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，而且研究了脉冲接种的情况，证明了无病周期解的存在性和稳定性。文献[9]研究了SEIQR型的模型，潜伏者染病者均具有传染性，采用的是双线型发生率。文献[10]建立的也是SEIQR型的，作者模拟的情况精确度较高，得出了几个参数的流行病学意义，做出了控制措施的定量描述，给出了合理的控制传染率的范围，即需要把传染率控制在0.3 以下。对于隔离的措施，作者得出隔离率在0.4-0.6时就能很好的控制疾病的流行。我们加入出生和死亡，建立了SIR模型，研究了手足口病的传播动力学，并用实际数据进行拟合，发现每年手足口病均会爆发一次。

2 模型和阈值

手口足病多发生在10岁以下儿童，儿童的免疫力相对较弱，这种疾病在儿童中容易传播，尤其是儿童密集的活动场所（幼儿园，学校等）。与小孩亲密接触的成人也会参与传播手口足病。但是这种疾病不具有致命性，恢复率较高，人群

对于同种手口足病型号病毒具有免疫性。考虑到以上手口足病真实传播方式，我们把人群分为三类：易感者、染病者和康复者。建立如下SIR 模型：

())

1(R R 12

222

222222212212

222212122112

1111

111211211111

1211211111

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=--+=----=-=--+=---Λ=μγγμλλμλλμμγγμλλμλλI dt

d I I I S I S dt dI S I S I S S dt dS R I dt dR I I I S I S dt dI S I S I S dt dS

其中模型中的参数含义如下：

下面我们利用再生矩阵法[11]求模型（1）的阈值。

模型（1）有无病平衡点矩阵为：在此平衡点处的新感染,1,,0,02⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛Λ-Λμμμ ,11F 2222

211211⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

Λ-Λ-ΛΛ=μμλμμλμλμλ 模型（1）在无病平衡点处转移矩阵为：

,0

V 21

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛++=γμγμ 故

()()()()

()().11FV 222212212121111-⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛+Λ-+Λ-+Λ+Λ=γμμμλγμμμλγμμλγμμλ

由

()()()()()()

λγμμμλγμμμλγμμλλ

γμμλλ-+Λ

-+Λ-+Λ-+Λ

=

-22

2212212121

111-11FV E

()()()()()()()()()2132

2112213

2221122221112

111γμγμμμλλγμγμμμλλλγμμμλγμμλλ++Λ--++Λ-+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+Λ-++Λ-=.0=

解得2

2,1a

b ±=λ， 其中()()()

,12222111γμμμλγμμλ+Λ

-++Λ=

b