第六章树木生长量

A 1 Ac'r 't
1 A' A
cAc '
A 1 cr 't
A
1 cekt
k ln r '
此式即罗辑斯谛方程。
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变换二：对数变换
若把测定值f（t）做对数变换 ln f (t) f '' (t)
才满足线性，则 f '' (t 1) r''f '' (t) b''
Z yt yt1
2
4、定期平均生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的平均生长速度，即定
期生长量 Zn
被定期的年数n除之商。记为
n
yt
ytn n
n
生长比较缓慢的树种，相差一年的连年生长量一般不
易测准，故生产中常用定期（n=5或者10年）平均生长 量来代替连年生长量。
5、总平均生长量（简称为平均生长量）
由（5）式的一般解 f '' (t) A'' c''r''t 此时 c'' 0
复原为真数则 f (t) e f '' (t) exp(A'' c''r ''t )
e / e A'' c''r ''t
eA'' A
A ec''r''t
若设 a ec'' , k ln r '' 则 f (t) A ar''t A aekt
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（3）单分子式生长曲线不存在拐点
d 2t k 2 A ekt 0 dt 2
3.单分子生长方程的拟合
求解差分方程参数 r、b
令
xt f (t)
y
' t
f (t 1)
t=1，2，···，N-1
则形成线性回归方程 y ' rx b
用前述最小二乘法求解出r、b
再回代到
n
1
100
单利公式
Va
Van
1
nPv 100
Pv
Va Van Van
100 n
即相当于以期初材积 Van 为分母。
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3.普雷斯勒（Pressier 1957）公式
此式是取定期n年间的平均生长量代替连年生长量， 取a年和a-n年的材积平均数为分母，即
Va Van
3. 当 n1 n ，则 Zn1 n1 ， 平均生长量达最高峰时 期，连年生长量和平均生长量相等。此时，林地生产力最好， 称数量成熟。
生产方程受样本函数之影响，有些在连年生长量与平均 生长量的关系上也反映出无交点或多个交点的畸变现象。
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第四节 树木生长率 Growth Percentage of Tree
y)
(1 y
k 1 1
)dy y
k
k
1dy y
k
1
y
dy
ln y ln(k y) ln y ky
右边积分：
被积函数化为部分分式：
令
y(1
1 1
y)
A y
B 1 1
y
k
k
欲使上式成立有：
A 1 B 1 A0
K
解得 A=1 B=1/K
rdt rt c c为积分常数
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代入，有
此式即为Compertz 曲线式。
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第三节 连年生长量与平均生长量的关系
Relationship between Annual Increment and Mean Annual Increment
令n年时的平均生长量 n 表示， n+1年时的平均生长量用 n1 表示， 则根据连年生长量意义可知：
Pv
Va
n Van
100
Va Va
Van Van
200 n
2
显然， pv 为树木在n年间的平均生长率
三、三种生长率计算公式之间的关系 P单> P复> P普
f (t 1) rf(t) b
r〈1， b>0 （1）式称为线性一阶差分方程式。
（1）
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以（1）式中的f（t）为x 轴，f（t+1）为y轴， 由此形成
[f（0）, f（1）],[f（1）, f（2）],···,[f（t）, f
（t+1）],···的散点图称为差分图
f (t 1)
出参数
b S xy'
S
2 x
a y'b x
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式中；
Sxy' 为协方差
S xy'
xi yi 'n x y' n 1
S
2 x
为x的方差
S
2 X
xi2
2
nx
n 1
回代即得出： m ea , r b
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二、单分子生长式（Mitscherlich)
1.方程的导出 在树木生长过程中，假定在某一时刻（t+1）的大小 f（t+1）与其前一时刻的大小f（t）存在着下列关系：
在树木幼年阶段，生长缓慢；
在树木中年阶段，生长旺盛； y
k
在树木近、成熟阶段，生长
y(t)
趋于停止。
上述特点，反映在总生长量 yt 与树木年龄t的关系，是一条被
拉常了的“s”型曲线。
0
t
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第二节 树木生长方程 Equations of Tree Increment
树木总生长量yt 关于t的函数称为泛指 生长方程。这样的生长方程有无穷多条。 其原因是影响树木生长的因子太多。通常 生长方程研究的是树木的平均生长曲线。 即在均值意义上的生长方程，是唯一的。
f (t 1) f (t) 差分图一定在45 线的上面.
A
·········
45
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f (t)
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令
f (0) c0
故：
f (1) c0r b
f (2) r f (1) b
c0r 2 b(1 r) f (3) r f (2) b
c0r 3 b(1 r r 2 ) ...
第六章 生长概论 （Introduction of Increment)
第一节 树木生长量概念 （Conception of Tree Increment)
一、树木生长量的定义
在一定间隔内，树木各调查因子（D， H，V），所发生的变化称之为树木的生长， 其变化量称之为生长量。
显然，树木的生长量是随着时间的变化 而变化，是关于时间t的函数。
令 c c0 A
则 f (t) crt A
（5）式即为（1）的一般解。
（５）
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k ln r
再假设
则 r ek
f (t ) c e kt A
(c0 A)e kt A c0 e kt A(1 e kt )
对于单分子式 有 f (0) c0 0
f (t) A(1 ekt )
指树木在[0，t]内的平均生长速度，即树木总生长量
y t 被t除之商，记为 。 yt / t
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三、树木生长特点
树木生长是依靠细胞的增殖不断地扩大它的直径、 树高、材积等，由于细胞增殖的不可逆性，决定了树木 的生长是一各“纯生型” 的生长过程是一个“纯生型” 的生长过程。具有以下特点：
生长方程描述树木某调查因子生长的 本质规律，是关于树木年龄t的确定性函数。
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一、罗缉斯谛（Logistic）方程及拟合法
1、方程的导出
设y（t）为树木的生长方程，且令树木
单位时间的生长量（即生长速度）为 dy ，
相对生长速度（即生长率）为
1 y
dy dt
dt
由于树木在林地上的营养空间有限，树
即
Z(t) y ya yan
t
n
故而在计算生产率时产生用谁做分母的问题，从 而产生不同生产率计算公式。
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1.复利式
期末材积（ Va ）为复利中的本利和，期初材积（Van） 为复利中的本金，生长率 Pv 为利率，则
Va
Va
n
1
Pv
n
100
1
Pv
2.单利公式
Va Van
d2y dt 2
r 2 y(1
y )(1 k
2y) k
令
d2y 0 dt2
yk
1 y 0 k
则 1 2y 0
y k
k
2
这就是拐点的纵坐标
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3、罗辑斯谛曲线拟合
所谓曲线拟合，即根据样本资料 (ti, yi )， i=1,2,…,n.对方程中参数r、m、k 进行抽样 估计，确定r、m、k 的值。
代入 （5）
此式即为单分子式
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2、曲线之性质
（1）有一条渐近线
limf (t) A t
A 为树木生长的极限值
当t=0 f（0）=0
（2）f（t）是关于t 的单调增函数
df d [ A(1 e kt )]
dt dt
k Aekt 0
A>0,
k>0
显然，t=0，树木生长速度的极大值。
ln y rt c ky
从而得到方程的（1）的隐式通解。为了确定积分常数c ，
代入初始条件，当t=0时， y=y0 于是 C ln y0
k y0
( y0 0)
代入通解
ln y rt ln y0
ky
k y0
移项：
ln
y ln
y0
rt
ky
k y0
k y0 y ert
y0
ky
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f (t) c0r t b(1 r r 2 ... r t1 ) （2）
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f（t）满足（1）式，f（t）称为差分方程式（1）
的解，（2）式进一步整理：
若令
A
1
b
f
r
(
t
)
c0rt
1 rt b
1 r
则（3）式成为
(3)
f (t) c0rt A Art rt (c0 A) A
t 1 me rt
K 称为树木生长的极限值
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y
k
········ · ·
t
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（2） y 是关于t的单调增函数
由公式（1），树木生长速度为
dy yr (1 1 y)
dt
k
y k dy dt 0
即y 是关于t 的增函数
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（3）曲线存在一个拐点
求y对t 的二阶导数方程
A
b 1
r
k ln r
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变换一：倒数变换
若把测定值f（t）做倒数变换 1 f (t) f ' (t) 才满足线性，则
f ' (t 1) r'f ' (t) b'
其一般解可写成
f '(t) A' c'r't
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把倒数变换复原，则：
f (t) 1 1 1 f ' (t) A' c 'r 't 1 c 'r 't A
一、生长率的定义
树木的相对生长速度，即树木一年间的生长量与其原来 大小的比值，用百分数表示。
材积生长率
Pv

Zv V
100
dy(t) dt
/
y(t)
Pt
y(t)为树木生长方程
生长率的主要意义在于产量预估。
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二、生长率的计算公式
由于在实际测定中，树木在某年龄（t）时的生 长速度（即连年生长量）常用某一段时间的定期平均 生长量所代替。
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二、生长量的种类
1、总生长量
树木从种植开始，直至调查时（t），整个期间的累
积生长量。它是t的函数，记为 y t
2、定期生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的生长量，记为 Zn。
Zn yt ytn
3、连年生长量
树木在单位时间的生长速度，即树木在一年间的生长
量，记为 Z 。
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预先给定树木调查因子y 的最大值，赋值 于k。罗辑斯谛方程可化为 k 1 me rt
y
两边取对数则 ln( k 1) ln m rt y
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b r
若令
y'
ln( k
1)
a ln m
y
X=t 则罗辑斯谛方程化为直线方程
y' a bx
根据样本统计资料
(xi
,
y
' i
)
，由最小二乘法即可求
r y k
y
（Wehuls-pearl），其中，kr y 是树木竞争 其相对生长速度的下降量。故称为“拥挤效 应系数”。
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方程（1）是变量可分离型一阶常微分方程， 用变量分离法解之：
首先进行变量分离
两边积分
dy
rdt
y(1 1 y)
k
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左边积分：
1
dy y(1 1
木生长受到林木竞争的限制，且随树木调
查因子y（t）的增长而竞争加剧，使得该
树木的相对生长速度为y的递减函数。
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假设 dy 1 为y 的线性递减函数，即令下式成 立： dt y
1 dy r r y
y dt
k
（1） 1 dy
r y dt
式中r、k 为大于零的常数。 (1)式为著名的阻滞方程
Zn1 (n 1) n1 n n n n1 n1 n n
Zn1 n1 n(n1 n )
平 连
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所以
1. 当 n1 n ，则 Zn1 n1 ，亦即平均生长量在上升时 期，连年生长量就大于平均生长量。
2. 当 n1 n ，则 Zn1 n1 ，亦即平均生长量在下降时 期，连年生长量就小于平均生长量。
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令 k y0 m y0
则 m y ert ky
my ert (k y)
k ert
k
y m ert
1 mert
（2）
式（2）即为著名的罗辑斯谛方程。
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2.罗辑斯谛方程的性质
（1）罗缉斯缔曲线有两条渐近线
Y=k
y=0
lim
k t 1 me rt
0
lim k k