几种有效的数值算法

V s
V s
N
g (P ) G (P )f(P ),P V s; g ˆN g (P i)/N
lim 收敛性 PNXN E(X)1
i 1
(): 概率密度函数
P 误X 差N 对E 于( X 独) 立 同 分布/ 随机N 序 列2 ，/ 由2 中心0 极 限e 定t 2 / 理2 d 可t 知1
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( t )
为小波母函数
|a |
a
二进制离散小波 m ,n (t) 2 m /n(2 m t n ),m ,n Z .
母函数通过伸缩平移变换生成一组正交的离散小波基函数，
()中的函数 () 可通过级数展开获得时域或频域的多尺度信

息

离散小波变换f(t)
几种有效的数值算法
报告人：王 武
中科院超级计算中心 :
年月
,
,
,
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2u f
2
() , ,
. 快速多极子方法
快速多极子方法克服了多粒子模拟中最大的瓶颈：精确计算个 粒子之间通过万有引力或静电力的相互作用（比如星系中的星 体，或蛋白质中的分子）需要()的量级。而达到了()的量级。 显著的优点之一是它可以任意调整精度
这种算法通过多极展开（空间的粒子或质点、偶极子，四重极 子等等）来近似远处的粒子组对近端的局部粒子组的作用
一个递归划分的空间用来描述随距离增大的更大的组
3
体问题
静电场和引力场
位E F 势i( 的y ) 多j 1 N 极 ,j 子ik ( 展y q |) iq 开, x ij ( x (y x i) j |x 3jj)|o y r k q F x jij |,jF 1 N ( ,jy i i) G m E |ix m (y iji ) (x x ijq |i3 m x ijd ) d 2 tx 2 i
Algorithm: MG (Ak, bk, uk, k) %V-循环结构的多重网格方法
Step1. If k is the coarsest level, uk= Inv(Ak) bk, return
Step2. uk = Sk (Ak, bk, uk ) % 前光滑化(pre-smoothing),
( y ) iN 1 |y q ix i| n 0 m n n M n m Y |y n m |( n y 1 ) ,M n m iN 1 q i|x i|n Y n m ( x i)
矩阵向量乘积形式 yA xA n ea rxA fa rx a i j ( r j r i) 1 /|r j r i|,e - j k |r j r i|/|r j r i|,...4
Байду номын сангаас应用综述
5
的应用综述
6
涡粒子方法
方程 型基函数
7
多极子展开
型
e x p 4 ( j |k r i j |r |i j|) 1 6 j k 2 p K 1 w p e L x p { j k k p ( r i m ) } T L ( r m m ') e x p { j k k p ( r j m ') }
: –, – – – 多重网格方法的三要素：光滑，限制，延拓 松弛迭代(如、) 作为光滑 相邻点的加权平均作为限制 分片线性插值作为延拓
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•Ax=b的预条件迭代: M(xk+1-xk)=b-Axk , ek=xk+1-xk , rk=b-Axk •MG可作为一种迭代法，也可作为PCG等迭代法的预条件子
(，，)；} 对右区间递归排序
}
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(), ,; ,
. 快速变换
应用数学中意义最深远的算法，无疑是使数字信号处 理实现突破性进展的。依赖于分而治之策略，把的复 杂度由() 降到(())
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(), . ,
. 小波变换

连续小波变换
W T f(a ,b )f,
(a ,b )1
f(t)* (t b )d t
态竞争（是 实验室开发的大型蒙特卡罗程序，可计算中子、
Π()光()子和电子的联合输运问题以及X临N界问N题1）iN1 Xi
Π()() .
lim PNXN
E(X)1
9
方法求积分
任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，
因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它
G ( P ) d P g ( P )f( P ) d P E g ( P )
% Sk为光滑(smoothing)算子
Step3. rk = bk - Ak uk
% 计算余量
Step4. bk-1 = Rk rk
% Rk为限制(restriction)算子
Step5. vk-1 = 0
Step6. MG (Ak-1, b k-1, vk-1, k-1) % 粗网格上的多重网格迭代求解
型
T L (2n1 )(j)nh n (2)(krm m ')P n(kPrm m ') n 0
4|1 r -r 0| n 0 m n n 2 n 1 1 Y n m (0 ,0 )r 0 nY n m (,)/r n 1
型ex p ( |yjh 2 x i|2)n P 0 1n 1 !(x i hx *)nh n(yjh x *) 8n
在线性空间中极大化 极大化 并满足约束
其中
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(), ,,;
. 子空间迭代法
子空间迭代法是用来求解形如 的方程组，是一个 的矩阵，当充 分大时，直接计算变得非常困难。
方法则巧妙地将其变为如下迭代形式求解。

()()()
这里的是一个构造出来的接近于的矩阵，而迭代形式的算法的 妙处在于，它将复杂问题化简为逐步的易于计算的子步骤。
Step7. uk = uk + Pk vk-1
% 粗网格校正, Pk为延拓(prolongation)算子
Step8. uk = Sk (Ak, bk, uk ) % 后光滑化(post-smoothing)
Hypre (High Performance Preconditioners) developed by CASC of LLNL,
0 2(x E (X )2 ) f(x )d x
正态分布概率误差 XNE(X)/ N 10
,,
. 单纯形方法
具有约束条件的线性规划问题如何求最优解？ 单纯形方法的基本思想是：从可行域的某一个极点出发，迭
代到另一个极点，并使目标函数的值有所改善，直到找出有 无最优解时为止 该方法用到了单纯形的概念，单纯形是指维中的 个顶点的凸 包，是一个多胞体(比如直线上的一个线段，平面上的一个三 角形，三维空间中的一个四面体） 单纯形法尽管理论上讲效果是指数衰减的，但在实践中却是 高度有效的
,, ,
. 方法
基于随机模拟的计算方法
确定性问题。建立概率模型，再进行随机抽样观察，其算术平 均即为所求解的近似估计。精度可用估计值的标准误差表示。
例如计算积分（多重积分，与维数无关）、计算面积（圆周率）
随机性问题。根据物理情况的概率法则，用计算机抽样试验。
例如中子在介质中的扩散、随机服务系统中的排队、动物的生
应用领域：机器学习、模式识别、神经网络、工业优化控制等 方面。解决的问题：旅行商问题、通信网络链接长度的优化问 题、铁路运输计划优化、版面设计、药物分子设计等
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的基本算子: 选择、杂交、变异

. .

.


.

(
)

.

. .
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(), . ,
. 多重网格方法
()

尽管主元选的最差时要做() 次比较，但对随机分布的数组，快 速排序还是具有( () )的平均速度，其优美的简洁性使之成为计 算复杂性的著名的例子。
(，，)
{
对[]快速排序
； 划分后的基准记录的位置， ≤≤。
(<) { 仅当区间长度大于时才须排序
(，，)； 对[]做划分
(，，)； 对左区间递归排序
基本思想:将待优化问题的目标函数理解为生物种群对环境的 适应性;将优化变量与生物种群的个体对应;在编码方案、适应 度函数及遗传算子确定后，将寻找最优解的过程与生物种群的 进化过程类比
该方法在每次迭代中都保留一组候选解，并按某种指标从解群 中选取较优的个体，利用遗传算子(选择、交叉和变异)对这些 个体进行组合，产生新一代的候选解群，重复此过程，直到满 足某种收敛指标为止
it provides 3kind of MG: SMG, PFMG, BooomerAMG BoomerAMG: 并行代数多重网格(AMG)解法器 粗化方法: CLJP粗化, RS粗化(经典, RS3, Falgout,)，混合; 松弛策略: G-S, Jacobi, 加权Jacobi, Hybrid (混合G-S, Jacobi)
基于变换，可以写成正交矩阵 和一个上矩阵 的乘积， 用下面的迭代计算的本征值，可使迭代次数大大减少。

,,
实际上稠密矩阵的特征问题复杂度都是()
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, , , .,
. 快速排序方法
它利用古老的分而治之的递归策略来解决排序的问题：挑一个 元素作为“主元”、把其余的元素分成“大的”和“小的”两 堆(当和主元比较时)、再在每一堆中重复这一过程。
当 是对称矩阵时，找到了生成子空间的正交基的方法。 和提出 了共轭梯度法。后来的、等改进并扩展了这些算法。
子空间: {,…}, ()
伴随迭代法的是预条件子：构造，用迭代法求解
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. , ., ,
. 算法
把一个方阵变换为一个“几乎是”上三角的矩阵（在主 对角线下面的一斜列上可能有非零元素）是相对容易的， 但要想不产生大量的误差就把这些非零元素消去，就不 是平凡的事了。 算法正好能达到目的。
C m mm m (t),C m m f(t)m *n(t)d t
m ,n
常用的小波正交基
小波，小波 等
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(), ,,
. 遗传算法
遗传算法是一种解全局(局部)优化问题的模拟进化搜索方法， 与传统优化方法相比, 它采用概率转移准则进行群体搜索,而 且不需要计算目标函数的导数