浅析数学期望在实际生活中的应用

浅析数学期望在实际生活中的应用

摘要：本文主要讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方

法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳

效果。

关键词：数学期望生活应用

早在17世纪，有一个赌徒向当时的法国数学家提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。他们两人获胜的机率相等。但是当其中一个人赢了2局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因终止了赌博。问：赌资应该怎样分才合理？”那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率统计的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+（1/2）*（1/2）=3/4，或者分析乙获胜的概率为（1/2）*（1/2）=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。本文主要讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。

一、资金投资问题

某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者应选择哪一种投资方案？

分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。

解：由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示：

从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存入银行的方案比较好。

下面通过计算加以分析：

（1）如果购买股票，其收益的期望值：

E1=40000X 0.3+10000X 0.5+（-20000）X0.2 =13000（元）

（2）如果存入银行，其收益的期望值：

E2=8000x 0.3+8000x 0.5+8000×0.2 =8000（元）

因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。

说明：该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，在这些方案的最大利润中选出一个最大值，与该最大值相对应的那个可选方案便是决策选择的方案。由于根据这种准则决策也能有最大亏损的结果，所以这种作法有风险存在。

二、商品流通问题

春季某服装店计划订购一批夏季服装，根据以往经验来预测，这批新服装销售量为40，100，120（件）的概率分别为0.2，0.7，0.1，这件夏季服装的订购价为60元，销售价为100元，如果夏季售不出以后处理每件为40元，试由概率统计知识来预测应订购多少件新服装？

分析售出一件服装能得到利润40元，处理后剩书则将亏损20元，为决定进货量，应先求出在不同销售量时盈利的数学期望.

解（1）订购40件，销售40件，盈利为40×（100-60）=1600（元），

则：Eξ1=1600元.

（2）订购100件，销售40件、100件，盈利分别为40×100-100×60+60×40=400（元），

100×（100-60）=4000（元），

则：Eξ2=400×0.2+4000×0.7+4000×0.1=4000（元）.

（3）订购120件，销售40件、100件、120件时的盈利分别为40×100-120×60+80×40=0（元），100×100-120×60+20×40=3600（元）， 120×（100-60）=4800（元），

则：Eξ3=0×0.2+3600×0.7+4800×0.1=3000（元）.

根据盈利的数学期望大小，决定订100件这样的夏季服装.

三、日常生活问题

某人回家探亲购买了上午9点的火车票，当日上午8：50从家乘汽车到火车站，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4，遇到红灯汽车需要等候5分钟，问此人能否在9点前到达火车站不耽误上火车？

解 设X 为途中遇到的红灯的次数，易知X ～b （3，0.4），故

)3,2,1,0(6.04.0}{33===-k C K X P k k k ，2.14.03)(=⨯=X E

所以此人到达车站时间为8：56，能够按时上火车.

在求解一些看似很复杂的实际问题时，将其抽象到数学的角度，分析出其中的变量并进行深入的分析考虑且对变量做一些合理的假设后，最终采用计算数学期望的方法将问题简化并得出最优方案。在现实生活中的风险决策还会受到诸多因素的影响，决策者的心理因素，社会上的诸多因素等，人们还需综合各方面的因素做出更加合理的决断。