1-MT反演的现状和评述(2011,3)-王家映
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Biblioteka 2、反演问题的基本思路和方法：
地球物理反演问题的基本思路是最优化，基 本作法是从一个初始模型出发，计算其理论 响应（解析的、数值的），然后把这一理论 响应与观测数据所相应的实测响应比较，计 算其方差，如果方差小于预先设计的要求， 则认为此模型就是待求的模型，如果方差大 于预先设计的要求，就按一定的原则修改初 始模型的参数。如此反复迭代，直致符合要 求为止。
何时需要进行三维反演? 一般，MT资料的采集都是沿剖面进行 的，进行三维反演，必需有三维采集。但是 即便是二维采集，也可以用来进行构造三维 程度的分析。如Skew分析，Tipper分析，相 位灵敏度分析，Bailey分解，张量分解，旋 转不变量分析，走向分析和莫尔圆等。只有 确定测区是三维构造,才进行三维反演。以下 简述几种3D MT反演方法的基本原理和特 点，然后再进一步作几点评述。
1、常用的一维反演与成像技术:
Bostick法: 是一种近似的反演方法。反演得连续介质模型， 所求模型一般不拟合观测数据。 梯度法 梯度法又称最速下降法，是一种古老的反演方法。 它是从一个初始模型出发，沿方差函数负梯度方 向搜索目标函数极小点的一种最优化方法。在方 差函数几何形态上收敛的轨迹比较直观。要求的 内存不大，但最终结果受初始模型影响较大，可 能陷入局部极小。
Constable开发的OCCAM法,Smith和Booker 开发的RRI法,Rodi等人开发的 NLCG法 (非 线性共轭梯度法)。最近，Siripunvaraporn和 Egbert在OCCAM算法基础上做了些改进,提 出一种新的反演算法—REBOCC 法 。经合 成数据和实测数据的数值试验表明,该方法在 计算速度上,均比OCCAM和NLCG快,并且所 需内存小,虽然速度不能与RRI相比, 但其稳定 性较高。
模拟退火法
模拟退火法是模拟物质的退火退过程。研究表明， 加温时，物质温度升高，乃至熔化；冷却，温度降 低，最后形成结晶，此时，物体内的自由能达到最 小，即全局极小，物体处于非常稳定的状态。如冷 却过快，物质就会形成非晶体或亚玻璃体。在非晶 体状态下，自由能达到局部极小。模拟退火法模拟 这一过程,令迭代过程中每一个解表示物体的状态, 相应的函数值表示物体的自由能,从而求出温度最 低时的物体的最小自由能即最优解。
REBOCC法
Siripunvaraporn等人对OCCAM法做了些改 进,称为Reduced Basis Occam’s Inversion。 他们首先把反演问题从模型空间转换到数据 空间 。这使原本为M×M阶的方程转换为 N×N阶的方程。因为模型参数的个数M比数 据个数N大得多,所以在CPU时间和内存要求 方面有了很大的下降。计算时间大为减少。
在超定情况下解为
m (G T G ) 1 G T d
在欠定情况下解为
m GT (GGT ) 1 d
在混定情况下解为
m [G T G 2 I ]1 G T d
这 里,
是阻尼因子
由于数据采集并非无限，加之采集有误 差，所以反演问题的解是非唯一的。要 从许多能拟合观测数据的模型中挑出你 所需要的模型，并非易事。 为了减小非唯一性的范围，人们在 反演时就要对解加上许多限制或约束条 件，限制或约束条件越多、越准确，反 演结果越好，越接近真实请况。
OCCAM 反演
在三维资料的反演中，OCCAM反演可分为： 模型空间和数据空间OCCAM反演法两种。 对于前者，我们有 1 1 m 1 T m k 1 ( ) [ C m k ] J k C d X k m 0
J C J 使得模型空间occam难以实现.
m k T k
目前，我们在MT反演的研究上投入了 大量的人力和物力，在方法的研究和理论模 型的试算，以及模拟数据的反演等方面，发 表了不少论文，取得了举世瞩目成果。特别 是我们有一个得天独厚的、可以发挥大地电 磁十八班武艺的青藏高原。在世界上，我们 中国可以说是MT法应用的领跑国，但是我 们在反演上作的贡献，确是十分有限的。 下面先看一下一、二、三维反演所用的 程序的现状：
4、MT反演方法的分类
1）按模型的维数分: 一维,二维,三维反演; 2）按观测值的扰动与模型参数修改量之 间的关系是否线性分: 线性反演和非线性反演; 3、按形成目标函数的原理分为: L1，L2，…..Ln阶范数解;
这里包括rri反演，正则化反演，occam反 演， rebocca反演， 高斯-牛顿法，马奎特法 等现在流行的MT反演方法，都属于L2范数 解，即最小方差解。 4）其它分类法 如ANN…..
高斯-牛顿法
高斯—牛顿法则是把目标函数近似看作二次泰勒展 开式，利用二阶偏导数矩阵，即海圣矩阵，和一阶 偏导数矩阵，再求其极值。求解过程也很简单。该 法受初始解的影响很大，在远离易极小点处收敛 快，靠近极小点处收敛慢。方法易陷于目标函数的 局部极小。 设目标函数为 (x) 则
( x) ( x ( 0 ) )
3、三维反演与成像技术
目前,大地电磁测深(MT)资料的三维正、反演问题, 已成为国际地球内部电磁感应领域研究的前沿课 题，国内外从20世纪70年代中期,就有关于三维电 磁正演模拟的研究。随着有限差分法、有限元法、 积分方程法、边界元法等的应用，已形成以交错网 格有限差分法成为主导的计算方法。正演是反演的 前提和条件，正演解决后，反演也日趋升温。 目前使用的方法很多,主要有，OCCAM反演法， RRI ，高斯-牛顿法，共轭梯度法极大似然反演 、 非线性共轭梯度反演，拟线性近似反演，贝叶斯统 计反演 和人工神经网络反演 等。
应该指出,在一维MT资料反演中应用的 方法，如梯度法，高斯-牛顿法，马奎特 法，模拟退火法，共额梯度法等均可应 用于二维和三维MT资料的反演中。
2、常用的二维反演与成像技术
近十几年来,二维MT反演算法的研究着重两 方面: 一是在减少计算数据方面,如Farquharson等人提出的近似灵敏度矩阵, Oldenburg等人提出的子空间法等; 二是在使用不同稳定器方面,如模型参数 的范数、最大平滑稳定泛函、最小支撑泛函、 最小梯度支撑泛函等。据此,现在已经提出了 多种 MT数据二维反演的算法。其中,比较著 名的是:
资料采集是基础，资料处理是手段，资料反 演解释是为了得到最终的地质成果，所以它 是目的。反演解释的任务，是将经过处理的 MT资料，转换为电性剖面，并给以地质解释。
在我国，MT已应用于地质勘查的各方面方 面，如石油、工程和环境、深部电性探测等 方面，并取得了巨大的成功。当前，反演解 释暴露出许多问题，如用那些资料进行反 演？选用什么软件进行反演？如何提高反演 水平？只有弄清了这些问题，才能使MT等为 国民经建设、改善和提高人民生活质量和水 平，做出自己更大的贡献。
1 d k
对于后者，我们有 T mk 1 m0 Cm J k k 1
k 1 [Cd ] X k
n 1 k
J k Cm J
n k
T k
实现从模型空间到数据空间的转换, 加之用松弛 法计算灵敏度矩阵, 可以节省CPU 70%.
C m 和 C d 分别为协方差 这里，m是模型向量，
(0) T
Δx T Δx1 Δx 2 Δx N
x 0 Δx
1 g x 0 Δx 0 H 0 g x 0 H
g x K
x
K 1
x
K
H
K 1
不足
马奎特法
马奎特法又称阻尼最小二乘法，或脊回归法。 它的校正向量的方向介于梯度法和高斯—牛 顿法之间。计算简单、快捷。此法的关键在 于选取的阻尼因子α要适当，靠选取不同的 α来调控参数的修改步长，达到快速收款的 目的。马奎特算法的目标函数值能够严格递 减，但最大的缺点是可能陷入目标函数的局 部极小点。目标函数为， T 2 T (m) (d Gm) (d Gm) m m T 2 1 T m [ G G I] G d 解为
这里有几个问题需要注意：
A、初始模型如何选择？ B、目标函数如何设置?是采用L2范数 (均方差)，还是采用其它范数？拟合误 差多大合适? C、模型参数如何修改，迭代如何进行。 对这三个问题的作法不同，反演方法 就不相同。
3、非线性问题线性化
大地电磁问题是高次非线性问题。因而，方差函数 也是高次非线性函数。解决这一问题既可用线性、 也可以用非线性方法。如用台劳级数展开法，将非 线性问题线性化，则得如下线性方程： d=Gm， 这里d（N维）是观 测数据矢量，G（N*M维）是 核函数(或灵敏度,或雅可比矩阵)，m（M维）是模 型 矢量。 这里有三种情况： 1、N>M， 超定问题； 2、N<M， 欠定情况； 3、r<=N<M 或N>M=>r， 混定问题。 这里，r 是矩 阵G的 秩。
i 1 (0)
M
(x( 0) ) xi
(0) T
2 ( 0) 1 M M (x ) Δxi Δxi Δx j 2 i 1 j 1 xi x j
1 T (0) (x ) g(x ) Δx Δx H Δx 2
(x ( 0 ) ) (x ( 0 ) ) (x ( 0 ) ) g(x ) x x x N 1 2
NLCG (非线性共轭梯度法)
MIT的Mackie和Rodi开发的大地电磁（MT） 二维非线性共轭梯度法（NLCG）反演程序 非常著名，目前可能是MT中应用最广泛的 二维反演程序。其主要优点是反演时可以避 免直接求解雅可比矩阵，一次反演迭代只需 三次正演，从而大大减少了计算量,节省了计 算时间；同时该算法与RRI以及其他的一些 近似方法方法不同，不是用一维的雅可比矩 阵去构建二维雅可比矩阵，是真二维反演， 因此具有较高的模型分辨率和反演稳定性。
三、MT反演的现状
不管是MT、AMT还是CSAMT、TEM、IP除正 演不同外，反演方法的原理没有什么差异。 近年来，MT反演，在二维反演日趋成熟后，三 维反演又取得了一些重要进展，但仍存在不少问题。 这些问题包括:如何提高计算效率，减少计算时 间，增强反演精度提高反演的水平? 何时选用一、 二、三维反演等。应该说 ，在这些问题上，人们 的认识也不完全一 致。
二、反演问题的基本知识
1、反演问题的必要性和复杂性: 地球物理工作的目的不是记录一 些 时间或空间序列 ,而是要求得测点(测区) 的地球物理模型,完成地质任务,因此反演 的必要性是十分清楚的。 由于地球物理模型的复杂性，加之地 表不平，测量有误差等 原因，地球物理 反演问题远比医生的诊断，公安人员的 破案，军事上的目标跟踪要来得复杂得 多。
MT反演的 现状和评述
王家映 2011年 3月 10日
提纲
前言 反演问题的基本知识 MT反演的现状 MT反演的评述
一、前言
球物理工作可分为三个阶段: 1）、资料采集（data acquisition）； 2）、资料处理（data processing）； 3）、资料反演解释（data inversion)
RRI法
为了避免像OCCAM等法直接线性搜索 带来的繁重计算,Smith等人提出，可以 通过解与一维相近的反演问题，来计算 在每个测量位置下面的电阻率扰动，把 二维反演问题转化为一系列一维反演问 题。
OCCAM法: Occam’s Razor,能拟合全部可观察数据的最简单
方法，就是最好的方法。 OCCAM法首先是由Constable等人在1987年提出 的,它是寻找在有极小可能构造意义下拟合数据的 模型。它在追求模拟数据与原始测量曲线最大拟合 的同时，要求模型数据最平滑或最圆滑，因而受初 始模型影响小，能够达到稳定收敛。 该方法运算 稳定，收敛速度快。 对二维构造，Constable等人不仅考虑模型的垂向 光滑问题，还考虑了横向光滑问题。
地球物理反演问题的基本思路是最优化，基 本作法是从一个初始模型出发，计算其理论 响应（解析的、数值的），然后把这一理论 响应与观测数据所相应的实测响应比较，计 算其方差，如果方差小于预先设计的要求， 则认为此模型就是待求的模型，如果方差大 于预先设计的要求，就按一定的原则修改初 始模型的参数。如此反复迭代，直致符合要 求为止。
何时需要进行三维反演? 一般，MT资料的采集都是沿剖面进行 的，进行三维反演，必需有三维采集。但是 即便是二维采集，也可以用来进行构造三维 程度的分析。如Skew分析，Tipper分析，相 位灵敏度分析，Bailey分解，张量分解，旋 转不变量分析，走向分析和莫尔圆等。只有 确定测区是三维构造,才进行三维反演。以下 简述几种3D MT反演方法的基本原理和特 点，然后再进一步作几点评述。
1、常用的一维反演与成像技术:
Bostick法: 是一种近似的反演方法。反演得连续介质模型， 所求模型一般不拟合观测数据。 梯度法 梯度法又称最速下降法，是一种古老的反演方法。 它是从一个初始模型出发，沿方差函数负梯度方 向搜索目标函数极小点的一种最优化方法。在方 差函数几何形态上收敛的轨迹比较直观。要求的 内存不大，但最终结果受初始模型影响较大，可 能陷入局部极小。
Constable开发的OCCAM法,Smith和Booker 开发的RRI法,Rodi等人开发的 NLCG法 (非 线性共轭梯度法)。最近，Siripunvaraporn和 Egbert在OCCAM算法基础上做了些改进,提 出一种新的反演算法—REBOCC 法 。经合 成数据和实测数据的数值试验表明,该方法在 计算速度上,均比OCCAM和NLCG快,并且所 需内存小,虽然速度不能与RRI相比, 但其稳定 性较高。
模拟退火法
模拟退火法是模拟物质的退火退过程。研究表明， 加温时，物质温度升高，乃至熔化；冷却，温度降 低，最后形成结晶，此时，物体内的自由能达到最 小，即全局极小，物体处于非常稳定的状态。如冷 却过快，物质就会形成非晶体或亚玻璃体。在非晶 体状态下，自由能达到局部极小。模拟退火法模拟 这一过程,令迭代过程中每一个解表示物体的状态, 相应的函数值表示物体的自由能,从而求出温度最 低时的物体的最小自由能即最优解。
REBOCC法
Siripunvaraporn等人对OCCAM法做了些改 进,称为Reduced Basis Occam’s Inversion。 他们首先把反演问题从模型空间转换到数据 空间 。这使原本为M×M阶的方程转换为 N×N阶的方程。因为模型参数的个数M比数 据个数N大得多,所以在CPU时间和内存要求 方面有了很大的下降。计算时间大为减少。
在超定情况下解为
m (G T G ) 1 G T d
在欠定情况下解为
m GT (GGT ) 1 d
在混定情况下解为
m [G T G 2 I ]1 G T d
这 里,
是阻尼因子
由于数据采集并非无限，加之采集有误 差，所以反演问题的解是非唯一的。要 从许多能拟合观测数据的模型中挑出你 所需要的模型，并非易事。 为了减小非唯一性的范围，人们在 反演时就要对解加上许多限制或约束条 件，限制或约束条件越多、越准确，反 演结果越好，越接近真实请况。
OCCAM 反演
在三维资料的反演中，OCCAM反演可分为： 模型空间和数据空间OCCAM反演法两种。 对于前者，我们有 1 1 m 1 T m k 1 ( ) [ C m k ] J k C d X k m 0
J C J 使得模型空间occam难以实现.
m k T k
目前，我们在MT反演的研究上投入了 大量的人力和物力，在方法的研究和理论模 型的试算，以及模拟数据的反演等方面，发 表了不少论文，取得了举世瞩目成果。特别 是我们有一个得天独厚的、可以发挥大地电 磁十八班武艺的青藏高原。在世界上，我们 中国可以说是MT法应用的领跑国，但是我 们在反演上作的贡献，确是十分有限的。 下面先看一下一、二、三维反演所用的 程序的现状：
4、MT反演方法的分类
1）按模型的维数分: 一维,二维,三维反演; 2）按观测值的扰动与模型参数修改量之 间的关系是否线性分: 线性反演和非线性反演; 3、按形成目标函数的原理分为: L1，L2，…..Ln阶范数解;
这里包括rri反演，正则化反演，occam反 演， rebocca反演， 高斯-牛顿法，马奎特法 等现在流行的MT反演方法，都属于L2范数 解，即最小方差解。 4）其它分类法 如ANN…..
高斯-牛顿法
高斯—牛顿法则是把目标函数近似看作二次泰勒展 开式，利用二阶偏导数矩阵，即海圣矩阵，和一阶 偏导数矩阵，再求其极值。求解过程也很简单。该 法受初始解的影响很大，在远离易极小点处收敛 快，靠近极小点处收敛慢。方法易陷于目标函数的 局部极小。 设目标函数为 (x) 则
( x) ( x ( 0 ) )
3、三维反演与成像技术
目前,大地电磁测深(MT)资料的三维正、反演问题, 已成为国际地球内部电磁感应领域研究的前沿课 题，国内外从20世纪70年代中期,就有关于三维电 磁正演模拟的研究。随着有限差分法、有限元法、 积分方程法、边界元法等的应用，已形成以交错网 格有限差分法成为主导的计算方法。正演是反演的 前提和条件，正演解决后，反演也日趋升温。 目前使用的方法很多,主要有，OCCAM反演法， RRI ，高斯-牛顿法，共轭梯度法极大似然反演 、 非线性共轭梯度反演，拟线性近似反演，贝叶斯统 计反演 和人工神经网络反演 等。
应该指出,在一维MT资料反演中应用的 方法，如梯度法，高斯-牛顿法，马奎特 法，模拟退火法，共额梯度法等均可应 用于二维和三维MT资料的反演中。
2、常用的二维反演与成像技术
近十几年来,二维MT反演算法的研究着重两 方面: 一是在减少计算数据方面,如Farquharson等人提出的近似灵敏度矩阵, Oldenburg等人提出的子空间法等; 二是在使用不同稳定器方面,如模型参数 的范数、最大平滑稳定泛函、最小支撑泛函、 最小梯度支撑泛函等。据此,现在已经提出了 多种 MT数据二维反演的算法。其中,比较著 名的是:
资料采集是基础，资料处理是手段，资料反 演解释是为了得到最终的地质成果，所以它 是目的。反演解释的任务，是将经过处理的 MT资料，转换为电性剖面，并给以地质解释。
在我国，MT已应用于地质勘查的各方面方 面，如石油、工程和环境、深部电性探测等 方面，并取得了巨大的成功。当前，反演解 释暴露出许多问题，如用那些资料进行反 演？选用什么软件进行反演？如何提高反演 水平？只有弄清了这些问题，才能使MT等为 国民经建设、改善和提高人民生活质量和水 平，做出自己更大的贡献。
1 d k
对于后者，我们有 T mk 1 m0 Cm J k k 1
k 1 [Cd ] X k
n 1 k
J k Cm J
n k
T k
实现从模型空间到数据空间的转换, 加之用松弛 法计算灵敏度矩阵, 可以节省CPU 70%.
C m 和 C d 分别为协方差 这里，m是模型向量，
(0) T
Δx T Δx1 Δx 2 Δx N
x 0 Δx
1 g x 0 Δx 0 H 0 g x 0 H
g x K
x
K 1
x
K
H
K 1
不足
马奎特法
马奎特法又称阻尼最小二乘法，或脊回归法。 它的校正向量的方向介于梯度法和高斯—牛 顿法之间。计算简单、快捷。此法的关键在 于选取的阻尼因子α要适当，靠选取不同的 α来调控参数的修改步长，达到快速收款的 目的。马奎特算法的目标函数值能够严格递 减，但最大的缺点是可能陷入目标函数的局 部极小点。目标函数为， T 2 T (m) (d Gm) (d Gm) m m T 2 1 T m [ G G I] G d 解为
这里有几个问题需要注意：
A、初始模型如何选择？ B、目标函数如何设置?是采用L2范数 (均方差)，还是采用其它范数？拟合误 差多大合适? C、模型参数如何修改，迭代如何进行。 对这三个问题的作法不同，反演方法 就不相同。
3、非线性问题线性化
大地电磁问题是高次非线性问题。因而，方差函数 也是高次非线性函数。解决这一问题既可用线性、 也可以用非线性方法。如用台劳级数展开法，将非 线性问题线性化，则得如下线性方程： d=Gm， 这里d（N维）是观 测数据矢量，G（N*M维）是 核函数(或灵敏度,或雅可比矩阵)，m（M维）是模 型 矢量。 这里有三种情况： 1、N>M， 超定问题； 2、N<M， 欠定情况； 3、r<=N<M 或N>M=>r， 混定问题。 这里，r 是矩 阵G的 秩。
i 1 (0)
M
(x( 0) ) xi
(0) T
2 ( 0) 1 M M (x ) Δxi Δxi Δx j 2 i 1 j 1 xi x j
1 T (0) (x ) g(x ) Δx Δx H Δx 2
(x ( 0 ) ) (x ( 0 ) ) (x ( 0 ) ) g(x ) x x x N 1 2
NLCG (非线性共轭梯度法)
MIT的Mackie和Rodi开发的大地电磁（MT） 二维非线性共轭梯度法（NLCG）反演程序 非常著名，目前可能是MT中应用最广泛的 二维反演程序。其主要优点是反演时可以避 免直接求解雅可比矩阵，一次反演迭代只需 三次正演，从而大大减少了计算量,节省了计 算时间；同时该算法与RRI以及其他的一些 近似方法方法不同，不是用一维的雅可比矩 阵去构建二维雅可比矩阵，是真二维反演， 因此具有较高的模型分辨率和反演稳定性。
三、MT反演的现状
不管是MT、AMT还是CSAMT、TEM、IP除正 演不同外，反演方法的原理没有什么差异。 近年来，MT反演，在二维反演日趋成熟后，三 维反演又取得了一些重要进展，但仍存在不少问题。 这些问题包括:如何提高计算效率，减少计算时 间，增强反演精度提高反演的水平? 何时选用一、 二、三维反演等。应该说 ，在这些问题上，人们 的认识也不完全一 致。
二、反演问题的基本知识
1、反演问题的必要性和复杂性: 地球物理工作的目的不是记录一 些 时间或空间序列 ,而是要求得测点(测区) 的地球物理模型,完成地质任务,因此反演 的必要性是十分清楚的。 由于地球物理模型的复杂性，加之地 表不平，测量有误差等 原因，地球物理 反演问题远比医生的诊断，公安人员的 破案，军事上的目标跟踪要来得复杂得 多。
MT反演的 现状和评述
王家映 2011年 3月 10日
提纲
前言 反演问题的基本知识 MT反演的现状 MT反演的评述
一、前言
球物理工作可分为三个阶段: 1）、资料采集（data acquisition）； 2）、资料处理（data processing）； 3）、资料反演解释（data inversion)
RRI法
为了避免像OCCAM等法直接线性搜索 带来的繁重计算,Smith等人提出，可以 通过解与一维相近的反演问题，来计算 在每个测量位置下面的电阻率扰动，把 二维反演问题转化为一系列一维反演问 题。
OCCAM法: Occam’s Razor,能拟合全部可观察数据的最简单
方法，就是最好的方法。 OCCAM法首先是由Constable等人在1987年提出 的,它是寻找在有极小可能构造意义下拟合数据的 模型。它在追求模拟数据与原始测量曲线最大拟合 的同时，要求模型数据最平滑或最圆滑，因而受初 始模型影响小，能够达到稳定收敛。 该方法运算 稳定，收敛速度快。 对二维构造，Constable等人不仅考虑模型的垂向 光滑问题，还考虑了横向光滑问题。