弹塑性力学基本知识

2
面在 π 平面上的投影为圆形。根据式（18）可知，Mises 屈服条件的物理意义为：当材料的 八面体剪应力达到一定值时，材料屈服；根据式（26）可知，Mises 屈服条件的物理意义也 为：当材料的剪切应变能达到一定值时，材料屈服。注意，Mises 屈服条件考虑了中间主应 力的影响，但也忽略了静水压力的影响。
0
则材料稳定， （2） 加载面 f σ ij , ξ β = 0 外凸。这也可以由式（42）推出。 （3） 正交流动法则（ dλ 的物理意义：反映塑性应变增量的大小，称作比例因子。 ） ：
P dε ij = dλ
(
)
∂f ∂σ ij ∂f s ∂σ ij
（43）
或： dε ij = dλs
P
（44）
p
得：
h=−
∂
( ∫ dε )
p
∂f
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
（60）
对于 Mises 材料，设材料等向硬化，且内变量为累积塑性应变，结合式（51） ，有：
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
=1
（61）
结合式（61） ， （59） ， （60） ，可得：
dλ = d ε p ； h =
( 2σ 2 − σ 1 − σ 3 )
当采用极坐标表示时，则有：
⎧ rσ = x 2 + y 2 = 2 J 2 ⎪ ⎨ y 1 ⎛ 2σ 2 − σ 1 − σ 3 ⎞ 1 μσ ⎪ tan θσ = = ⎜ ⎟= x 3 ⎝ σ1 − σ 3 3 ⎩ ⎠
z Tresca 屈服条件 当 τ max =
（59）
结合式（43）和式（14） ， （注意：当屈服与静水压力无关，体积应力不产生塑性应变） ， 可得：
dλ =
dW p
∂f ∂σ ij
（60）
sij
注意：累积塑性应变 ε p 和塑性功 W p 都可以作为内变量。 z 基于 Mises 屈服准则的等向硬化模型 使用累积塑性应变作为内变量，即 ε = dξ β ，结合式（57）和一致性条件式（35） ，可
第一、第二、第三偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
（7）
J1 = skk = 0 J2 = 1 2
2 sij sij = I 2 + 3σ m
J 3 = det ( sij ) = sij s jk ski
第二偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
（8）
J2 =
1
2 2 2 ⎡( s11 − s22 )2 + ( s22 − s33 ) 2 + ( s33 − s11 )2 ⎤ + ( s12 + s23 + s31 ) ⎣ ⎦ 6
2
z
屈服准则
π平面
⎛1 1 1⎞ 在主应力空间中，过原点且方向量为 ⎜ , , ⎟ 的平面； ⎝3 3 3⎠
任一应力状态的向径在 π 平面的投影：
⎧ x= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪y = ⎪ ⎩
2 2 1 6
( s1 − s3 ) =
2 2
(σ 1 − σ 3 )
1 6
（27）
( 2s2 − s1 − s3 ) =
（33） （34）
∂f ∂σ ij ∂g ∂ε ij
dσ ij +
∂f ∂ξ β ∂g ∂ξ β
dξ β = 0
（35）
dε ij +
dξ β = 0
（36）
对于率无关材料，应力状态始终在加载面内；对于率相关材料，应力状态可以位于加载 面之外。 z 加载、卸载准则 在应变空间判断：
⎧ ∂g dε ij > 0 ⎪ ⎪ ∂ε ij ⎪ ⎪ ∂g dε ij = 0 ⎨ ⎪ ∂ε ij ⎪ ∂g dε ij < 0 ⎪ ⎪ ⎩ ∂ε ij
若式（47）不考虑弹性应变增量，即为 Levy-Mises 本构模型。 将式（46）两边各与自身点积：
dλ =
P P dε ij dε ij
（47）
2J2
【注意式 （13） 】
（48）
注意，对于 Mises 理想弹塑性，在加载过程中， J 2 始终不变，故结合式（46） 、式（48） ， 得出 sij 。 在实验室中，单轴加压至破坏时，测得 σ s ，求出 J 2 ，同时测得 dε 1 ，求出 dε 1P ，再根据 式（46）求出 dλ ，从而确定本构关系。 z Tresca 屈服条件相关联的流动法则（理想弹塑性） 不规定主应力大小，Tresca 屈服条件可以写成六种型式【 f1 ， f 2 ， …， f6 】 ，结合 （44） ， 可得本构模型，例如，当引力状态为 f1 = σ 2 − σ 3 − σ s = 0 上，
加载
中性变载
（37）
卸载
⎛ P ⎜ dε pq ∂f ∂g dσ ij = ⎜ 1 − i ∂σ ij ⎜ ∂ε pq ∂g dε mn ⎜ ∂ε mn ⎝
⎞ ⎟ ∂g ⎟ dε kl ⎟ ∂ε kl ⎟ ⎠
（条件：
∂g ∂ε ij
dε ij > 0 ）
（38）
注意：当材料处于硬化阶段时，采用
∂g ∂ε ij
∫ (σ
ij
0 − σ ij dε ij ≥ 0
)
（41）
由式（41） ，结合式（32）可以推导出：
1 ⎛ 0 ⎞ P ⎜ σ ij + dσ ij − σ ij ⎟ dε ij ≥ 0 2 ⎝ ⎠
z 依据 Drucker 公设的三个推论
（42）
（1） 如果把应力循环的起点取在加载面上，即 σ ij − σ ij = 0 ，仍能构成应力闭循环，
σ (σ ij − cε ijp ) = σ s
其二为 Ziegler 硬化模型：
（54）
dbij = dμ (σ ij − bij )
混合硬化模型：
（55）
f σ ij − α ij − k ( ξ β ) = 0
z 塑性模量、比例因子、内变量 假设 h 为塑性模量：
(
)
（56）
dλ =
1 ∂f dσ ij h ∂σ ij
+d λ 2
∂f 2 ∂σ i
（50）
f (σ ij ) − k ( ξ β ) = 0
随动强化模型：
（51）
f σ ij − bij − k = 0
随动强化模型有两种，其一为 Prager 硬化模型（线性随动硬化模型） ：
P dbij = cdε ij
(
)
（52）
（53）
特别的，对 Mises 材料：
在式（32）中，若 M ijkl 与 σ ij 有关，则材料是非线性的，若 M ijkl 与 ξ β 有关，则材料是 弹塑性耦合的。 增量型式的本构方程只适合塑性加载状态， 故必须建立加载、 卸载判别准则。 z 加载面
f (σ ij , ξ β ) = 0 g ( ε ij , ξ β ) = 0
z 一致性条件
弹塑性力学基本知识
1 基本概念与符号
σ ij , j + Fi = ρυi
（1 ） （2） （3） （4） （5）Fra bibliotek平衡方程：
或者为： σ ij , j + Fi = 0 任意一个面上的面力： Ti = σ ij n j 主应力 σ ： σ ni = σ ij n j 求主应力：σ 3 − I1σ 2 − I 2σ − I 3 = 0 第一、第二、第三应力不变张量：
2
2
（20） （21）
E 2 (1 + v ) E
（注意： 只对各向同性材料有效； ）
体积模量： K =
3 (1 − 2v )
（22）
体积应变：ε v = ε 1 + ε 2 + ε 3
（23） （24 （25） （26）
1 3 1 材料的应变比能： σ ij ε ij = σ mε m + sij eij （注意：不对 m 求和； ） 2 2 2 1 1 e 偏应力与偏应变的关系： eij = sij ， ε ij = σ kk 3K 2G 1 1 材料的剪切应变能： sij eij = J2 2 2G
dε ij 与
∂f ∂σ ij
dσ ij 判断，结果一致；当材料处于
软化阶段或理想塑性阶段时，只能采用
∂g ∂ε ij
dε ij 判断。
z
稳定性材料
dε ij dσ ij ≥ 0
z Drucker 公设
（39）
两种表示方式，其一：
∫ ε dσ
ij
ij
≤0
（40）
其物理意义：材料的物质微元在应力空间的任意应力闭循环中的余功非正。 其二：
3
z
本构方程
弹性本构方程 矩阵型式：
{σ }6 ×1 = [ D ]6 × 6 {ε }6 ×1
（29）
张量型式： z 塑性本构方程
σ ij = Lijkl ε kl
（30）
一般形式：ε ij = ε ij σ kl , ξ β 增量型式：
(
)
（31） （32）
p dε ij = M ijkl dσ kl + dε ij
（17）
八面体剪应力： τ8 =
sij sij =
J2
（18）
八面体上任一面上的正应力：
N = σ ij ni n j =
该面上的剪应力：
1 3
(σ 1 + σ 2 + σ 3 )
1 3
（19）
t8 = TT − N2 = i i
剪切模量： G=
(σ 1 − σ 2 )
2
+ (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
P dε ij = dλ1
∂f1 ∂σ ij
（49）
特殊情况， 若σ1 = σ 2 ≥ σ 3 ， 则应力状态处于 f1 = σ 2 − σ 3 − σ s = 0 和 f 2 = σ 1 − σ 3 − σ s = 0
的交点处，则：
dε iP = dλ1
z 硬化模型（三类） 等向硬化：
∂f1 ∂σ i
根据式（58） ，式（32） ：
d
( ∫ dε )
p
dσ
（62）
e p dε ij = dε ij +dε ij = ⎜ M ijkl +
⎛ ⎝
1 ∂f ∂f ⎞ h σ ij σ kl ⎠
I1 = σ kk I2 = − 1 2
(σ iiσ kk − σ ikσ ik )
I 3 = det (σ ij )
或用主值表示：
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
（6）
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = − (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（57）
一般假定 h 与应力 dσ ij 无关，将式（57）代入式（43） ：
P dε ij =
1 ∂f ∂f dσ kl h ∂σ ij ∂σ kl
（58）
结合式（43）和式（13） ， （注意：当屈服与静水压力无关，塑性体积应变等于零） ，可 得：
dλ =
dε p 2 ∂f ∂f 3 ∂σ ij ∂σ ij
P dε ij = dλ i sij
(
)
(
)
（46）
式（46）被称为 Prandtl-Reuss 本构关系。结合式（25） ，总的增量应变与增量应力的关
P ） 系为（注意，对于不考虑静水压力对材料影响的条件下， dε kk = 0。
1 ⎧ deij = dλ i sij + dsij ⎪ ⎪ 2G ⎨ ⎪ dε = 1 dσ kk kk ⎪ 3K ⎩
z
相关联与非相关联流动法则
F 表示塑性势函数，则：
P dε ij = dλ
∂F ∂σ ij
（45）
对于 Drucker 材料，由式（43）可知， F = f σ ij , ξ β 。一般的，若取 F 为屈服函数， 所建立的塑性本构关系称之为与屈服函数相关联的流动法则，若 F ≠ f σ ij , ξ β ，则称之为 非相关联的流动法则。在非相关联流动法则下，塑性应变增量与屈服面不正交，岩土材料的 塑性本构关系一般认为服从非关联的流动法则。 z Mises 屈服条件相关联的流动法则（理想弹塑性） 根据 Mises 屈服准则，结合式（43）
dε p =
塑性功增量： dW = σ ij dε ij
p p
2 p p deij deij 3
（13） （14）
等效剪应变 （或剪应变强度） ： Γ=
2eij eij
（15）
T = 等效剪应力 （或剪应力强度） ： 4 3 1 3
1 2
sij sij
（16）
八面体剪应变： γ8 =
eij eij 2 3
（28）
σ1 − σ 3
2
= k1 ，材料屈服，此即第三强度理论。 k1 可由单轴试验或纯剪试验测
得。比较式（25） ，可得到屈服面在 π 平面上的投影。注意，Tresca 屈服条件忽略了中间主 应力的影响，也忽略了静水压力的影响。 z Mises 屈服条件 当 J 2 = k 2 ，材料屈服。 k 2 可由单轴试验或纯剪试验测得。比较式（28） ，可得到屈服
（9）
或者用主偏应力表示：
J2 = 1
(s 3
2 1
2 + s2 + s32 − s1 s2 − s2 s3 − s3 s1
)
（10）
等效应变（或应变强度） ：ε =
2 3
eij eij
（11）
等效应力 （或应力强度） ： σ =
3 2
sij sij = 3 J 2
p p
（12）
对于任意的应力增量 dσ ij ，若产生塑性应变增量 dε ij ，其偏量为 deij ，累积塑性应变增量：