数字信号处理DSP第二章2z反变换

1
)
4 z4
4 z1
4
1 (4n 4n2 ) 15
x(n) 1 (4n 4n2 15 2020/4/11
)u(n)
数字信号处理
思考：n=0,1时，F(z) 在围线c外也无极点， 为何 x(n) 0
例3：X (z)
(1
1 a2 az)(1
az
1
)
，a
1，求z反变换
i 解：x(n) 1
z Rx
将X(z)
x(n)
展成z的
因果序列 负幂级数
X(z)的 分子分母 按z的 降幂排列
z Rx 左边序列 正幂级数 升幂排列
2020/4/11
数字信号处理
例：X (z)
(1
1 az
1
)
，z
a ，求z反变换
解：由Roc判定
1 az1 a2 z2 a3z3 L
1 az1 1
x(n)是因果序列， 用长除法展成z 的负幂级数
C
x(n)是右边序列
1/ 4
又lim X (z) 1， z
即X(z)在z=处收敛
0 4 Re[z]
x(n)是一个因果序列，即x(n) 0，n 0
同样当n 0时，由F (z)
z n 1
在c外无
(4 z)(z 1/ 4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
2020/4/围11 线外极点留数为数0字可信号得处理x(n) 0
(4 z)(z 1/ 4)
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式
16
1
X (z)
z
15 15
z (4 z)(z 1/ 4) 4 z z 1/ 4
2020/4/11
数字信号处理
X
(
z)
1 15
16z 4z
1 az1 az 1 az1 a2 z2
a2 z2
a2 z2 a3z3
X (z) 1 az1 a2z2 a3z3 …
an zn
a 3 z 3 M
n0
x(n) anu(n)
2020/4/11
数字信号处理
例：X (z)
(1
来自百度文库
1 az
1
)
，z
a ，求z反变换
解：由Roc判定
a1z a2z2 a3z3 L
j Im[z] a 1
C
0
Re[z]
a
在c外有一阶极点z a,a1, 且分母阶次比分子高两阶以上
x(n)
Re
s[F (z)]za
Re
s[
F
(
z
)] z
a1
an (an ) an an
x(n) (an an )u(n 1)
2020/4/11
数字信号处理
3) a z a1 当n 0时
( z
a)
(a2 1)zn a(z a1)(z
a)
za
( z
a 1 )
(a2 1)zn a(z a1)(z
a
)
z
a 1
an an
x(n) (an an )u(n)
2020/4/11
数字信号处理
2) z a 当n 0时 F (z)在围线c内无极点
故x(n) 0 当n 0时 F(z)在c内有-n阶极点z 0
j Im[z] a 1
C
F (z)在c内有一阶极点z a x(n) Re s[F(z)]za an
0a
Re[z]
当n 0时
F (z)在c内有一阶极点z a和-n阶极点z 0
在c外有一阶极点z a1,
且分母阶次比分子高两阶以上
x(n)
Re
s[
F
(
z
)] z
a
1
an
x(n) anu(n) anu(n 1) a n
2 j
z2
z n 1dz
c (4 z)(z 1/ 4)
c
(
R x
,
R x
)
其中：F(z)
z2
zn1
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
(4 z)(z 1/ 4)
当n 1时
F (z)在围线c内只有一阶极点z 1
4
x
(n)
Re
s[
F
(
z
)] z
1
4
(
z
1 4
)
(4
z n 1 z)(z
1/
则：
2020/4/11
x(n) Re s[F (z)]zzm
m
数字信号处理
留数的计算公式
单阶极点的留数：
Re s[F (z)]zzr [(z zr )F (z)]zzr
2020/4/11
数字信号处理
例1：X (z)
z2
，1/4< z 4，求其z反变换
(4 z)(z 1/ 4)
i 解：x(n) 1
2020/4/11
数字信号处理
例：X (z)
1
5z 1 z1 6
z
2
，2<
z
3，求z反变换
解：X
z
1
5 z 1 z1 6z2
z2
5z z 6
5z
z 2z 3
X
z
z
z
5
2z
3
A1 z2
A2 z3
3
j Im[z]
2
0
Re[z]
A1
Res
X
z
z
z2
z
2
z
5
2
z
3
z2
1
X z
A2 Res
2020/4/11
数字信号处理
1) z a1
Q 收敛域是圆的外部 又lim X (z) 0，
z
x(n)是因果序列，即x(n) 0，n 0
j Im[z]
C
a1
0 a
Re[z]
当n 0时 F (z)在围线c内有一阶极点z a，a1
x(n)
Re
s[F (z)]za
Re
s[
F
(
z
)] z
a
1
x(n)是左边序列， az1 1 1
用长除法展成z 的正幂级数
1 a1z a 1 z
a1z a2 z2
X (z) [a1z a2z2 a3z3 …]
a2 z2 M
1
- an zn
n
x(n) anu(n 1)
2020/4/11
数字信号处理
例：X (z)
z2
，1/4< z 4，求z反变换
2020/4/11
数字信号处理
i x(n) 1
2 j
X (z)zn1dz
c
c
(
R x
,
R x
)
利用留数定理求围线积分，令
F (z) X (z)zn1
若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk， 则：
x(n) Re s[F (z)]zzk
k
若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的 阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，
z
4
4
z
z n 1
z
1/
4
z
4
4n2 15
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
x(n) 4n u(n 1) 4n2 u(n 2)
15 2020/4/11
15数字信号处理
例2：X (z)
z2
，z 4，求其z反变换
(4 z)(z 1/ 4)
j Im[z]
解：Q 收敛域是圆的外部
Rx
z
R x
,
（R x
0,
R x
）内是解析的，则
在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
而
X (z) Cn zn Rx z Rx
n
i Cn
1
2
j
X (z)zn1dz
c
j Im[z]
C
n 0,1,2,L
其中围线c是在X(z)的环状
Rx
0
Rx
Re[z]
收敛域内环绕原点的一条
反时针方向的闭合单围线。
2020/4/11
数字信号处理
M
X (z)
B(z) A( z )
bi zi
i0 N
1 ai zi
i 1
X (z)
M N n0
Bn zn
A M r k
k1 1 zk z1
r k 1
Ck [1 zi z1]k
用留数定理求系数：
Ak
Re
s
X (z) z zzk
k 1,2,L , M r
2020/4/11
数字信号处理
2、部分分式展开法
X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
X (z)
B(z) A( z )
X1(z) X2(z) L
XK (z)
对各部分分式求z反变换：
x(n) IZT[X (z)] IZT[ X1(z)] IZT[ X 2 (z)] L IZT [ X K (z)]
x n 2020/4/11
2nu
n
3 n 数u字信号n处理1
3、幂级数展开法（长除法）
把X(z)展开成幂级数
X (z) x(n)zn
n
L x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 L
级数的系数就是序列x(n)
2020/4/11
数字信号处理
根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应 的z的幂级数
当n 0时 F(z)
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
j Im[z]
C
在围线c内有一阶极点z 4， 1 4
1/ 4 04
Re[z]
x(n) Re s[F (z)]z4 Re s[F (z)]z1/4
(
z
4)
(4
z n 1 z )( z
1
)
(
z
1 4
)
(4
z n 1 z )( z
1 4
z3
L
1 15
n0
1 4
n
zn
4n2
n1
zn
x(n) 4n u(n) 4n2 u(n 1)
15
15
2020/4/11
数字信号处理
2 j
c
(1
1 a2 az)(1
az
1
)
z
n1dz
其中：F (z)
(1
1 a2 az)(1
az 1 )
z n 1
(a2 1)zn a(z a1)(z
a)
c为X(z)收敛域内闭合围线
而题中未给出收敛域，根据X (z)的极点z a,a1
有三种可能的收敛域：
1) z a1
2) z a
3) a z a1
2020/4/11
z
z3
z3
5
z2 z3
数字信号处理
1
z 3
X z
1
1
z z2 z3
X
z
z
z
2
z z3
1 1 2z1
1 1 3z1
Q2 z 3
1 1 2z1
z 2
ZT
[a
nu
(n)]
1
1 az
1
za
ZT
[a
nu
(n
1)]
1
1 az
1
za
2n u(n)
1 1 3z1
z 3 3n u(n 1)
二、z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
x(n) IZT[X (z)]
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n
实质：求X(z)幂级数展开式
z反变换的求解方法：
围线积分法（留数法）
部分分式法
长除法
2020/4/11
数字信号处理
1、围线积分法（留数法）
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域
＋
z
z 1/
4
4z z2 1 z3 L 4
4 z 16z
16z 4z2 4z2 4z2 z3 z3 M
1 1 z1 1 z2 L
z1 z 4
16
4
z1
4
1
4
1 1 z1 4 16
1 z1 16
M
2020/4/11
数字信号处理
X (z)
1 15
L
+
1 16
z
2
1 4
z 1
1 4z z2
4)
z1
4n
4
15 2020/4/11
数字信号处理
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
当n 1时 F (z)在围线c内有一阶极点z 1 和-(n 1)阶极点z 0
4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上
x(n) Re s[F (z)]z4