光学变换矩阵

光学谐振腔理论研究的基本问题是: 光频电磁场在腔内的传输规律：

从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值。

由于开放式光腔侧面不具有确定的边界,一般情况下，不能在给定边界条件下对经典电磁场理论中的波动方程严格求解。因此,常采用一些近似方法来处理光腔问题。

1.光学谐振腔采用的分析理论

(1). 几何光学理论

忽略反射镜边缘衍射效应，将光看成光线，将几何光线和激光束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写，从而推导出谐振腔的稳定性条件。 此方法中，不同模式的光波按照传输方向来区分。 特点：简便、直观、规范、易于计算。

缺点：粗略、不能得到腔的衍射损耗、不能对腔模特性进行深入分析。 (2). 衍射光学理论

衍射效应明显，从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发，建立一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。

不同模式的光波按照光场纵向和横向分布、损耗、谐振频率来区分。 特点：比较精确、原则上可以求得任意光腔的模式。

缺点：对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了解析解。 本节课主要讨论利用几何光学的光线矩阵分析方法，根据开腔中光的几何偏折损耗的高低，对开腔加以科学的分类。

2 .光学变换矩阵的定义

光学变换矩阵是指傍轴光线通过光学元件后，描述其传播特性的参数发生变化的矩阵表达方法。

傍轴条件:

光线与光轴夹角 , 则有 。

r 1

r 2

1

θ2

θz

z 1z 2

傍轴光线通过光学系统传播的示意图

0θ→tan sin θθθ≈≈

光线传播特性的参数：

任何一条傍轴光线在某一给定横截面内都可以用两个坐标参数来表征：一个是光线离轴线的距离r, 称为位置坐标，另一个是光线与轴线之间的夹角θ，称为方向坐标。

规定如下的符号规则：

（1） 光线位置在轴线上方时距离r 取正值， 在轴线下方时取负值。 （2） 光线出射方向向上时θ取正值，出射方向向下时取负值。 （3） 将两个坐标值组成的列向量称为光线在某一截面处的坐标向量。

通过光学元件后，坐标向量的变化可用下边的矩阵形式表示：

式中， 为光学元件的出射截面处的光线坐标向量； 为光学元件的入射

截面处的光线坐标向量；

M 为该光学元件的光学变换矩阵，M= 是个 2×2阶矩阵。

3 .典型光学系统的光学变换矩阵

1）自由空间的光学变换矩阵

设光线出发时坐标为 ，传播L 距离后变为 。

容易得到

傍轴光线

写成矩阵表达形式为:

因此，自由空间传播L 距离的光学变换矩阵为:

2121r r M θθ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

11

r θ⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡D C B A r θ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡22θr ()11,θr ()22,θr ⎩⎨

⎧=+=1

2112tan θθθL r r 112tan θθθ≈≈⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1122101θθr L

r 101L M ⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦

2）球面反射镜的光学变换矩阵

凹面反射镜，设入射光线在镜面上的坐标为 ，出射光线在镜面上的坐标为 。

如图所示，O 为反射镜面曲率中心，A 为光线入（反）射点，0A 为曲率半径R ，B 为镜面中心，OB 为镜面轴线，α为入射或反射线与A 点处镜面法线间夹角，β为所对圆心角。

由图可写出： 、 、

傍轴近似条件下， 为： 把位置坐标与方向坐标结合在一起，得到球面反射镜的光学变换矩阵为：

众所周知，球面镜的焦距，即焦点到镜面顶点的距离等于镜面曲率半径的一

半， ，球面反射镜的光学变换矩阵也可以用焦距F 表示为：

此式还可以作为透镜的光学变换矩阵用，这是因为透镜和面镜对光线的变换规律是一样的，只不过面镜是反光镜、而透镜是折射光而已。其中，凸透镜与凹面镜都是对光起会聚作用的，因此，它们的焦距都为正；凹透镜与凸面镜都是对光起发散作用的，因此，它们的焦距都为负。 3）共轴球面谐振腔

如图所示，a.设光线从M 1反射镜出发，坐标为

b.到达反射镜M 2 ,其坐标为 ，变换矩阵为

()11,θr ()22,θ

r 21r r =1θαβ+=212θθα-=+βR r 1=

β112()θβθ=+-212θθα-=+1

2βθ=-1

12r R

θ=-1

212

r R

θθ=-+⎧⎨⎩121

2r R

θθ

=-+2

1r r =1

02

1M R

⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦

1

01

1M F

⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦

11r θ⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

22r θ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

1101L M ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

2R F =

c.经过M 2反射镜的反射，坐标变为

，变换矩阵为

d.又直线传播L 距离，回到M 1反射镜，坐标变为 ，变换矩阵为

e.最后再经过M 1反射镜反射，坐标变为 ，变换矩阵为 因此，光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应是：

此变换矩阵称为往返矩阵，它的4个元素经计算后分别为：

如果光线在球面谐振腔内往返n 次，则它的光学变换矩阵就应该是往返矩阵M 的n 次方，按照矩阵理论： = 式中，

M n

称为n 次往返矩阵。若用 表示初始出发时的光线坐标， 表示经过n 次往

返后的光线坐标，则有

例：入射光线坐标 ，

，求通过曲率半径为R=0.2m 的凹面反射镜后的光线坐标。

解：反射前坐标向量为:

凹面反射镜的变换矩阵为:

33r θ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

221

021M R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

-⎢⎥⎣⎦

44r θ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3101L M ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

41

10

21M R ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥

⎣

⎦

55r θ⎡⎤⎢⎥⎣⎦43211

1

02

1M M M M M R ⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

⎥⎦⎤⎢⎣⎡101L ⎪

⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧---=+-=-=-=121212122

2)21)(21()

11(24)1(221R L

R L R L D R R R R L C R L L B R L A n n n

n n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A )(2

1

arccos D A +=ϕ11r θ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

n n r θ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎭

⎬

⎫

+=+=11211θθθn n n n n D r C B r A r 14r =10.1rad θ=1140.1r θ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦21012101L R ⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦