余弦 正切函数的图象与性质

最小正周期是

3
J借题发挥
3 画函数y （x 0, 2 x 、x ）的简图； 2 2 2 1 tan x tan x

解：
y 1
3 sin x, x 0, ,2 tan x tan x 2 2 y 3 1 tan 2 x sec x sin x, x , 2 2
例题3
求下列函数定义域：
cot x 1、y tan x 1 解：
cot x 0 tan x 1 0 x k x k 2
k , k k , k , k z 4 4 2
f ( x) tan( x) tan x f ( x)奇函数
f ( x ) tan( x ) tan x f ( x) 最小正周期是
例题1
解不等式： x 3 tan
y
解：
3
T
A 0 x
解法1
解法2
例题1
解不等式： x 3 tan
y
解：
3
0
y

2
3 2
0
1 2
x
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性
x x | x R且x k，k Z
yR
在x k , k 上是减函数；
f ( x) cot( x) cot x f ( x)奇函数
f ( x ) cot( x ) cot x f ( x) 最小正周期是
1.求定义域
1 y lg(cos 2 x ) 2
1 lgcos 2 x 2.求y ( ) 的单调递减区间 2
3.求函数的单调增区间 , 对称中心，周期 y cos(

4
3x)
我的小结：
我的易错：
4.比较下列各组数的的大小.
(1)sin( 18 10 23 17 (2)cos( )与 cos( ). 5 4 )与 sin( );
x
2
3
解法1
解法2
由图可知：x k , k (k Z ) 3 2
例题2
13 17 tan 解： tan tan 4 5 4 2 0 4 5 2 又： y tan x在 0, 内单调递增， 2 2 tan tan , 4 5
我们的目标
1、掌握利用正切线画正切函数图象的方法
2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质 并能简单地应用
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域； y tan x 0 的终边不在y轴上 x
k

2
k z
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期； 一方面： tan( x) tan x 是y tan x的周期；
tan
13 17 比较 tan( ) 与 tan( ) 的大小. 4 5
2 tan 5

4
tan
2 13 17 源自文库即 tan tan 5 4 5
练习
不查表比较大小：
(1) tan167 与 tan173 (2) tan 470 与 tan822

第一象限或第四象限包括y轴
x (2k ,2k ] [2k ,2k )k z 2 2

我的感悟：
我今天的收获：
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
正切函数的图象和性质
k x k 2 x k 4 x k x k 2
例题3
求下列函数定义域：
2、y cot x csc x
解： cot x 0 cot x 0 csc x 0 或csc x 0 x k x k
3 1 7 (3) cos , sin , cos 2 10 4
23 23 3 解： cos( ) cos cos （2） 5 5 5 17 17 cos( ) cos cos 4 4 4 3 0 , 且函数 y cos x, x [0, ] 是减函数
5 6

-
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
x
l
图象 1.请同学们填表


y
1








x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
余弦函数，正切函数的图象和性质
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质
y
1
-
y sin x
2
-
6
-
4
-
2
-
o
-
-1
4
-
6
-
你想怎样画余弦函数的图象？
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
几何，五点，变换
函数 性质
y= sinx
(k∈z)
y= cosx
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
另一方面： 若0 T , T 是y tan x的周期 tan(T x) tan x
取x 0, 那么tan T tan 0 0 但T 0，） （
故T不存在
1、画出正切函数在一个周期 ， 内的图象 2 2
y


2
0
2
x
2、利用正切函数的周期性，把上述图象向x轴两边扩 展，得到正切曲线；
O

2
x
如何画余切函数y cot x的图象？
y cot x tan x tan x 2 2
y

3 2 1 2

2
3 2
0
1 2
x
余切函数y cot x的性质

3 2 1 2


余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1
y
(1) 作法： 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线

3
-
-
-
o1
M1
-1A
o
-1 -
6

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
y
y
Q1
1-
Q2
-
-
o1
M 2 M 1-1
o
-1 -
6


2
3
2 3
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
周期性 奇偶性
单调性
π
对称中心 对称轴
π
2
(kπ+ π ,0) 2 x = kπ
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。
3 cos cos 4 5 17
即
cos( 4
4

5
我的小结：
23 ) 5
) cos(
我的易错：
我来挑战：
2k 1 * 函数y 5 cos( x )(k N ), 对任意实数 a, 3 6 5 在区间a, a 3上的值 出现的次数不少于 4次且 4 不多于8次，求 k的值
讨论函数 y tan x 的性质； 4
例题2
y tan 3x 的定义域、值域，并指出它的 求函数 3
单调性、奇偶性和周期性；
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
1 5 x x | x R且x k ，k Z 3 18 yR 1 5 1 在x k , k 上是增函数； 18 3 18 3 非奇非偶函数
y

3 2



2
0
2

3 2
x
三、观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性
x x | x R且x k ，k Z 2 yR
在x k , k 上是增函数； 2 2

例题3
x x | x R且x k ，k Z 1、定义域 4 yR 2、值域 3 在x k , k 上是增函数； 3、单调性 4 4 f ( x) tan( x ) tan( x ) f ( x) 4、奇偶性 4 4 且f ( x) f ( x)是非奇非偶函数 5、周期性 f ( x ) tan( x ) tan( x ) f ( x) 4 4 最小正周期是x )( 0)的周期为T 2 一般的，函数y tan( T