三次函数的图象与性质
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图2 单一型图象 1.3 ， 即，则由二次函数的性质：
， ，单调递增 。 ，， 单调递减 。 函数无驻点，也无极值点。由 。 得， 曲线在 内是（向下凹），在内是（向上凹）。 曲线在 内是（向上凹），在内是（向下凹）。仍是曲线拐点的横 坐标。 故对于三次函数若时，其图形形头见图3。
y x x y
图3 单一型图象Biblioteka Baidu
性质3 任何三次函数曲数都存在唯一拐点,并且曲线关于拐点对称,即 经坐标变换后,都可以将曲线所表示的函数化为奇函数。
证明 为方便起见，不妨设。 求导，得令，得，将代入，得 当时，；当时， 点是的唯一拐点。 作代换，代入原曲线方程得
,
。它是一个关于为坐标系的奇函数，该函数表示的曲线对称于 点，即原曲线关于拐点对称。
即t满足的方程为 下面用反证法证明：
假设，由于曲线在点处的切线都过点（0.2），则下列等式成立： ① ② ③
由③得 由①-②得④
又
故由④得，此时与矛盾.所以. 例 ２ 已知在上是增函数，在[0.2]上是减函数，且方程有三个根， 它们分别为。(1)求的值；（2）求证: （3）求的取值范围。 解 (1) ,由题意可得：为的极值点，. (2)令，得，
证明 设三次函数。曲线在点处的切线方程为：即，假设与曲线相 切，切点不唯一。
不妨设与曲线相切于点,,其中。 所以 ①
② 由于，由①得即 ③ 由②得 ④ 将③代入④得，所以，与假设矛盾。 所以原命题得证！ 性质５ 三次函数图象上任一点的切线存在情况。设是图象上任一点， 过点P的切线有以下两种情况： （1）以点为切点的切线有一条.方程为； （2）以不同于点的点为切点并过点的切线，方程为因切线过点，所 以，化简得： , ，当时，解得（舍去），即时这种切线不存在；当时，解得（舍 去），，即时这种切线存在1条。于是有：
三次函数的图象与性质
河源市河源中学 钟少辉
三次函数=是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考 点。本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性 质的应用。
已知三次函数：定义域 则 ， 。由得 (1)
依一元二次方程根的判别式知： 1.1若 ， 即。则方程（1）必有两个不相等的实根，即三次函数必有两 个驻点（这里不妨设）， 且。由函数极值的判定定理则有： 1.a0
推论 函数是中心对称图形，其对称中心是() 证明 设函数的对称中心为(m , n). 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数， 所以,化简得 上式对恒成立，故3ma+b=0 ,m=.所以，函数的对称中心是()，可 见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 性质４ 直线与三次函数图象相切，切点唯一。
性质1 函数，若当是增函数：当时，其单调递增区间是单调递减区
间是 若是减函数；当时，其单调递减区间是，单调递增区间是。
推论 函数当不存在极大值和极小值：若当时，有极大值、极小值;若 当时，有极大值、极小值.
根据和的不同情况，其图象特征分别为：
y y y y x x x x
性质2 函数,若且,则: 由函数图象易知, 上的最值出现在处
通过以上的讨论知：三次函数，当时，其图形的一般形状见图1。 y y
x x
图1 复合型图象
1.2若，即，则由， 得。故 显然 ， ，单调递增。 ， ，单调递减 。驻点不是极值点。而由， ， 得。，时，，曲线是（向下凹）。时，曲线是（向上凹）。， 时，，曲线是（向上凹），时，曲线是（向下凹）。 故对于三次函数，若有且仅有一个驻点，则该点一定是曲线拐点的 横坐标，其图形形状见图2。
参考文献： 华东师范大学数学系.数学分析(第三版).北京：高等教育出版社. 2003 袁拥军: 三次函数图象的四种类型. 数理天地.2005(4) 付玉泉：三次函数对称中心的讨论. 文理导航.2011(8) 寿阿根:对三次函数基本性质的探求. 绍庆文理学院学报.2007(11)
当，单调递增。 当， 单调递减。当 ，单调递增。 驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值， 在值较大的一个点上取得极小值，且。 Ⅱ. 情况正好与I相反，在此不再赘述。 由以上讨论知：，而由 得，因而：，当a>0， 时，，曲线是（向下 凹）。时，曲线是（向上凹）。当 ， 时，，曲线是（向上凹），时， 曲线是（向下凹）。 所以，无论的正负，为曲线拐点的横坐标，且 即：曲线拐点的横坐标为两极值点（或二驻点）连线的中点
在上是增函数，在[0.2]上是减函数，.即. 又 (3)方程有三个根 设， 由待定系数法得， 为方程的两根， ：
=. 例 ３ 已知函数 (1)若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围： (2)若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围. 解 (1)设切点，则在P点的切线的斜率， 由题意，有解。解得。 （2）在时取得极植 为方程的一个根 由可得的另一根为。 当或时，，当时，在递增，递减，递增。在区间有极大值=,又。当时有 最大值 恒成立 恒成立 或
当点是拐点(即)时，过点的切线有且仅有1条，即以点为切点 的切线；当点不是拐点(即)时，过点的切线有且仅有2条，且它们 的切点分别为点和点M。
例1. 2010年高考湖北卷文科压轴题第21题：
设函数，曲线在处的切线方程为。（1）确定b,c 的值； （2）设曲线在点及处的切线都过点（0，2）。证明：当时，。 解（1）略 （2）由，得 由于点（）处的切线方程为而点（0.2）在切线上，所以2化简得
， ，单调递增 。 ，， 单调递减 。 函数无驻点，也无极值点。由 。 得， 曲线在 内是（向下凹），在内是（向上凹）。 曲线在 内是（向上凹），在内是（向下凹）。仍是曲线拐点的横 坐标。 故对于三次函数若时，其图形形头见图3。
y x x y
图3 单一型图象Biblioteka Baidu
性质3 任何三次函数曲数都存在唯一拐点,并且曲线关于拐点对称,即 经坐标变换后,都可以将曲线所表示的函数化为奇函数。
证明 为方便起见，不妨设。 求导，得令，得，将代入，得 当时，；当时， 点是的唯一拐点。 作代换，代入原曲线方程得
,
。它是一个关于为坐标系的奇函数，该函数表示的曲线对称于 点，即原曲线关于拐点对称。
即t满足的方程为 下面用反证法证明：
假设，由于曲线在点处的切线都过点（0.2），则下列等式成立： ① ② ③
由③得 由①-②得④
又
故由④得，此时与矛盾.所以. 例 ２ 已知在上是增函数，在[0.2]上是减函数，且方程有三个根， 它们分别为。(1)求的值；（2）求证: （3）求的取值范围。 解 (1) ,由题意可得：为的极值点，. (2)令，得，
证明 设三次函数。曲线在点处的切线方程为：即，假设与曲线相 切，切点不唯一。
不妨设与曲线相切于点,,其中。 所以 ①
② 由于，由①得即 ③ 由②得 ④ 将③代入④得，所以，与假设矛盾。 所以原命题得证！ 性质５ 三次函数图象上任一点的切线存在情况。设是图象上任一点， 过点P的切线有以下两种情况： （1）以点为切点的切线有一条.方程为； （2）以不同于点的点为切点并过点的切线，方程为因切线过点，所 以，化简得： , ，当时，解得（舍去），即时这种切线不存在；当时，解得（舍 去），，即时这种切线存在1条。于是有：
三次函数的图象与性质
河源市河源中学 钟少辉
三次函数=是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考 点。本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性 质的应用。
已知三次函数：定义域 则 ， 。由得 (1)
依一元二次方程根的判别式知： 1.1若 ， 即。则方程（1）必有两个不相等的实根，即三次函数必有两 个驻点（这里不妨设）， 且。由函数极值的判定定理则有： 1.a0
推论 函数是中心对称图形，其对称中心是() 证明 设函数的对称中心为(m , n). 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数， 所以,化简得 上式对恒成立，故3ma+b=0 ,m=.所以，函数的对称中心是()，可 见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 性质４ 直线与三次函数图象相切，切点唯一。
性质1 函数，若当是增函数：当时，其单调递增区间是单调递减区
间是 若是减函数；当时，其单调递减区间是，单调递增区间是。
推论 函数当不存在极大值和极小值：若当时，有极大值、极小值;若 当时，有极大值、极小值.
根据和的不同情况，其图象特征分别为：
y y y y x x x x
性质2 函数,若且,则: 由函数图象易知, 上的最值出现在处
通过以上的讨论知：三次函数，当时，其图形的一般形状见图1。 y y
x x
图1 复合型图象
1.2若，即，则由， 得。故 显然 ， ，单调递增。 ， ，单调递减 。驻点不是极值点。而由， ， 得。，时，，曲线是（向下凹）。时，曲线是（向上凹）。， 时，，曲线是（向上凹），时，曲线是（向下凹）。 故对于三次函数，若有且仅有一个驻点，则该点一定是曲线拐点的 横坐标，其图形形状见图2。
参考文献： 华东师范大学数学系.数学分析(第三版).北京：高等教育出版社. 2003 袁拥军: 三次函数图象的四种类型. 数理天地.2005(4) 付玉泉：三次函数对称中心的讨论. 文理导航.2011(8) 寿阿根:对三次函数基本性质的探求. 绍庆文理学院学报.2007(11)
当，单调递增。 当， 单调递减。当 ，单调递增。 驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值， 在值较大的一个点上取得极小值，且。 Ⅱ. 情况正好与I相反，在此不再赘述。 由以上讨论知：，而由 得，因而：，当a>0， 时，，曲线是（向下 凹）。时，曲线是（向上凹）。当 ， 时，，曲线是（向上凹），时， 曲线是（向下凹）。 所以，无论的正负，为曲线拐点的横坐标，且 即：曲线拐点的横坐标为两极值点（或二驻点）连线的中点
在上是增函数，在[0.2]上是减函数，.即. 又 (3)方程有三个根 设， 由待定系数法得， 为方程的两根， ：
=. 例 ３ 已知函数 (1)若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围： (2)若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围. 解 (1)设切点，则在P点的切线的斜率， 由题意，有解。解得。 （2）在时取得极植 为方程的一个根 由可得的另一根为。 当或时，，当时，在递增，递减，递增。在区间有极大值=,又。当时有 最大值 恒成立 恒成立 或
当点是拐点(即)时，过点的切线有且仅有1条，即以点为切点 的切线；当点不是拐点(即)时，过点的切线有且仅有2条，且它们 的切点分别为点和点M。
例1. 2010年高考湖北卷文科压轴题第21题：
设函数，曲线在处的切线方程为。（1）确定b,c 的值； （2）设曲线在点及处的切线都过点（0，2）。证明：当时，。 解（1）略 （2）由，得 由于点（）处的切线方程为而点（0.2）在切线上，所以2化简得