频率域图像增强

高斯高通滤波器
高斯高通滤波器的传递函数为
2（u，v）/2D 2 -D 0 H（u，v）=1-e
高通滤波器
从上到下依次 为理想高通滤 波器、布特沃 斯高通滤波器 以及高斯高通 滤波器
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从左往右依次为 透视图、图像表 示和剖面图
2016/4/6
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对比
理想高通滤 波
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2阶布特沃斯 高通滤波
上面的式子不能直接用来对照度和反射的频率部分分别进行 操作，原因是两个函数乘积的傅里叶变换是不可分的，也就 是说：
同态滤波器
所以我们假定 这样我们就可以进行傅里叶变换
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所以也可以得出 之后就可以加入滤波器进行一系列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ像增强
最终图像
同态滤波器
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图像中照射分量i（x，y）通常由慢的空间变化来表征，而 反射分量旺旺引发突变。 所以也就说明了图像取对数后的傅里叶变换的低频部分与照 射相联系，高频部分与反射相联系。
低通滤波器
• • • •
理想低通滤波器 布特沃斯低通滤波器 高斯低通滤波器 梯形滤波器
理想低通滤波器
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以原点为圆心，以D0为半径的圆内，无衰减地通过所有频率，而在圆 外切断所有频率的二维低通滤波器，成为理想低通滤波器。
D0是一个正常数，D（u，v）是频率域中心点（u，v）与频率矩形 中心的距离 D（u，v）=[(u-P/2)2+(v-Q/2)2]0.5
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频率域图像增强
主题
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图像增强的目的主要包括：①消除噪声，改善图像的视觉 效果；②突出边缘，有利于识别和处理。前面是关于图像空间 域增强的知识，下面介绍频率域增强的方法。 频率域增强是对图像经傅立叶变换后的频谱成分进行处理， 然后逆傅立叶变换获得所需的图像。
频率域
1. 低通滤波 2. 高通滤波 3. 同态滤波增强
理想低通滤波器
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第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
附录
振铃
LOGO 产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
常用的高通滤波器有：
• 理想高通滤波器 • Butterworth高通滤波器 • 指数高通滤波器(高斯低通 滤波器) • 梯形滤高通波器
理想高通滤波器
二维理想高通滤波器的传递函数为
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布特沃斯高通滤波器
n阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义如下
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H(u，v)=1/[1+( D0/D(u，v))2n]
梯形高通滤波器
梯形高通滤波器的传递函数为：
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高通滤波
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其实四种高通滤波函数的选用类似于低通函数。
理想高通有滤波明显振铃现象，即图像的边缘有抖 动现象；
布特沃斯高通滤波效果较好，但计算复杂，其优点 是有少量低频通过，H(u，v)是渐变的，振铃现象不明 显； 高斯高通效果比布特沃斯差些，振铃现象不明显；
g（x，y）=f（x，y）+c ▽2f(x,y)
频率域的拉普拉斯算子
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左上图为原始 模糊图像 右下就是经过 拉普拉斯算子 增强后的图像。
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同态滤波器
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在生活中会得到这样的图像，它的动态范围很大，而我们感兴趣的部分 的灰度又很暗，图像细节没有办法辨认，采用一般的灰度级线性变换法是不 行的。图像的同态滤波属于图像频率域处理范畴，其作用是对图像灰度范围 进行调整，通过消除图像上照明不均的问题，增强暗区的图像细节，同时又 不损失亮区的图像细节。 图像f(x,y)可以表示为照度和反射两部分的乘积：
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频率域的平滑
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图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频率域中进行。由于 噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通 滤波器H(u,v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变 换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。常用的频率域低滤波器 H(u,v)有四种
同态滤波器
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使用同态滤波器可更好地控制照射分量和反射分量。如果rH和rL选 定，而rL<1且rH>1,那么滤波器函数趋向于衰减低频，而增强高频。 结果是是同时进行动态范围的压缩和对比度的增强。
同态滤波
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经过了同态滤波的增强，我们可以发现图中灰暗部分的细 节明显增强，但亮度部分又没有损失。
布特沃斯低通滤波器
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它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化，即 明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像 边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生。 但是当阶数逐渐变大时，振铃将会变得明显。 二阶是有效的低通滤波和可接受振铃之间好的折中。
阶数分别 为 1,2,5,20
附录
二维DFT的可分性
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如下就把二维的分成一维的变换
F（x，y）的二维DFT可通过计算f（x，y）的每一行的一维 变换，然后沿着计算结果的每一列计算一维变换得到。
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2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
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低通滤波器
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
左图为字符断裂
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右图为卫星和航空图像
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频率域的锐化
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图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊 是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除 模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过， 使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。
D0 从 左 往 右 分 别 为 15， 30, 80
高斯高通滤 波
结论
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理想高通滤波第一幅图振铃现象相当严重，以 至于产生了失真，物体的边界也被加粗了。当D0 逐渐增加时，边缘更清晰，失真更小，而且较小 的物体已被正确滤除。 布特沃斯高通滤波不管是最小截止频率还是 其他都比理想高通滤波更好。 而高斯高通滤波结果比前边两个滤波器的结 果更平滑，即使是细小物体和细线条也是这样。
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频率域滤波基础
滤波公式 g（x，y）=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
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ζ -1 是IDFT，F（u，v）是输入图像f（x，y）的DFT， H（u，v）是滤波函数，g（x，y）是滤波后的输出图像。
DFT H(u，v) IDFT f(x，y) F(u，v) F(u，v)H(u，v) g(x，y) 滤波 原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为F(u，v)。频率域增强就是选 择合适的滤波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处理，然后经逆傅立 叶变换得到增强的图像g(x,y)。
H（u，v） =-4π2[（u-P/2)2=(v-Q/2)2] =-4π2D2(u,v)
所以我们就可以得到拉普拉斯图像由下式 ▽
▽2f(x,y)=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
相比较其他滤波器不同的是，一般我们经过逆傅里叶变化就可以得到图像了而我 们需要如下实现
这里的c=-1，因为从上面的式子中可以发现H（u，v）是负的
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频率域滤波步骤
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 大小为M*N的输入图像f（x，y），得到填充参数P=2M，Q=2N 形成大小为P*N的图像fp(x，y) 用（-1）x+y乘fp(x，y)移到变换的中心。 计算3中的图像DFT，得到F（u，v） 滤波函数H（u，v）与F（u，v）相乘 对5得出的结果进行IDFT，并选择其中的实部。 从6得出的左上限提取M*N区域，得到最终处理的图像
梯形高通会产生微振铃效果，但计算简单，较常用。 一般来说，不管在图像空间域还是频率域，采用高 频滤波不但会使有用的信息增强，同时也使噪声增强。 因此不能随意地使用。
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频率域的拉普拉斯算子
拉普拉斯算子可使用如下滤波器在频率域实现 关于频率矩形的中心，也可使用如下滤波器\
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H（u，v）=-4π2（u2,v2）
理想低通滤波器
LOGO 截止频率 为分别设 置为 10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
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D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
高斯低通滤波器
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如之前一样，分别是透视图，图像显示和径向剖面图
与BLPF相比，对于相同的截止频率，平滑效果稍弱。 我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
比较
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截止 频率 分别 为 10,30 ,60,1 60和 460
可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生的虚假轮廓，常可 用低通滤波进行平滑处理改进质量，通常布特沃斯低通滤波器好于 理想低通滤波。
高斯低通滤波器
高斯低通滤波器是图像处理中常用的另一种平滑滤波器。 它的传递函数为：
2（u，v）/2D 2 -D 0 H（u，v）=e
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D0是截止频率，当D（u，v）=D0时，GLPF下降到其最大 值的0.607处。