数学中的对称美

数学中的对称美
沧源县芒卡镇中心完小张瑞
【摘要】对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大。

对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，是其运动、变化和发展的规律之一；对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大；对称是指图形或事物对某点，某直线或某平面而言，在大小、形状或排列上具有一一对应关系。

数学则是它的根本。

对称美是数学美的最重要的特征。

【关键词】对称；对称性；数学美；对称美
对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，是其运动、变化和发展的规律之一；对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大；对称是指图形或事物对某点，某直线或某平面而言，在大小、形状或排列上具有一一对应关系。

数学则是它的根本。

虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能完全和数学分离。

因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。

——亚里士多德【1】在数学中对称的概念略有拓广，常把某些具有关联或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分。

同时也为人们研究数学提供了某些启示。

对称性是数学美的最重要的特征；是数学家追求的目标；也是数学发现与创造中的重要的美学因素。

著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连。

”【1】由于现实中处处有对称，既有轴对称、中心对称等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称，还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。

作为研究现实世界的空间形式与数量关系的数学，自然会渗透着圆满和自然的对称美。

例如，函数与反函数图像关于y=x对称；代数中的代数式化简时的共轭因子；多项式方程虚根的成对出现；线性方程组的克莱姆法则，都给人以一种对称性的美感。

谈到几何之美，人们更忘不了对称。

【1】
数学的对称美分为两种：一种是数（式）的对称性美，主要体现在数（式）的结构上，例如，加法的交换律a+b=b+a，乘法的交换律ab=ba，a与b的位置具有对称关系，但又是可以变化的，变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感，简洁明快，一目了然，代数式是数（式）的对称式，结构严谨、特殊，了解这类问题一定需要特殊的方法，从而显示了它的神秘感、奇妙感。

另一种是图形的对称性，整体美、简洁美，图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐的关系。

例如轴对称图形和中心对称图形等，这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛，许多建筑师和美术工作者常常采用一些对称图形，设计出美丽的装饰图案。

数学美隶属于科学美，所以具有科学美的属性和特点。

但由于数学和一般自然科学相比，在抽象性的程度、逻辑的严谨性、有用的广泛性上，都远远超过了一般自然科学。

所以我们说数学美是一种人类本质力量通过宜人的数学思维结构
的呈现，是数学真理的一种表现。

数学中的许多重大发现或突破得益于数学中的美学方法。

例如，对数的引进，解析几何的创立等。

人类对数学美的追求，推动了数学的发展。

数学美的表现常具有统一、简洁、对称及奇异等重要特征，这些特征渗透在数学理论、数学语言、数学的定义公式、数学方法技巧及数学的实际应用之中。

对称美是美学的一个基本概念，而在数学教学中，有很大一部分题目亦是从对称性的角度提出来的，如等式两边成分相同，式中已知元素的地位等同等等。

【2】善于发现已知条件的对称性，对称性是数学美学的一个重要方面，对称美也是近年来高考数学命题所极力追求的，它一方面能考查基本知识、基本技能、基本的数学思想，另一方面又能体现数学试题的一种美感。

由此获得解题思路，并迅速做出工整、正确的解答，是数学教学中经常使用且行之有效的方法。

下面从一些实例来说明数学中的对称美。

1、“对称”在艺术、自然界、科学上的例子是屡见不鲜的。

对称的建筑物，对称的图案，是随处可见的。

自然界的对称可以从亚原子微粒子的结构到整个宇宙结构的每一尺度上找到。

从建筑物外形到日常生活用品；从动植物外貌到生物有机体的构造；从化合物的组成到分子晶体的排布，……其中皆有对称。

【1】无论是北京天安门城楼还是国外的宫殿、教堂、剧院，无论是现代建筑还是民居、民宅，其中皆蕴含着对称.
2、数学图形中的对称美的重要体现。

几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释。

在几何图形中，等腰三角形是轴对称的；圆关于圆心是对称的，关于直线也是对称的；正方形关于其中心是对称的；球形最为特殊，它即是中心对称又是轴对称的，也是面对称的图形。

【2】正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。

”又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性，直观的给人以美的享受。

自古以来，人们就已经讨论“对称原理”之一——左和右之间的对称（比如还有上、下、前、后等之间的对称）。

物理学定律一直显示左右之间的完全对称。

而“对称”在数学上的表现则是普遍的。

绘画中利用对称，文学作品中也有对称手法。

几何上平面的情形有直线对称（轴对称）、点对称（中心对称）和面对称。

【2】比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），又是中心对称图形（以对角线交点为对称中心），圆也是一样的。

正六面体、球等都是点、线、面对称图形。

正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对陈，才构成了美丽的图案，精美的建筑。

巧夺天工的生活世界，也给我们带来丰富的自然美和多彩的生活美。

3、数学中对称美是数学美的重要内容。

数学中的对称美是指数学中的部分与部分，部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对称性”。

【2】这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分，它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。

笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域成功的运用。

【3】在这种坐标几何学中代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达到完美的统一。

几何图形中对称的图形给人以美的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这就是黄金分割的美或者更深层次的对称美。

【3】如：一条线段关于它的中点对称，这条线段若左端点的坐标为0，右端点的坐标为1，那么中点在0.5处。

又如：似乎黄金分割点（在0.618处）不是对称点，但若将左端记为A，右端记为B，黄金分割点记为C，则AC=AB·BC而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点，因为，再进一层看，D又是AC的黄金分割点；C是DB的黄金分割点。

类似地一直讨论下去，这可视为一种连环对称。

【3】如今，设计师和艺术家们已经利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术珍宝。

对称是数学家们长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度。

【4】数学中不少的概念与运算，都是由人们对于对称问题的探讨派生出来的。

数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成是启迪人们思维、研究问题的方法。

在数学的发展中，由于对对称美的要求与实际需要相结合，从而可引出新的概念和新的理论。

【4】如，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到无理数、从实数到虚数等一系列数域的扩充，都与对称美的追求密切相关。

加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法微分的逆运算是积分，这种种逆运算的建立，也都与对称美相联系。

由此可见，对称已成为数学研究中的一个重要部分。

这正如魏尔所说：“对称不管你是按广义还是按狭义来定义，其涵义总有多少年代以来人们试图用以领悟和创造秩序、美和完善性的观念。

”【4】
【参考文献】：
【1】《数学中的美》吴振奎，上海教育出版社；
【2】《数学中的美学方法》徐本顺，殷启正，大连理工大学出版社；
【3】《数学的美与理》张顺燕，北京大学出版社；
【4】《科学美学思想史》徐纪敏，湖南人民出版社。