求解物理极值问题数学方法小结

高考物理中求解极值问题数学方法几例

摘 要：高考物理中经常需要通过对物理极值问题的探索和求解总结出物理学的基本

规律。本文通过几个物理题目作为例子，介绍求解高考物理中极值问题的数学方法。

关键词：高考物理 极值问题 数学方法

正 文：

一．引言

物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

二．数学知识求解物理极值问题的几个例子 （一）利用求导的方法求极值

通过高等数学知识可知，如果当Δx →0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x 0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tan α。如果f '(x 0) =0, 则在x 0处函数有极值。

例1：如图1所示，相距2L 的A 、B 两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q 。在它们的中垂线上的C 点，由静止释放一电量为q ，质量为m 的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？

解：由于对称性，在AB 的中点受力为零，在AB 中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q 运动到中垂线上的D 点时，由图可

知

θθθsin )

cos /(2sin 22

1L kQq

F F ==合 故其加速度为：

)sin (sin 2cos sin 23

2

2

2θθθ

θ-=

=

=

m L

kQq m L kQq m

F a 合 发现加速度是一个关于θ的函数，令θθθ3sin sin )(-=f

θθθθθcos sin 3cos )('(2-=f ）f 的导数为则 0cos sin 3cos ,0)('2=-=θθθθ即令f 3

3sin =

θ：解得，（不合题意有极值,900=θ） 即392

3333)(33arcsin 2

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=有极大值为时θθ，f 所以当33arcsin

=θ时，加速度有最大值为：3942mL

KQq

（二）用图像法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。

例2：从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。

解：设最大速度为v m ,即加速阶段的末速度为v m ：画出其速度时间图象，如图2所示，图线与t 轴围成的面积等于位移。即：

m V t S ⨯⨯=

2

1

即：s m ：V V m

m /5202

1

50=⨯=解得

(三) 利用三角函数求极值

例3：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？ 该题的已知量只有µ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含 有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到 与夹角有关的关系式再作分析。

t

解：设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即 0cos =-f F θ ①

G F N =+θsin ② N f μ= ③ 由联立①②③式解得：

)sin cos cos (sin 1cos sin 2φθφθμμθθμμ++=+=

G G F )

sin(12φθμμ++=

G

, 其中μ

φ1

tan =

, 所以 G F 2

min 1μ

μ

+=

(四) 利用矢量求极值

矢量是物理学中常用的数学工具，有时使用

矢量可以求出某些极值问题。对于例3，我们也可以用矢量知识求极值。

将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F'，如图4，F ’与竖直方向的夹角为

μφ==

N

f

tan （为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G ,桌面对木块的作用力F'和拉力F 的作用。尽管F 大小方向均未确定，F ’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图5所示。只用当F 与F ’垂直时，即拉力与水平方向成φ角时，拉力F 最小为φsin G F = 而2

2

1tan 1tan sin μ

μ

φ

φφ+=

+=

故2

1sin μ

μφ+=

=G

G F

(五) 利用不等式求极值

例5：一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻 绳水平，然后无初速度的释放，如图6所示，小球在运动至轻绳 达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最 大值？

解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为：

F

f

G

图4

B

图6

P=mg υcosα=mgυsinθ ①

小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：

2

2

1cos mv mgL =

θ ② 解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P = 令y=cosθsin θ

)sin sin cos 2(2

1

)sin cos 2(2

1

sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅=

=

=y

2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又 根据基本不等式abc c b a 3≥++，可知：

当且仅当θθ2

2sin cos 2=，y 有最大值

3

3cos cos 1cos 222=

-=θθθ：得由 结论：当3

3

cos =

θ时，y 及功率P 有最大值。 三．小结

以上求极值的方法是求解高考物理极值的常用方法。当然，除了以上方法还可以用配方法、函数法等方法求极值问题。在使用中，必须考虑实际问题，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，利用恰当的数学模型，使用合适而有效的方法，提高计算的效率。

（吴振兴）