第4篇 第17章 可靠性中常用的概率分布
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k k P{X k} Cn p (1 p)nk
(k 0,1,2,...,n)
二项分布的数字特征：E(X)=np，D(X)=np(1-p)。 二项分布的主要应用是在产品质量检验或可靠性抽样检验等问题中设计抽 样检验方案。在可靠性设计中，二项分布可用于独立失效系统的可靠性计 算和可靠性分配等。
若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的寿命
服从指数分布。
指数分布可以看作是威布尔分布中的形状参数等于1时的特殊情形。 在电子元器件的可靠性问题中，指数分布曾广泛应用。此外，指数分布 还可用来描述大型复杂系统的故障间隔时间的分布，特别是在部件或机 器的整机试验中得到了广泛的应用。
第四篇 可靠性设计
第十七章 可靠性中常用的概率分布
主讲：谢里阳教授
内容提要
1. 2.
3.
4. 5. 6.
二项分布函数 泊松(Poisson)分布函数 正态(Gauss)分布概率密度函数 对数正态分布概率密度函数 威布尔(Weibull)分布概率密度函数 指数分布概率密度函数
可靠性设计的数学基础是概率论与数理统计。 载荷、强度、寿命等是可靠性设计涉及的基本参数与重要指标。这些 指标一般都是随机变量，有一定的取值范围，服从一定的统计分布。 可靠性工程中常用的分布有二项分布、泊松分布、指数分布、正态分 布、对数正态分布和威布尔分布等。
例1 用20个零件进行可靠性实验，在规定的时间内只允许有2个零件失效。 已知每次实验的失效概率为10%，问通过实验的概率为多少？若允许有 3个零件失效，则通过实验的概率为多少？
k k p (1 p) nk 解: 该问题符合二项分布: P {X k} Cn 设允许零件失效数为2，则通过实验的概率为：
t
η =1时双参数威布尔分布的各函数曲线
η =1，α =0.2时三参数威布尔分布的各函数曲线
如果<1，那么威布尔分布的均值将大于η。如果 ＝1，威布尔分布的均值 等于η 。如果 >1，威布尔分布的均值小于η ，且随着t的减小接近于η 。 随着增长到无穷，威布尔分布的方差减小，且无限接近于0。
17.4 对数正态分布
若 X 是一个随机变量， Y＝ln(X)服从正态分布，即 Y=ln(X)～N(,2)
则称 X 服从对数正态分布。
对数正态概率密度函数是： f(x)=
1 1 ln x 2 exp 2 x 2 0
Leabharlann Baidu
t , 0, 0
三参数威布尔分布的分布函数为：
F (t ) P{T t} 1 exp[( t
) ]
1 威布尔分布的均值 E ( x) 1
2 1 2 威布尔分布的方差 V ( x) 2 1 1
17.3 正态分布
正态分布密度函数定义为：
1 x 2 f ( x) exp , x 2 2 1
其中： 是分布的均值， 是分布标准偏差。
正态分布是以t= 为对称轴的对称型分布，且在t= 处取得最大值。 改变 时，分布曲线发生平移，改变 时对称轴位置不变
0 1 2 P( X 2) C 20 p 0 (1 p) 20 C 20 p1 (1 p)19 C 20 p 2 (1 p)18 0 1 2 C 20 (1 0.1) 20 (0.1) 0 C 20 (1 0.1)19 (0.1)1 C20 (1 0.1)18 (0.1) 2
x0 x0
和 不是对数正态分布的均值和标准差，而分别称为它的对数均值 和对数标准差。
对数正态分布是一种偏态分布，是可以用来描述零件疲劳寿命分布的
一种分布形式。
17.5 威布尔(Weibull)分布
Weibull采用“链式”模型研究、描述了结构强度和寿命问题，假设一个 结构是由 n 个小元件串联而成，将结构看成是由 n 个环构成的一条链子， 其强度（或寿命）取决于最薄弱环的强度（或寿命）。单个链的强度（或 寿命）为一随机变量，设各环强度（或寿命）相互独立，分布相同，则求 链强度（或寿命）的概率分布就变成求极小值分布问题，由此得出了威布 尔分布函数。
(k 0,1,2,..., n)
0.6769
设允许零件失效数为3，则通过实验的概率为：
3 P( X 3) P( X 2) C20 (1 0.1)17 (0.1) 3
0.8670
END
p( x ) 1
n n
积累分布函数是随机变量X小于某个具体值的概率：P(X<x)。连续型随机变量 的积累分布函数定义为：
F ( x)
f ( )d
x
17.1 二项分布
试验 E 只有两种可能的结果 A 和 Ā，P(A)=p，P(Ā)=q。用 X 表示在 n 重独立试验中事件 A 发生的次数，则 X 是一个随机变量，它的可能取值 为 0，1，2，…，k，…n，在这种情形 X 服从的概率分布称为二项分布， 记为: XB(n,p)，其概率分布为：
17.2 泊松(Poisson)分布
泊松分布：
P{ X k}
k e
k!
泊松分布的数字特征为：E(X)=，D(X)=。在泊松分布中，令失效数k=0，有
P{X 0} e
k k P{X k} Cn p (1 p)nk
(k 0,1,2,...,n)
若把三参数威布尔分布的位置参数取为0，则简化为两参数威布尔分布 。其密度函数为
f (t )
t 1 t ( ) exp[( ) ]
t 0, 0, 0
两参数威布尔分布的分布函数为
F (t ) P{T t} 1 exp[( ) ]
17.6 指数分布
e x 指数分布的密度函数为 f ( x) 0
( x 0; 0) ( x 0)
式中为常数，是指数分布的失效率。 指数分布的分布函数 F(x)=1-e-x
指数分布的数字特征为: E(t)=θ=1/λ，D(t)= θ2 = 1/λ2 。
随机变量样本数据统计处理：分布拟合、参数估计、假设检验、概率 计算、置信度确定等等。
分布特征
随机变量分为离散型和连续型两类：
离散型随机变量的取值xi是可数的。 连续型随机变量x在其定义域内取任意值。
密度函数必须满足：
对于所有x的值， f ( x) 0 对于连续型分布， f ( x)dx 1 对离散型的分布,
标准正态分布
＝0，＝1的正态分布称为标准正态分布，其概率密度函数为：
1 t2 / 2 f (t ) e 2
( t )
正态分布是最常用的分布，在机械可靠性设计中，可以用来描述零件的 强度分布。从物理背景上讲，如果影响某个随机变量的独立因素很多， 且不存在起决定作用的主导因素时，则该随机变量一般可用正态分布来 描述。正态分布随机变量的取值范围从负无穷大直到正无穷大，从这一 点来看，强度不可能是真正的正态分布，而只可能是截尾正态分布。
由于威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料 缺陷等因素对材料疲劳寿命的影响，所以作为材料或零件的寿命分布模型 或给定寿命下的疲劳强度模型比较合适。
三参数威布尔分布记为T~W(,,)，其中 为形状参数，为尺度参数， 为位置参数，三参数威布尔分布的密度函数为
t 1 t f (t ) ( ) exp[( ) ]
(k 0,1,2,...,n)
二项分布的数字特征：E(X)=np，D(X)=np(1-p)。 二项分布的主要应用是在产品质量检验或可靠性抽样检验等问题中设计抽 样检验方案。在可靠性设计中，二项分布可用于独立失效系统的可靠性计 算和可靠性分配等。
若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的寿命
服从指数分布。
指数分布可以看作是威布尔分布中的形状参数等于1时的特殊情形。 在电子元器件的可靠性问题中，指数分布曾广泛应用。此外，指数分布 还可用来描述大型复杂系统的故障间隔时间的分布，特别是在部件或机 器的整机试验中得到了广泛的应用。
第四篇 可靠性设计
第十七章 可靠性中常用的概率分布
主讲：谢里阳教授
内容提要
1. 2.
3.
4. 5. 6.
二项分布函数 泊松(Poisson)分布函数 正态(Gauss)分布概率密度函数 对数正态分布概率密度函数 威布尔(Weibull)分布概率密度函数 指数分布概率密度函数
可靠性设计的数学基础是概率论与数理统计。 载荷、强度、寿命等是可靠性设计涉及的基本参数与重要指标。这些 指标一般都是随机变量，有一定的取值范围，服从一定的统计分布。 可靠性工程中常用的分布有二项分布、泊松分布、指数分布、正态分 布、对数正态分布和威布尔分布等。
例1 用20个零件进行可靠性实验，在规定的时间内只允许有2个零件失效。 已知每次实验的失效概率为10%，问通过实验的概率为多少？若允许有 3个零件失效，则通过实验的概率为多少？
k k p (1 p) nk 解: 该问题符合二项分布: P {X k} Cn 设允许零件失效数为2，则通过实验的概率为：
t
η =1时双参数威布尔分布的各函数曲线
η =1，α =0.2时三参数威布尔分布的各函数曲线
如果<1，那么威布尔分布的均值将大于η。如果 ＝1，威布尔分布的均值 等于η 。如果 >1，威布尔分布的均值小于η ，且随着t的减小接近于η 。 随着增长到无穷，威布尔分布的方差减小，且无限接近于0。
17.4 对数正态分布
若 X 是一个随机变量， Y＝ln(X)服从正态分布，即 Y=ln(X)～N(,2)
则称 X 服从对数正态分布。
对数正态概率密度函数是： f(x)=
1 1 ln x 2 exp 2 x 2 0
Leabharlann Baidu
t , 0, 0
三参数威布尔分布的分布函数为：
F (t ) P{T t} 1 exp[( t
) ]
1 威布尔分布的均值 E ( x) 1
2 1 2 威布尔分布的方差 V ( x) 2 1 1
17.3 正态分布
正态分布密度函数定义为：
1 x 2 f ( x) exp , x 2 2 1
其中： 是分布的均值， 是分布标准偏差。
正态分布是以t= 为对称轴的对称型分布，且在t= 处取得最大值。 改变 时，分布曲线发生平移，改变 时对称轴位置不变
0 1 2 P( X 2) C 20 p 0 (1 p) 20 C 20 p1 (1 p)19 C 20 p 2 (1 p)18 0 1 2 C 20 (1 0.1) 20 (0.1) 0 C 20 (1 0.1)19 (0.1)1 C20 (1 0.1)18 (0.1) 2
x0 x0
和 不是对数正态分布的均值和标准差，而分别称为它的对数均值 和对数标准差。
对数正态分布是一种偏态分布，是可以用来描述零件疲劳寿命分布的
一种分布形式。
17.5 威布尔(Weibull)分布
Weibull采用“链式”模型研究、描述了结构强度和寿命问题，假设一个 结构是由 n 个小元件串联而成，将结构看成是由 n 个环构成的一条链子， 其强度（或寿命）取决于最薄弱环的强度（或寿命）。单个链的强度（或 寿命）为一随机变量，设各环强度（或寿命）相互独立，分布相同，则求 链强度（或寿命）的概率分布就变成求极小值分布问题，由此得出了威布 尔分布函数。
(k 0,1,2,..., n)
0.6769
设允许零件失效数为3，则通过实验的概率为：
3 P( X 3) P( X 2) C20 (1 0.1)17 (0.1) 3
0.8670
END
p( x ) 1
n n
积累分布函数是随机变量X小于某个具体值的概率：P(X<x)。连续型随机变量 的积累分布函数定义为：
F ( x)
f ( )d
x
17.1 二项分布
试验 E 只有两种可能的结果 A 和 Ā，P(A)=p，P(Ā)=q。用 X 表示在 n 重独立试验中事件 A 发生的次数，则 X 是一个随机变量，它的可能取值 为 0，1，2，…，k，…n，在这种情形 X 服从的概率分布称为二项分布， 记为: XB(n,p)，其概率分布为：
17.2 泊松(Poisson)分布
泊松分布：
P{ X k}
k e
k!
泊松分布的数字特征为：E(X)=，D(X)=。在泊松分布中，令失效数k=0，有
P{X 0} e
k k P{X k} Cn p (1 p)nk
(k 0,1,2,...,n)
若把三参数威布尔分布的位置参数取为0，则简化为两参数威布尔分布 。其密度函数为
f (t )
t 1 t ( ) exp[( ) ]
t 0, 0, 0
两参数威布尔分布的分布函数为
F (t ) P{T t} 1 exp[( ) ]
17.6 指数分布
e x 指数分布的密度函数为 f ( x) 0
( x 0; 0) ( x 0)
式中为常数，是指数分布的失效率。 指数分布的分布函数 F(x)=1-e-x
指数分布的数字特征为: E(t)=θ=1/λ，D(t)= θ2 = 1/λ2 。
随机变量样本数据统计处理：分布拟合、参数估计、假设检验、概率 计算、置信度确定等等。
分布特征
随机变量分为离散型和连续型两类：
离散型随机变量的取值xi是可数的。 连续型随机变量x在其定义域内取任意值。
密度函数必须满足：
对于所有x的值， f ( x) 0 对于连续型分布， f ( x)dx 1 对离散型的分布,
标准正态分布
＝0，＝1的正态分布称为标准正态分布，其概率密度函数为：
1 t2 / 2 f (t ) e 2
( t )
正态分布是最常用的分布，在机械可靠性设计中，可以用来描述零件的 强度分布。从物理背景上讲，如果影响某个随机变量的独立因素很多， 且不存在起决定作用的主导因素时，则该随机变量一般可用正态分布来 描述。正态分布随机变量的取值范围从负无穷大直到正无穷大，从这一 点来看，强度不可能是真正的正态分布，而只可能是截尾正态分布。
由于威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料 缺陷等因素对材料疲劳寿命的影响，所以作为材料或零件的寿命分布模型 或给定寿命下的疲劳强度模型比较合适。
三参数威布尔分布记为T~W(,,)，其中 为形状参数，为尺度参数， 为位置参数，三参数威布尔分布的密度函数为
t 1 t f (t ) ( ) exp[( ) ]