最小二乘参数辨识方法及原理概况

• 高斯自己独创了一套行星轨道计算 理论。 • 高斯仅用1小时就算出了谷神星的 轨道形状，并进行了预测 •1794年，高斯提出了最小二乘的思想。

1794年，高斯提出的最小二乘的基本原理是 未知量的最可能值是使各项实际观测值和计算
值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和为最
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N ˆ N N 2 N a 702 Ri t i.762 Ri t i t i i 1 i 1 a ˆ i 1 i 1 2 N N ˆ 2 N t t b 3. 4344 i i i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b ˆ i 1 R 943 N .168 N 2 N t i2 t i i 1 i 1
2.1 利用最小二乘法求模型参数

例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型， 并求出当温度在 70 C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
5、增广最小二乘辨识方法 6、多变量最小二乘辨识方法

本章的学习目的
1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理
2、掌握常用的最小二乘辨识方法 3、熟练应用最小二乘参数辨识方法进行模型参数辨识 4、能够编程实现最小二乘参数辨识
1、引言

z
m次独立试验的数据

N J 2 ( Ri a bti ) 0 a a a i 1 ˆ N J 2 ( Ri a bti )t i 0 i 1 b bbˆ
ˆ t ˆ N a b Ri i i 1 i 1 N N N 2 ˆ a ˆ t i b t i Ri t i i 1 i 1 i 1
系统辨识
第4章 最小二乘参数辨识方法
主讲教师：赵龙 办公地点：新主楼E402 网 站：
Email：flylong@

本章内容
1、最小二乘辨识的基本概念
2、一般最小二乘辨识方法
3、加权最小二乘辨识方法
4、递推最小二乘参数辨识方法
y(k ) ai y (k i) bi u (k i)
使 | y
i
测量误差的平方和最小
2.1 利用最小二乘法求模型参数

根据最小二乘的准则有
J min vi2 [ Ri (a bti )]2
i 1 i 1 N N
根据求极值的方法，对上式求导
N J 2 ( Ri a bti ) 0 a a a i 1 ˆ N J 2 ( Ri a bti )t i 0 i 1 b bbˆ
小。
2、最小二乘辨识方法的基本概念

通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C ) R ()
t1 R1
t2 R2

t N 1 RN 1
tN
RN
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总 a bt vi

vi yi Ri或vi＝yi a bti
太复杂
常见做法：
| yi Ri | 最小 /* minimax problem */ 使 max 1 i N
使
| y
i 1
m i 1
N
i
Ri |
Ri |2
最小
最小
不可导，求解困难
t 70 C
2.2 一般最小二乘法原理及算法

v (k ) u (k ) G( z) y (k ) z (k )
图 3.4 SISO 系统的“黑箱”结构
b1 z 1 b2 z 2 bn z n y (k ) G( z ) u(k ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
t (k )
G( z)
y (k )
(t1 , y1 ) (t2 , y2 )
(tm , ym )
f (t )
t
f (t ) a0 a1h1 (t ) a2 h2 (t ) an hn (t )

• 1801年初，天文学家皮亚齐发现了谷神星。 •1801年末，天文爱好者奥博斯，在高斯预 言的时间里，再次发现谷神星。 •1802年又成功地预测了智神星的轨道。
N N

N N N N 2 R t i i Ri t i t i i 1 i 1 a ˆ i 1 i 1 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b ˆ i 1 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1