第一讲-测度
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则 称 F 是 上 的 一 个 - 代 数 ( 或 - 域 ) ，
并 称 , F 是 一 个 可 测 空 间 。
例 3 .设 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ， 则 下 列 集 族 构 成 上 的
- 代 数 ：
F 1 的 所 有 子 集
第一讲 测度
目录 1 . 1 勒 贝 格 积 分 的 基 本 思 想 1.2测 度 的 概 念 1.3 外测度 1.4勒 贝 格 测 度 1 .5 波 雷 尔 集 的 可 测 性 1 .6可 测 集 的 结 构
1 . 1 勒 贝 格 积 分 的 基 本 思 想
1 .1 .1 黎 曼 积 分 的 基 本 思 想
Lebesgue: 1X4+2X5+5X4=34
要 定 义 勒 贝 格 积 分 就 涉 及 到 一 个 关 键 问 题 ： 如 何 定 义 一 个 集 合 的 “ 长 度 ” ？ 这 就 需 要 引 出 一 个 重 要 的 概 念 ： 测 度
1.2测 度 的 概 念
所 谓 测 度 ， 本 质 上 是 长 度 、 面 积 、 体 积 等 概 念 的 推 广 ， 即 给 一 个 集 族 中 的 每 一 个 集 合 赋 予 一 个 唯 一 确 定 的 实 数 ， 用 以 度 量 这 个 集 合 的 “ 长 度 ” 、 “ 面 积 ” 或 “ 体 积 ” 。 例 1 .设 H { ( a , b ) : a b } 表 示 实 数 集 上 所 有 开 区 间 所 构 成 的 集 族 ， 则 我 们 我 们 可 以 在 H 上 定 义 一 个 测 度 ：
1 . 1 . 2 勒 贝 格 ( L e b e s g u e ) 积 分 的 基 本 思 想
am xinb f(x)y0 y1
yn
maxf(x), axb
yi yi yi1,
Ei x[a,b]:
yi1 f (x) yi,
n1
( E i) 集 合 E i的 “ 长 度 ” Sf, yi (Ei), i0 E 4
ax0 x1x2 xi1xi xn b,
xi xi xi1, xi1i xi,
n1
Sf,,f(i)xi, i0
a b f ( x ) d x |l i | m 0 S f , , ,其 中 m a x ix i x i 1 .
因 此 , F i ( i 1 , 2 , 3 , 4 ) 都 是 可 测 空 间 。
定 义 1 .2设 是 一 个 集 合 ， E 是 由 的 某 些 子 集 所 构
成 的 集 族 ( 不 一 定 是 -代 数 ) ， 如 果 F 是 包 含 E 的 最 小 -代 数 ， 则 称 F 是 由 E 生 成 的 -代 数 ， 记 作 F (E ).
( 3 ) 完 全 可 加 性 ： 如 果 A 1 ,A 2, H两 两 不 交 ， 则
A n (A n)
n 1 n 1
当 然 ， 要 使 得 性 质 ( 3 ) 成 立 ， 对 集 族 H 也 是 有 要 求 的 ， 例 如 集 族 H 对 集 合 的 并 、 交 、 补 运 算 必 须 封 闭 ， 为 此 我 们 先 引 进 几 个 概 念 。
上 面 定 义 的 测 度 本 质 上 就 是 矩 形 区 域 的 面 积 。 理 想 的 测 度 应 该 继 承 长 度 、 面 积 体 积 所 具 有 的 好 的 性 质 ， 这 些 性 质 包 括 ：
( 1 ) 非 负 性 ： ( A ) 0 , A 源自文库H ；
( 2 ) 空 集 的 测 度 为 零 ： ( ) = 0 ；
例 2 .设 Q a ,b ;c ,d [a ,b ) [c ,d )表 示 坐 标 平 面 上 的 矩 形 区 域 ， H 1 { Q a ,b ;c ,d:a b ,c d } ， 则 我 们 我 们 可 以 在 H 上 定 义 一 个 测 度 ：
A : H 1 [ 0 , ] , Q a , b ; c , dA ( Q a , b ; c , d ) ( b a ) ( d c ) ,
F2 ， F 3 ， ， { 1 } ， { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 }
， ， { 1 } ， { 2 } ,{ 1 ,2 } , F 4 { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } ,{ 1 ,3 ,4 ,5 ,6 } ,{ 3 ,4 ,5 ,6 }
( L ) [ a , b ] f ( x ) d x | l i | m 0 S f , , 其 中 m a x iy i y i 1 .
黎 曼 积 分 和 勒 贝 格 积 分 本 质 上 是 两 种 不 同 的 求 和 汇 总 方 式 。
假设你有一堆乱七八糟的零钱需要汇总： 1221552512215 Riemann: 1+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34
: H [ 0 , ] ,( a , b )( ( a , b ) ) b a , 这 里 我 们 需 要 约 定 ： 有 限 数 , 有 限 数 ( ) 有 限 数 + = ，
上 面 定 义 的 测 度 本 质 上 就 是 区 间 的 长 度 。
定 义 1 . 1 设 是 一 个 集 合 ， F 是 由 的 某 些 子 集 所 构 成 的 集 族 ， 如 果 F 满 足 下 列 条 件 ：
(1) F；
( 2 ) 如 果 A 1 ,A 2 , ,A n , F ， 则 A n F ；
n 1
( 3 ) 如 果 A F ， 则 A c \ A F . .
并 称 , F 是 一 个 可 测 空 间 。
例 3 .设 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ， 则 下 列 集 族 构 成 上 的
- 代 数 ：
F 1 的 所 有 子 集
第一讲 测度
目录 1 . 1 勒 贝 格 积 分 的 基 本 思 想 1.2测 度 的 概 念 1.3 外测度 1.4勒 贝 格 测 度 1 .5 波 雷 尔 集 的 可 测 性 1 .6可 测 集 的 结 构
1 . 1 勒 贝 格 积 分 的 基 本 思 想
1 .1 .1 黎 曼 积 分 的 基 本 思 想
Lebesgue: 1X4+2X5+5X4=34
要 定 义 勒 贝 格 积 分 就 涉 及 到 一 个 关 键 问 题 ： 如 何 定 义 一 个 集 合 的 “ 长 度 ” ？ 这 就 需 要 引 出 一 个 重 要 的 概 念 ： 测 度
1.2测 度 的 概 念
所 谓 测 度 ， 本 质 上 是 长 度 、 面 积 、 体 积 等 概 念 的 推 广 ， 即 给 一 个 集 族 中 的 每 一 个 集 合 赋 予 一 个 唯 一 确 定 的 实 数 ， 用 以 度 量 这 个 集 合 的 “ 长 度 ” 、 “ 面 积 ” 或 “ 体 积 ” 。 例 1 .设 H { ( a , b ) : a b } 表 示 实 数 集 上 所 有 开 区 间 所 构 成 的 集 族 ， 则 我 们 我 们 可 以 在 H 上 定 义 一 个 测 度 ：
1 . 1 . 2 勒 贝 格 ( L e b e s g u e ) 积 分 的 基 本 思 想
am xinb f(x)y0 y1
yn
maxf(x), axb
yi yi yi1,
Ei x[a,b]:
yi1 f (x) yi,
n1
( E i) 集 合 E i的 “ 长 度 ” Sf, yi (Ei), i0 E 4
ax0 x1x2 xi1xi xn b,
xi xi xi1, xi1i xi,
n1
Sf,,f(i)xi, i0
a b f ( x ) d x |l i | m 0 S f , , ,其 中 m a x ix i x i 1 .
因 此 , F i ( i 1 , 2 , 3 , 4 ) 都 是 可 测 空 间 。
定 义 1 .2设 是 一 个 集 合 ， E 是 由 的 某 些 子 集 所 构
成 的 集 族 ( 不 一 定 是 -代 数 ) ， 如 果 F 是 包 含 E 的 最 小 -代 数 ， 则 称 F 是 由 E 生 成 的 -代 数 ， 记 作 F (E ).
( 3 ) 完 全 可 加 性 ： 如 果 A 1 ,A 2, H两 两 不 交 ， 则
A n (A n)
n 1 n 1
当 然 ， 要 使 得 性 质 ( 3 ) 成 立 ， 对 集 族 H 也 是 有 要 求 的 ， 例 如 集 族 H 对 集 合 的 并 、 交 、 补 运 算 必 须 封 闭 ， 为 此 我 们 先 引 进 几 个 概 念 。
上 面 定 义 的 测 度 本 质 上 就 是 矩 形 区 域 的 面 积 。 理 想 的 测 度 应 该 继 承 长 度 、 面 积 体 积 所 具 有 的 好 的 性 质 ， 这 些 性 质 包 括 ：
( 1 ) 非 负 性 ： ( A ) 0 , A 源自文库H ；
( 2 ) 空 集 的 测 度 为 零 ： ( ) = 0 ；
例 2 .设 Q a ,b ;c ,d [a ,b ) [c ,d )表 示 坐 标 平 面 上 的 矩 形 区 域 ， H 1 { Q a ,b ;c ,d:a b ,c d } ， 则 我 们 我 们 可 以 在 H 上 定 义 一 个 测 度 ：
A : H 1 [ 0 , ] , Q a , b ; c , dA ( Q a , b ; c , d ) ( b a ) ( d c ) ,
F2 ， F 3 ， ， { 1 } ， { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 }
， ， { 1 } ， { 2 } ,{ 1 ,2 } , F 4 { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } ,{ 1 ,3 ,4 ,5 ,6 } ,{ 3 ,4 ,5 ,6 }
( L ) [ a , b ] f ( x ) d x | l i | m 0 S f , , 其 中 m a x iy i y i 1 .
黎 曼 积 分 和 勒 贝 格 积 分 本 质 上 是 两 种 不 同 的 求 和 汇 总 方 式 。
假设你有一堆乱七八糟的零钱需要汇总： 1221552512215 Riemann: 1+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34
: H [ 0 , ] ,( a , b )( ( a , b ) ) b a , 这 里 我 们 需 要 约 定 ： 有 限 数 , 有 限 数 ( ) 有 限 数 + = ，
上 面 定 义 的 测 度 本 质 上 就 是 区 间 的 长 度 。
定 义 1 . 1 设 是 一 个 集 合 ， F 是 由 的 某 些 子 集 所 构 成 的 集 族 ， 如 果 F 满 足 下 列 条 件 ：
(1) F；
( 2 ) 如 果 A 1 ,A 2 , ,A n , F ， 则 A n F ；
n 1
( 3 ) 如 果 A F ， 则 A c \ A F . .