数值分析-第一章ppt课件
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设x的近似值为x*, 则称x*的绝对误差e(x*)与精确 值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),
.
即
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
对于两个数值 x1=100±2, x2=10±1
近似值x1*=100的绝对误差限*(x1*)=2是近似值 x2*=10的绝对误差限*(x2*)=1的两倍. 但是,近似值100
的偏差不超过2, 而近似值10的偏差不超过1. 哪个近似 值的精度好呢？
一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关, 还与精确值的大小有关. 为此我们需要引入相对误差 的概念.
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2) x*
满足不等式 |e(x*)| = | x–x*| *的正数*称为近
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即 | V–V*| 2(V)
.
二、相对误差与相对误差限
生是由于四舍五入造成的. 例2: 计算下面积分的值( n = 0, 1, 2, ···):
Ine101xnexd.x
积分In的值必定落在区间[0, 1]内, 我们由被积函 数及其图形作出判断. .
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
.
计算过 程中产 生的舍 入误差
例如用级数 sixn x1x31x51x7 3 ! 5 ! 7 !
的前三项计算 sinx 的近似值, 即取 sixn S 5(x)x3 1 !x35 1 !x5
《数值分析》绪论
参考书：
[1] 施吉林, 刘淑珍, 陈桂芝. 计算机数值方法. 第一版. 北京：高等教育出版社， 1999. [2] 吴勃英, 王德明, 丁效华, 李道华. 数值分析原理. 第 一版. 北京：科学出版社，2003. [3] 陈传淼. 科学计算概论. 第一版. 北京：科学出版社, 2007. [4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 2003.
这是一门与计算机紧密结合, 实用性很强的数学 课程.
.
算法应具有的特Байду номын сангаас:
1. 可行性: 它只能包括计算机能够直接处理的加、 减、乘、除和逻辑运算, 以及计算机的内部函数, 并能 够在有限步结束.
2. 可靠性: 它应该有数学理论分析的支持,包括误 差分析、收敛性分析、数值稳定性分析等, 使得近似 解与精确解的误差可以任意地小.
数值计算方法涉及的基础数学课程较多, 但在本 课程中主要涉及微积分、线性代数、常微分方程等数 学知识.
.
第一章 引论
引例
例1: y = arctan5430 – arctan5429的准确值为: 0.0000000339219··· 0.33910–7
但是, 用具有八位舍入功能的计算器直接计算得 y 1.5706122 – 1.5706121 = 0.0000001 = 110–7 所得计算结果的可靠性值得怀疑. 这一结果的产
.
实际问题
否
解释 实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方 型法
结果分析 求解计算
应用于实践
.
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近 似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生 的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内 可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个 计算过程.
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
利用递推公式进行计算得:
n In近似值 n In近似值 n In近似值 0 0.63212056 6 0.12680320 12 0.63289603 1 0.36787944 7 0.11237760 13 -7.2276483 2 0.26424112 8 0.10097920 14 102.18708 3 0.20727664 9 0.091187200 15 -1531.8061 4 0.17089344 10 0.088128000 : 5 0.14553280 11 0.030591000 :
.
例3: 对于一元二次方程
x2 –(109+1)x+109= 0
有两个精确的实根: x1= 109, x2= 1. 如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式:
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0.
其中的x2=0明显失真, 这也是由于舍入误差造成的.
.
§1 误差的来源
3. 高效性: 它应该具有计算量小、占用存储单元 少、计算过程简单、规律性强等优点.
.
《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典 算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本 概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成 习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上 机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计 算的能力.
则截断误差为： R (x ) six n S 5 (x ) 7 1 !x 7 9 1 !x 9
由于计算机的字长有限, 用0.166667近似表示1/3!, 就会产生舍入误差.
.
§2 误差的概念
一、绝对误差与绝对误差限
设x*为准确值(也称为真值) x 的一个近似值, 则称 x–x*为近似值 x*的绝对误差, 简称为误差, 并记作 e(x*) = x–x*。
.
即
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
对于两个数值 x1=100±2, x2=10±1
近似值x1*=100的绝对误差限*(x1*)=2是近似值 x2*=10的绝对误差限*(x2*)=1的两倍. 但是,近似值100
的偏差不超过2, 而近似值10的偏差不超过1. 哪个近似 值的精度好呢？
一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关, 还与精确值的大小有关. 为此我们需要引入相对误差 的概念.
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2) x*
满足不等式 |e(x*)| = | x–x*| *的正数*称为近
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即 | V–V*| 2(V)
.
二、相对误差与相对误差限
生是由于四舍五入造成的. 例2: 计算下面积分的值( n = 0, 1, 2, ···):
Ine101xnexd.x
积分In的值必定落在区间[0, 1]内, 我们由被积函 数及其图形作出判断. .
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
.
计算过 程中产 生的舍 入误差
例如用级数 sixn x1x31x51x7 3 ! 5 ! 7 !
的前三项计算 sinx 的近似值, 即取 sixn S 5(x)x3 1 !x35 1 !x5
《数值分析》绪论
参考书：
[1] 施吉林, 刘淑珍, 陈桂芝. 计算机数值方法. 第一版. 北京：高等教育出版社， 1999. [2] 吴勃英, 王德明, 丁效华, 李道华. 数值分析原理. 第 一版. 北京：科学出版社，2003. [3] 陈传淼. 科学计算概论. 第一版. 北京：科学出版社, 2007. [4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 2003.
这是一门与计算机紧密结合, 实用性很强的数学 课程.
.
算法应具有的特Байду номын сангаас:
1. 可行性: 它只能包括计算机能够直接处理的加、 减、乘、除和逻辑运算, 以及计算机的内部函数, 并能 够在有限步结束.
2. 可靠性: 它应该有数学理论分析的支持,包括误 差分析、收敛性分析、数值稳定性分析等, 使得近似 解与精确解的误差可以任意地小.
数值计算方法涉及的基础数学课程较多, 但在本 课程中主要涉及微积分、线性代数、常微分方程等数 学知识.
.
第一章 引论
引例
例1: y = arctan5430 – arctan5429的准确值为: 0.0000000339219··· 0.33910–7
但是, 用具有八位舍入功能的计算器直接计算得 y 1.5706122 – 1.5706121 = 0.0000001 = 110–7 所得计算结果的可靠性值得怀疑. 这一结果的产
.
实际问题
否
解释 实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方 型法
结果分析 求解计算
应用于实践
.
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近 似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生 的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内 可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个 计算过程.
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
利用递推公式进行计算得:
n In近似值 n In近似值 n In近似值 0 0.63212056 6 0.12680320 12 0.63289603 1 0.36787944 7 0.11237760 13 -7.2276483 2 0.26424112 8 0.10097920 14 102.18708 3 0.20727664 9 0.091187200 15 -1531.8061 4 0.17089344 10 0.088128000 : 5 0.14553280 11 0.030591000 :
.
例3: 对于一元二次方程
x2 –(109+1)x+109= 0
有两个精确的实根: x1= 109, x2= 1. 如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式:
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0.
其中的x2=0明显失真, 这也是由于舍入误差造成的.
.
§1 误差的来源
3. 高效性: 它应该具有计算量小、占用存储单元 少、计算过程简单、规律性强等优点.
.
《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典 算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本 概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成 习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上 机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计 算的能力.
则截断误差为： R (x ) six n S 5 (x ) 7 1 !x 7 9 1 !x 9
由于计算机的字长有限, 用0.166667近似表示1/3!, 就会产生舍入误差.
.
§2 误差的概念
一、绝对误差与绝对误差限
设x*为准确值(也称为真值) x 的一个近似值, 则称 x–x*为近似值 x*的绝对误差, 简称为误差, 并记作 e(x*) = x–x*。