导数在三角函数中的应用

导数在三角函数中的应用

1.【2014·北京卷（理18，文8）】已知函数

()cos sin ,[0,]2

f x x x x x π

=-∈，

（1）求证：

()0f x ≤；

（2）若sin x a b x

<

<在(0,)2π

上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.

【解析】（I ）由()cos sin f x x x x =-得

'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-。 因为在区间(0,)2π

上'()f x sin 0x x =-p ，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递减。

从而()f x (0)0f ≤=。

（Ⅱ）当0x f 时，“

sin x a x f ”等价于“sin 0x ax -f ”“sin x b x

p ”

等价于“sin 0x bx -p ”。 令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-， 当0c ≤时，()0g x f 对任意(0,)2

x π

∈恒成立。

当1c ≥时，因为对任意(0,

)2x π

∈，'()g x cos x c =-0p ，

所以()g x 在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递减。从而()g x (0)0g =p 对任意(0,)2

x π

∈恒成立。

当01c p p 时，存在唯一的0(0,)2

x π

∈使得0'()g x 0cos x c =-0=。

()g x 与'()g x 在区间(0,)2

π上的情况如下：

因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g =f 。进一步，“()0g x f 对

任意(0,

)2x π

∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即2

0c π

≤p ， 综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x f 对任意(0,)2

x π

∈恒成立；当且仅当1c ≥时，

()0g x p 对任意(0,)2

x π

∈恒成立。 所以，若sin x a b x p p 对任意(0,)2x π∈恒成立，则a 最大值为2

π

，b 的最小值为1.

2．【2014·辽宁卷（文8）】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，

2()(1x

g x x ππ

=--.

证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2

x π

∈，使0()0f x =；

（Ⅱ）存在唯一1(,)2

x π

π∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0，有01x x π+>.

（Ⅰ）当(0,

)2x π

∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+->，所以()f x 在(0,)2

π

上为增函

数．又(0)20f π=--<．2

()402

2f ππ=

->．所以存在唯一0(0,)2

x π

∈，使0()0f x =．

（Ⅱ）当(

,)2

x π

π∈时，化简得cos 2()()

11sin x x

g x x x ππ

=-+-+．令t x π=-．记

()()u t g t π=-=-

t cos 211sin t t t π-++．(0,)2

t π∈．

则'

()()(1sin )f t u t t π=+．由（Ⅰ）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,

)2t x π

∈时，'()0u t >．

从而在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2

t x π

∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,

)2

x π

上无零点．在0(0,x )上()u t 为减函数，由(0)1u =及

0()0u x <知存在唯一00(0,x )t ∈，使得0()0u x =．于是存在唯一0(0,)2t π

∈，使得

0()0u t =．设10(,)2

x t π

ππ=-∈．100()()()0g x g t u t π=-==

．因此存在唯一的1(

,)2

x π

π∈，

使得1()0g x =．由于10x t π=-，00x t <，所以01x x π+>． 3．【2014·湖南卷（文21）】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.

（1）求()f x 的单调区间；

（2）记

i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有

222

121112

3

n x x x +++,令()'0f x =可得

()*x k k N π=∈,当()()()2,21*x k k k N ππ∈+∈时,sin 0x >.此时()'0f x <;

当()()()()21,22*x k k k N ππ

∈++∈时,sin 0x <,此时()'0f x >, 故函数()f x 的单调递减区间为()(

)()2,21*k k k N ππ+∈,

单调递增区间为

()()()()21,22*k k k N ππ++∈.

(II)由(1)可知函数()f x 在区间()0,π上单调递减,又02f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

,所以1

2x π=, 当*n N ∈时,因为()()()()

()()1

1111110n

n f n f

n n n ππππ+⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦

,且函数

()f x 的图像是连续不断的,所以()f x 在区间()(),1n n ππ+内至少存在一个零点,又()

f x 在区间()()

,1n n ππ+上是单调的,故()11n n x n ππ+<<+,因此, 当1n =时,

221142

3

x π=<; 当2n =时,

()222121112413

x x π+<+<; 当3n ≥时,()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤

+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

L L ()()222221*********+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦

L L

2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒

+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭

⎝⎭⎣⎦L L 221162613n ππ

⎛⎫=

-<< ⎪-⎝⎭, 综上所述,对一切的*n N ∈,

222121112

3

n x x x +++

重

庆

卷

（

文

））

已知函数