柱坐标系和球坐标系(教师)

7 柱坐标系和球坐标系

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学习目标：

1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；

2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.

学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程： 一、课前准备

阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题：

空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？

答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系. 二、新课导学： （一）新知： 1.柱坐标系：

（1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点

Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有

序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥，

02θπ≤<，z R ∈.

（2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建

立起来的.

（3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为

cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

. 2.球坐标系：

（1）设P 是空间任意一点，连接OP ， 记||OP r =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ. 设

P 在xOy 平面的射影为Q ，Ox

轴按逆时针方向

旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示.空间的点与有序数组(,,)r ϕθ之间建立了一种对应关系.

我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组

(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<.

（2）点P 球坐标(,,)r ϕθ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式：

①2222

x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩

.

（二）典型例题

【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点.

【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1,

,0)2

A π

，1

,0)4

A π

，,)24

B ππ，

1,)4

B πϕ

，其中tan ϕ=α为锐角，

(1,,)22C ππ

，1,)42

C ππ，(0,0,0)

D ，1(1,0,0)D .

动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下：

(1,0,0)A ，1(1,0,1)A

，,0)4B π

，1,1)4

B π， (1,,0)2

C π， 1(1,,1)2

C π，(0,0,0)

D ，1(0,0,1)D .

【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6

,2(1π

P ,2P 的柱坐标是)3,3

2,

4(2-π

P ,求21P P . 【解析】点1P 的柱坐标是)1,6

,

2(1π

P 转化为直角坐标为,1,16

sin

2,36

cos

2=====z y x π

π

，即)1,1,3(1P ，

点2P 的柱坐标是)3,3

2,

4(2-π

P 转化为直角坐标为,3,323

2sin 4,232cos 4-===-==z y x π

π，即)3,32,2(2--P ，

所以，

126PP =

=.

动动手：在球坐标系中，求)6,3,

3(π

πP 与)3

2,3,3(π

πQ 两点间的距离.

【解析】将球坐标)6

,3,

3(π

πP 化为直角坐标： 93sin cos 364x ππ==

，3sin sin 36y ππ==33cos 32z π==，

即P

的直角坐标为93()42

.

将球坐标2(3,,

)33

Q ππ化为直角坐标：

23sin cos 33

x ππ==293sin sin 334y ππ==，33cos 32z π==，

即P 的直角坐标为93,)42

.

所以||PQ =

=.

三、总结提升：

1．理解柱坐标系和球坐标系下各个量的几何意义，会在图中标出点的坐标. 2．能够将柱坐标或球坐标转化为直角坐标，在直角坐标系中解决问题. 四、反馈练习：

1.在空间直角坐标系，已知点)1,1,1(-A ，则点A 关于原点对称的点的坐标)1,1,1(-- ，点A 关于z 轴对称的点的坐标)1,1,1(-.

2.在以O 为极点的柱坐标系中，若点⎪⎭

⎫

⎝

⎛

1,6,4πQ ，则||OQ =17，面xOz 与半平面zOQ 所成的角是

6

π .

3. 点P 的球坐标是)2

,4,

2(π

π，则它的直角坐标是)1,1,0(. 4. （1）球坐标满足方程3r =的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.

（2

）柱坐标满足方程2ρ=的点所构成的图形是什么?

【解析】(1)构成的图形是一个球面，球心在坐标系的原点，半径为3，其直角坐标方程为

2

229x y z ++=.

(2) 图形是以z 为轴，横截面为圆（圆的半径为）的圆柱面

.

5.长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为1、1，建立适当的球坐标系，写出各个

顶点的坐标.

【解析】如图建立球坐标系，则各个点的坐标如下：

,0)A α，1(1,,0)

2A π，,)64B ππ，

1,)24B ππ，

,)2

C πα， 1(1,,)22

C ππ，

D ，1(0,0,1)D .

其中tan ϕ=

α为锐角.

五、学后反思：