史上最 经典的 三角函数的不定积分

因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:
R (u ,
例7 解 求I
u 2 k 2 )du , dx x x 2 2x 4
R (u ,
k 2 u 2 )du.
【解法一】 I=
按上述一般步骤，求的
x
dx ( x 1) 4
2

du u 1)
（ x=u+1）
注意
例4 解
求
dx (ab 0) a sin x b 2 cos 2 x
2 2
由于
dx sec 2 x d (tan x) a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x a 2 tan 2 x b 2 dx a 2 tan 2 x b 2 ,
故令 t=tanx,就有
例6
求 由于
dx (1 x) 2 x x 2 1 (1 x) 2 x x 2 1 (1 x) 2 1 x , 2 x
解
故令 t=
1 x 2t 2 1 6t , 则有 x= , dx dt , 2 2 x 1 t 1 t 2
(1 x)
=
dx 2xx
2
=
1 1 x dx 2 (1 x) 2 x
(1 t 2 ) 2 6t 2 dt 2 dt 2 2 2 9t (1 t ) 3t
2 2 2 x C C. 3t 3 1 x
=
2.
R( x,
2
ax 2 bx c )dx 型不定积分（a>0 时. b 2 -4ac o 时， b 2 4ac 0) 由于
出”来的。例如
e
x2
dx,
dx sin x , dx, 1 k 2 sin 2 xdx (0 k 2 1) ln x x
等等，虽然没他们都存在，但却无法用初等函数来表示（这个结论证明起来是非 常难的，刘纬尔（liouville）于 1835 年做出过证明） 。因此可以说，初等函数的 原函数不一定是初等函数。在下一章将会知道。这类非出等函数可采用定积分形 式来表示。 最后顺便指出，再求不定积分时,换可利用现成的积分表.在积分表中所有的 积分公式是按被积函数分类编排的人们只要根据被积函数的类型， 或经过适当变 形化为表中列出的类型，查阅公式即可。此外，有些计算器（例如 TI-92 型）和 电脑软件（例如 Mathemetica,Maple 等）也具有求不定积分的使用功能.但对于初 学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法. 在附录Ⅲ中列出了一份容量不大的积分表， 他大体上是典型例题和习题的总 结.列出这份积分表的主要目的的是为了大家学习后记课程提供方便.
三角函数有理式的不定积分
由 u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于 u(x)、v(x)的有 理式，并用 R(u(x),v(x))表示. x R (sin x, cos x)dx 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换 t=tan 2 ,可把他化为 有理函数的不定积分。这是因为 x x x 2 sin cos 2 tan 2 2 2 2t Sinx= (8) 2 1 t 2 x 2 x 2 x sin cos 1 tan 2 2 2 x x x cos 2 sin 2 1 tan 2 2 2 2 2 1 t Cosx= (9) 2 1 t 2 x 2 x 2 x sin cos 1 tan 2 2 2 2 dx= dt 1 t2
ax 2 bx c a x t ;
若 c>0,还可令
ax 2 bx c xt c
这类变换称为欧拉变换. 至此我们已经学过了求不定积分的基本方法， 以及某些特殊类型不定积分的 求法。需要指出的是，通常所说的“求不定积分” ，是指用初等函数得形式把这 个不定积分 表示出来。 在这个意义下， 并不是任何初等函数得不定积分都能 “求
dx sec 2 x d (tan x) a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x a 2 tan 2 x b 2 dx a 2 tan 2 x b 2 ,
=
1 at arctan C ab b
适当当被积函数是 sin 2 x, cos 2 x 及 sinxcosx 的有理式时，采用变换 t=tanx 往往 比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。
1 1 1 t2 = (t 2 )dt ( 2t ln t ) +C 2 t 2 2
1 x x 1 x = tan 2 tan ln tan C 4 2 2 2 2
x 上面所用的交换 t=tan 对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的， 2 但并不意味着在任何场合都是简便的.
=
2 sec tan d 2 sec 1) 2 tan
(u=2sec )
2 2 d = 1 t 2 dt 2 cos 1t 2 1 t 2
(t= tan ) 2

2 3
arctan(
1
tan ) C 2 3
由于
tan
sin tan 2 1 cos 1 sec
三
1. R( x,
某些无理根式的不定积分
ax b ax b )dx 型不定积分（ad-bc 0）.对此只需令 t= , 就可化为有 cx d cx d
理函数的不定积分。 例5 求 令 t=
1 x2 dx x x2
x2 2(t 2 1) 8t , 则有 x= 2 , dx 2 dt , x2 t 1 (t 1) 2
所以两种方法得结果是一致的。此外，上述结果对 x<0 同样成立。 注 2 相比之下，解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为有理 式（而解法一通过三次换元才化为有理式） 。如果改令
x 2 2 x 3 x t,
显然有相同效果———两边各自平方后能消去 x 2 项， 从而解出 x 为 t 得有理函数。 一般地，二次三项式 ax bx c 中若 a>0,则可令
t2 3 (t 2 22 x 3) x 2x 3 t . 2(t 1) 2(t 1)
2
于是所求不定积分直接化为有理函数得不定积分： I=
注1
可以证明
arctan
x 2 2x 3 x x2 2x 3 arctan , 3 3 3 ( x 1)
b 2 4ac b 2 ax bx c a ( x ) , 2a 4a 2
若记 u=Байду номын сангаасx
b 4ac b 2 , k2 , 则此二次三项式必属于以下三种情形之一： 2a 4a 2
a (u 2 k 2 ), a (u 2 k 2 ), a (k 2 u 2 ).
解
1 x2 4t 2 x x 2 dx (1 t 2 )(1 t 2 )dt ,
=(
2 2 )dt 2 1 t 1 t 2
=ln
1 t 2 arctan t C 1 t
1 x 2 x2 x2 C. x2
= ln
x2
2 arctan
x2
2t 1 t 2 2 所以 R(sin x, cos x)dx R ( , ) dt 2 2 1 t 1 t 1 t2
例3 解 求
（10）
1 sin x dx sin x (1 cos x )
x 令 t=tan ,将(8)、 （9） 、 （10）代入被积表达式， 2
2t 1 1 sin x 2 1 t2 dt sin x(1 cos x)dx = 2t 2 1 t 1 t2 (1 ) 1 t 2 1 t 2
u ( )2 1 = 2 u 1 2 x 2 2x 3 , x 1
因此
x 2 2x 3 I= arctan , x 1 3 2
【 解法二】
若令 x 2 2 x 3 x t , 则 可解出 x t2 3 t 2 2t 3 , dx dt , 2(t 1) 2( x 1) 2