数学认知能力与语言认知能力的分离现象(连四清)

数学认知能力与语言认知能力的分离现象

连四清∗方运加∗∗

（首都师范大学数学系北京，100037）

摘要：在数学学习过程中，数学语言逐步从文字语言中分离出来，相应地数学认知能力和语言认知能力也具有类似的分离趋势。我们回顾了数学认知领域的一些研究文献，并对数学语言的“形、声、义”三种表征形式之间的关系进行了分析。虽然目前的研究还没有涉及到更抽象的数学领域，如基础数学领域，但是我们还是可以得到一个合理的结论：随着所学数学语言的进一步抽象，数学认知能力的发展将更加依赖数学表征能力的发展，而语言认知能力在数学认知能力发展中的作用将变得更为有限。论文最后讨论了这一结论对数学教育的启示。

关键词：数学认知能力语言认知能力数学表征数学教育

语言是人类用于表达意思、交流的工具，是一种特有的社会现象。文字和语音是语言的两种不同表达方式。自“数”符号从文字符号中分离出来后，数学科学研究逐步发展出自身的一套专业语言系统。越是抽象的数学语言，其与作为社会大众普遍应用的语言分离趋势越明显。如抽象的数学语言系统只有少部分经过数学专业学习的人所掌握，而对于多数普通大众而言，这种数学语言系统却是一个谜一般的世界。由于我们常常使用“数学语言”这个词，所以为了区分，以下我们用“自然语言”来特指用于大众日常使用和交流的语言。本文将就两种语言的认知能力分离现象进行分析与讨论，以求更加深刻认识数学教学。

1. 算术认知能力与语言认知能力的分离

人类首先创造了表示各种集合中对象数量的符号，从而摆脱了具体对象的困扰。在早期的语言中，具有不同文明历史的民族发明不同类型的“数”符号来表达一个具体数字的意义。“数”符号及其意义就从对象的其他性质（如物理和化学特性）中被分离出来。但是，对于儿童来说，“数”通常总是和实际对象联系在一起的，例如手指或珠子[1]。儿童通过对象计数（如手指计数）的方法来获得加法的结果，然后逐步发展出“小数计数”。如从“2+3”中较大的数开始计数，并往后数“较小数”个数（如，3，4，5）[2]。在小数计数的过程中，数“3、4、5”作为一个抽象的数学表征符号被儿童接受下来，它不再与“集合对象”联系在一起。数学符号与对象的初步分离现象说明，计数能力的发展需要首先摆脱“计数对象”

∗连四清（1965-），江西上饶人，首都师范大学数学系副教授，主要从事数学学习和教学心理研究。

∗∗方运加（1952-），北京市人，首都师范大学数学系副教授，《中小学数学教学》杂志主编，中国教育发展中心主任，主要从事数学教育理论与实践研究。

的束缚，然后逐步获得脱离对象而存在的“数”的表征形式和以它为基础的信息加工能力。

当然，一些研究表明，某些数的表征形式的获得可能并不需要以语言表征为基础。因为在婴儿获得语言表征之前，他们就已经能够表征数量的多少。如，在没有获得语言表证之前，婴儿就能够辨别对象数量的差异（如2个玩具和3个玩具的区别）[3-4]，或者能够区分数量的增加与减少[5]。这就是说，数学认知能力与语言认知能力分离现象可能发生小学学习之前，如婴儿期。虽然，我们还不能完全确定这一点，但是从数学表征能力发展的角度来分析这种分离现象，对数学教育也是很有启发性的。相对于初中数学知识而言，小学阶段的数学需要更多地借助于自然语言。但是随着数学抽象水平的提高，用自然语言来表述数学关系将变得越来越困难。自然语言也就无力承担描述数学关系的任务，此时的自然语言变成了数学认知的束缚，也就逐步变成了被摆脱的对象。

实际上，在简单数学知识学习之后，算术知识和技能获得将更多地依赖儿童掌握的数学表征形式[6]。一些儿童在判断小数大小时出现的错误，说明正确理解小数符号及其所表示的数学意义是非常重要的。如，一些儿童类比小数符号与自然数符号，他们会认为小数中的数字个数越多，其值越大（如“2.86比2.357”大）。区别于自然语言的表征，数的表征可能更具有视觉空间性的特征。算术学习障碍的研究为此提供了证据。如，Rourke（1993）总结自己及其合作者的研究结果认为，仅有算术学习不良的儿童具有特殊的心理功能缺陷，主要表现在与视觉空间信息有关任务解决上，如视觉空间组织任务、非语言问题的解决[7]。

从认知神经心理学的角度看，如果算术认知能力和语言认知能力可以分离，那么语言认知能力受损的被试可以较好地保留某些或全部算术认知能力，或者算术认知能力受损，但语言认知能力却可以不受损害。如，Sandrini, Miozzo, Cotelli, & Cappa(2003)对一位因事故造成脑损伤的病人，该被试听力理解受到中度损害，而且被试患有严重的朗读失能症（dyslexic）和书写失能症（dysgraphic）。对被试进行算术认知能力测试时，发现她的算术认知能力受到的损害具有选择性特点。被试能够完成阿拉伯数字的大小比较和口语呈现的简单加减法运算任务，但不能完成口语呈现的简单乘除运算[8]。虽然目前还不能完全确定，语言认知失能的脑损伤病人能够保留哪些算术认知能力，但是研究基上本可以肯定算术认知能力和语言认知能力具有分离性的特点[9-11]。

2.代数认知能力与语言认知能力的分离

语言具有“形、声和义”三种表征形式。相比较文字而言，一些数学符号含有更多的

音素(语言中最小的语音单位)，如“lo ”读做“以为底的对数”，

g a N a N ”读做“四的三次方根”。符号所含音素的越多使得符号在长时记忆系统中语音表征缺失或不全，也将使得学生难以或错误地完成数学符号的命名任务。数学教学中，我们可以观察到这种现象。如，要求学生读出一些较为抽象的数学符号时，学生通常会出现一些典型错误。如，将“”读作“log a 为底N 为真数的对数”，将“”读作“limit n 趋向无穷大的极限”。要求大学生读“”时，几乎所有学生不知道怎样读。

log a N lim n n a →∞

n a ∫b

a dx )x (f 数学符号的语音表征的缺失或不全，使得“形、声、义”之间的关系发生变化，如图1所示。其中，实线表示联结强度较强，虚线表示联结强度较弱。这种关系决定了的数学内容的语音信息需要转换为形（即符号）才能提取数学符号的语义表征。数学教师和语文教师板书的差异为这种分析提供了有力的支持。一般而言，数

学教师的板书比语文教师的板书要多得多。可能的原因之

一是，当数学教师用言语来传输数学信息时，学习者需要

将“语音”信息转换成“符号”，然后对这些符号进行认

知操作，因此数学信息通常需要在黑板上写出来，以便学

习者能够及时对其进行加工。但是，使用频率高的语言信息的三种表征形式可以互相转换，无需将其转换成某一种特定的形式，因此高频词及其由它们构成的句子的理解不需要类似上述的特定转换，所以语文教师通常不需要板书。但是当语文教师言语时含有低频词时，语文教师也偶尔板书一下。这就是说，当要理解低频词的意义时，也需要利用它的“字形”来提取其语义表征。

图1 抽象的代数符号在长时记忆系统中的语音表征的缺位或者不全，使得对代数信息的加工需要在大脑中形成数学符号的表象（如果不让书写的话）。虽然不能完全排除语音表征的存在，但是代数符号的表征形式可能更具有视觉空间代码的特征[12]。由于代数认知更加需要视空间特征的表征，所以代数认知能力与语言认知能力分离将会更加明显。Reuhkala(2001)研究为此提供了实验证据。研究结果表明，视觉空间能力（心理旋转和视觉空间工作记忆）与代数运算能力存在显著的相关性，而工作记忆∗的其他成分，句子混合广度与数学能力之间没有显著的相关性。逐步回归分析说明视觉空间工作记忆能力可以较好地解释34%的代数运算能力的差异。这说明，代数运算是在视觉映像（visual imagery ）或视觉空间工作记忆系统的协助下与一些心理模板（mental board ）进行比较的过程。在这个过程中，尽管心算可能需要语言工作记忆的参与，但在代数运算过程中并不起主要作用[13]。

∗工作记忆是一种系统，它为复杂任务（如言语理解、学习和推理）等提供临时的存储空间和加工时所需的信息。该系统由三个子系统组成：语音环路（the phonological loop ）、视觉空间暂存器(the visuo-spatial sketch pad)和中央执行系统（the central executive ）。其中，语音环路存储和复述以语言基础的信息，而视觉空间暂存器存储和加工视觉和空间映像。中央执行系统类似于一个注意控制系统，它与集中注意、计划、行为控制、提取有着密切的关系[14-16]。