组合数学第一章
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• 第一个人可以有6种进站的方式，也就是从6个入口的任意一个站进站， 那么第二个人也可以有6种选择入口的方法，但是假如他和第一个人 选择的入口是相同的话，就有谁在前的情况，所以第二个人就有了7 种进站方案；同理，第三个人进站的话就有8种进站方案，这样算下 去，那么第九个人就有14种进站的方法。 • 根据乘法原理，这9个人的进站方案共有： 6×7×8×...×14=726485720种。
故共有3C(100,3)+100 =485100+1000000=1485100
3
1.2排列与组合
例 某车站有6个入口处，每个入口处每 次只能进一人，一组9个人进站的方案有多 少？
[解]一进站方案表示成：00011001010100 其中“0”表示人，“1”表示门框，其中“0”是 不同元，“1”是相同元。给“1”n个门只用n-1 个门框。任意进站方案可表示成上面14个 元素的一个排列。
1.2排列与组合
[解法1]标号可产生5!个14个元的全排列。 故若设x为所求方案，则 x· 5!=14! ∴x=14!/5!=726485760
1.2排列与组合
[解法2]在14个元的排列中先确定“1” 的位置，有C(14,5)种选择，在确定人 的位置，有9！种选择。 故 C(14,5)· 9! 即所求
组合意义的解释
• 例(杨辉三角) C(n+r+1, r)= C(n+r, r)+C(n+r-1,r-1)+…+C(n+1, 1)+C(n,0)
组合意义的解释
• 例：
C(n, l)C(l, r)=C(n, r)C(n-r, l-r) (l≥r)
组合意义的解释
• 例：C(m+n, r) = C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+…+C(m,r)C(n,0)
n! n1!n2! nk !
多重集的排列
• 例：用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一 根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？ • 解：N=(5!)/(2!3!)=10.
多重集的组合
• 设多重集S= {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}，且对 i=1,2,…k，都有ni≥r，则S的r-组合数为 C(k+r-1, r).
多重集的排列
• 设多重集S= {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}，且对 i=1,2,…k，都有ni≥r，则S的r-排列数为kr.
• 例：求不多于四位的二进制数的个数 • 解：24=16
多重集的排列
• 设多重集S= {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}，且有n=n1+ n2+…+nk，则S的排列数为
• 例如，对n=7, r=3, 有组合 {1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},{1,4,6},{1,4,7},{1,5,7} ,{2,4,6},{2,4,7},{2,5,7},{3,5,7}
不相邻的组合
定理：从A={1,2,…,n}中取r个作不相邻的组合， 其组合数为C(n-r+1, r)。 证明：一一对应法
1.2排列与组合
[解法3]把全部选择分解成若干步，使每步 宜于计算。不妨设9个人编成1至9号。1号 有6种选择；2号除可有1号的所有选择外， 还可（也必须）选择当与1号同一门时在1 号的前面还是后面，故2号有7种选择；3号 的选择方法同2号，故共有8种。 以此类推，9号有14种选择。 9 故所求方案为[6]
第一章
排列与组合
1.1 加法法则与乘法法则
1.1 加法法则与乘法法则
[ 加法法则 ] 设事件A有m种产生方式， 事件B有n种产生方式，则事件A或B之一 有m+n种产生方式。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n 。
1.1 加法法则与乘法法则
其中，r≤min(m,n)
2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019
含1但不含0。 在组合的习题中有许多类似的隐含的 规定，要特别留神。 不含0的1位数有9个，2位数有9 2 个， 3 4 3位数有9 个，4位数有9 个 不含0小于10000的正整数有 2 3 4 5 9+9 +9 +9 =(9 －1)/(9－1)=7380个 含0小于10000的正整数有 9999－7380=2619个
1.2排列与组合
定义 从n个不同的元素中，取r个不重 复的元素，按次序排列，称为从n个中取 r个的无重排列。排列的全体组成的集合 l 用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表 示。当r=n时称为全排列。一般不说可重 即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
1.2排列与组合
[ 例 ] 北京每天直达上海的客车有 5 次，客 机有 3 次， 则每天由北京直达上海的旅行 方式有 5 + 3 = 8 种。
1.1 加法法则与乘法法则
[ 乘法法则 ] 设事件A有m种产生式， 事件B有n种产生方式，则事件A与B有 m· n种产生方式。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m · 。 n
1.2 一一对应
• 例 (Cayley定理) n个有标号的顶点的树 n-2 的数目等于n 。
1.2 一一对应
例 给定一棵有标号的树
边上的标号表示摘去叶 ⑦ ⑥ | 4| 的顺序。(摘去一个叶子 1 2 5 3 ②—③—①—⑤—④ 相应去掉一条边)
逐个摘去标号最小的叶子，叶子的相邻 顶点(不是叶子，是内点)形成一个序列， 序列的长度为n-2
1.3 Stirling近似公式
• 组合计数的渐进值问题是组合论的 一个研究方向。
• Stirling公式给出一个求n!的近似 公式，它对从事计算和理论分析 都是有意义的。
定义从n个不同元素中取r个不重复的元素 组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组 合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，···，第r个有n··· r+1种选择。 故有
1.2排列与组合
例 从[1,300]中取3个不同的数，使这 3个数的和能被3整除，有多少种方案？ 解 将[1,300]分成3类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种解法： 1)3个数同属于A;2)3个数同属于B 3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.
•
圆周排列
• 在一圆周上讨论排列问题，即将一排列排 到一圆周上，称之为圆周排列问题。
• n个元素的r圆周排列方案数： Q(n,r)=P(n,r)/r
圆周排列
• 例 5个男生，3个女生围一桌而坐，若要求 男生B1不和女生G1相邻而坐，有多少种方 案？若要求女生不相邻，又有多少种方案？
圆周排列
• 例 有12对夫妻平分为两桌，围圆桌而坐， 问共有几种方案？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
排列与组合
定义从n个不同元素中取r个不重复的元素 组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示，
排列组合举例
• 例 把八位同学分成四组，每组两人，有多 少种方案？
排列组合举例
• 例 某车站有6个入口处，每个入口处每次只 能进一人，一组9个人进站的方案有多少？
n! n ——— C(n,r)=P(n,r)/r!=[n]r/r!=( r )= r!(n-r)!
易见 P(n,r)=nr
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解
1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 5+7+10 3) 155+76=231=( 2 )
第一次摘掉②，③为②相邻的顶点， 以此类推，得到序列31551,长度为7－2 = 5 得到序列的第一个数3 这是由树形成序列的过程。
排列与组合
定义 从n个不同的元素中，取r个不重 复的元素，按次序排列，称为从n个中取 r个的无重排列。排列的个数用P(n,r)表 示。当r=n时称为全排列。一般不说可重 即无重。
售票问题
• 某场电影的票价为50元，如果某窗口排队 的购票者中，分别有n和m位手持50元和 100元面值。问该窗口能正常完成售票（即 不出现没钱找零的情形）的概率是多少？
多重集的排列
• 多重集是元素可多次出现的集合，通常把 含有k中不同元素的多重集S记作 {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}
线性方程整数解的个数问题
• 已知线性方程x1+x2+…+xn=b，n和b都是整 数，求此方程的非负整数解的个数。
• 定理：上述方程非负整数解的个数为 C(n+b-1，b)
组合意义的解释
• 例：从(0,0)到(m,n)的最短路径的数量。
• 例：C(n, r) = C(n, n-r) • 例：C(n, r) = C(n-1, r)+C(n-1, r-1)
P(n,r)=n(n-1)···(n-r+1) ··· 有时也用[n]r记n(n-1)···(n-r+1) ···
1.2排列与组合
若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个 的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标 号区别，则又回到排列模型。每一个组合 可有r!个标号方案。 故有 C(n,r)· r!=P(n,r),
钥 匙 １２３４５６ √√√ √√√ √ √√ √ √ √
A 人 B C D
1.2 一一对应
• 例 在100名选手之间进行淘汰赛(即一 场的比赛结果，失败者退出比赛),最后产 生一名冠军，问要举行几场比赛？ • 解 一种常见的思路是按轮计场，费事。 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计) 集一一对应。99场比赛。
1.1 加法法则与乘法法则
例 n=73×112×134，求除尽n的整数个数。
1.1 应用举例
• 例 某保密装置须同时使用若干把不同 的钥匙才能打开。现有７人，每人持若 干钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开 锁。问①至少有多少把不同的钥匙？② 每人至少持几把钥匙？ • 解 ①每３人至少缺１把钥匙，且每３人 7 所缺钥匙不同。故至少共有( 3 )=35把不 同的钥匙。
1.1 加法法则与乘法法则
[例] 某种字符串由两个字符组成，第一个 字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符 可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5 3 = 15 个。 [例] 从A到B有三条道路，从B到C有两条 道路，则从A经B到C有32=6 条道路。
1.1 加法法则与乘法法则
• 例 某种样式的运动服的着色由底色和装 饰条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、 橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有42 = 8种着色方案。 • 若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、 黄四种颜色的话，则，方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。[要注意 题目中隐含的条件或约束] • 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的 相互独立性。
1.1应用举例
• 任一人对于其他６人中的每３人，都至 少有１把钥匙与之相配才能开锁。故每 人至少持( ６ )＝20把不同的钥匙。 ３ • 为加深理解，举一个较简单的例子： ４ ４人中３人到场，所求如上。共有( ２ )=6 ３ 把不同的钥匙。每人有( ２ )=3把钥匙。 （见下页图）
1.1应用举例
• 证明：一一对应法
多重集的组合
• 例：试问(x+y+z)4有多少项？
• 解： (x+y+z)4 =(x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) 相当于多重集{4•x, 4•y 4•z}的4-组合， 于是 N=C(3+4-1, 4)=15.
不相邻的组合
• 所谓不相邻的组合，是指从A={1,2,…,n}取r 个不相邻的数的组合，即不存在含有相邻 两个数j和j+1的组合。
故共有3C(100,3)+100 =485100+1000000=1485100
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1.2排列与组合
例 某车站有6个入口处，每个入口处每 次只能进一人，一组9个人进站的方案有多 少？
[解]一进站方案表示成：00011001010100 其中“0”表示人，“1”表示门框，其中“0”是 不同元，“1”是相同元。给“1”n个门只用n-1 个门框。任意进站方案可表示成上面14个 元素的一个排列。
1.2排列与组合
[解法1]标号可产生5!个14个元的全排列。 故若设x为所求方案，则 x· 5!=14! ∴x=14!/5!=726485760
1.2排列与组合
[解法2]在14个元的排列中先确定“1” 的位置，有C(14,5)种选择，在确定人 的位置，有9！种选择。 故 C(14,5)· 9! 即所求
组合意义的解释
• 例(杨辉三角) C(n+r+1, r)= C(n+r, r)+C(n+r-1,r-1)+…+C(n+1, 1)+C(n,0)
组合意义的解释
• 例：
C(n, l)C(l, r)=C(n, r)C(n-r, l-r) (l≥r)
组合意义的解释
• 例：C(m+n, r) = C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+…+C(m,r)C(n,0)
n! n1!n2! nk !
多重集的排列
• 例：用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一 根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？ • 解：N=(5!)/(2!3!)=10.
多重集的组合
• 设多重集S= {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}，且对 i=1,2,…k，都有ni≥r，则S的r-组合数为 C(k+r-1, r).
多重集的排列
• 设多重集S= {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}，且对 i=1,2,…k，都有ni≥r，则S的r-排列数为kr.
• 例：求不多于四位的二进制数的个数 • 解：24=16
多重集的排列
• 设多重集S= {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}，且有n=n1+ n2+…+nk，则S的排列数为
• 例如，对n=7, r=3, 有组合 {1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},{1,4,6},{1,4,7},{1,5,7} ,{2,4,6},{2,4,7},{2,5,7},{3,5,7}
不相邻的组合
定理：从A={1,2,…,n}中取r个作不相邻的组合， 其组合数为C(n-r+1, r)。 证明：一一对应法
1.2排列与组合
[解法3]把全部选择分解成若干步，使每步 宜于计算。不妨设9个人编成1至9号。1号 有6种选择；2号除可有1号的所有选择外， 还可（也必须）选择当与1号同一门时在1 号的前面还是后面，故2号有7种选择；3号 的选择方法同2号，故共有8种。 以此类推，9号有14种选择。 9 故所求方案为[6]
第一章
排列与组合
1.1 加法法则与乘法法则
1.1 加法法则与乘法法则
[ 加法法则 ] 设事件A有m种产生方式， 事件B有n种产生方式，则事件A或B之一 有m+n种产生方式。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n 。
1.1 加法法则与乘法法则
其中，r≤min(m,n)
2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019
含1但不含0。 在组合的习题中有许多类似的隐含的 规定，要特别留神。 不含0的1位数有9个，2位数有9 2 个， 3 4 3位数有9 个，4位数有9 个 不含0小于10000的正整数有 2 3 4 5 9+9 +9 +9 =(9 －1)/(9－1)=7380个 含0小于10000的正整数有 9999－7380=2619个
1.2排列与组合
定义 从n个不同的元素中，取r个不重 复的元素，按次序排列，称为从n个中取 r个的无重排列。排列的全体组成的集合 l 用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表 示。当r=n时称为全排列。一般不说可重 即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
1.2排列与组合
[ 例 ] 北京每天直达上海的客车有 5 次，客 机有 3 次， 则每天由北京直达上海的旅行 方式有 5 + 3 = 8 种。
1.1 加法法则与乘法法则
[ 乘法法则 ] 设事件A有m种产生式， 事件B有n种产生方式，则事件A与B有 m· n种产生方式。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m · 。 n
1.2 一一对应
• 例 (Cayley定理) n个有标号的顶点的树 n-2 的数目等于n 。
1.2 一一对应
例 给定一棵有标号的树
边上的标号表示摘去叶 ⑦ ⑥ | 4| 的顺序。(摘去一个叶子 1 2 5 3 ②—③—①—⑤—④ 相应去掉一条边)
逐个摘去标号最小的叶子，叶子的相邻 顶点(不是叶子，是内点)形成一个序列， 序列的长度为n-2
1.3 Stirling近似公式
• 组合计数的渐进值问题是组合论的 一个研究方向。
• Stirling公式给出一个求n!的近似 公式，它对从事计算和理论分析 都是有意义的。
定义从n个不同元素中取r个不重复的元素 组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组 合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，···，第r个有n··· r+1种选择。 故有
1.2排列与组合
例 从[1,300]中取3个不同的数，使这 3个数的和能被3整除，有多少种方案？ 解 将[1,300]分成3类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种解法： 1)3个数同属于A;2)3个数同属于B 3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.
•
圆周排列
• 在一圆周上讨论排列问题，即将一排列排 到一圆周上，称之为圆周排列问题。
• n个元素的r圆周排列方案数： Q(n,r)=P(n,r)/r
圆周排列
• 例 5个男生，3个女生围一桌而坐，若要求 男生B1不和女生G1相邻而坐，有多少种方 案？若要求女生不相邻，又有多少种方案？
圆周排列
• 例 有12对夫妻平分为两桌，围圆桌而坐， 问共有几种方案？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
排列与组合
定义从n个不同元素中取r个不重复的元素 组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示，
排列组合举例
• 例 把八位同学分成四组，每组两人，有多 少种方案？
排列组合举例
• 例 某车站有6个入口处，每个入口处每次只 能进一人，一组9个人进站的方案有多少？
n! n ——— C(n,r)=P(n,r)/r!=[n]r/r!=( r )= r!(n-r)!
易见 P(n,r)=nr
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解
1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 5+7+10 3) 155+76=231=( 2 )
第一次摘掉②，③为②相邻的顶点， 以此类推，得到序列31551,长度为7－2 = 5 得到序列的第一个数3 这是由树形成序列的过程。
排列与组合
定义 从n个不同的元素中，取r个不重 复的元素，按次序排列，称为从n个中取 r个的无重排列。排列的个数用P(n,r)表 示。当r=n时称为全排列。一般不说可重 即无重。
售票问题
• 某场电影的票价为50元，如果某窗口排队 的购票者中，分别有n和m位手持50元和 100元面值。问该窗口能正常完成售票（即 不出现没钱找零的情形）的概率是多少？
多重集的排列
• 多重集是元素可多次出现的集合，通常把 含有k中不同元素的多重集S记作 {n1•a1, n2•a2, … ,nk•ak}
线性方程整数解的个数问题
• 已知线性方程x1+x2+…+xn=b，n和b都是整 数，求此方程的非负整数解的个数。
• 定理：上述方程非负整数解的个数为 C(n+b-1，b)
组合意义的解释
• 例：从(0,0)到(m,n)的最短路径的数量。
• 例：C(n, r) = C(n, n-r) • 例：C(n, r) = C(n-1, r)+C(n-1, r-1)
P(n,r)=n(n-1)···(n-r+1) ··· 有时也用[n]r记n(n-1)···(n-r+1) ···
1.2排列与组合
若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个 的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标 号区别，则又回到排列模型。每一个组合 可有r!个标号方案。 故有 C(n,r)· r!=P(n,r),
钥 匙 １２３４５６ √√√ √√√ √ √√ √ √ √
A 人 B C D
1.2 一一对应
• 例 在100名选手之间进行淘汰赛(即一 场的比赛结果，失败者退出比赛),最后产 生一名冠军，问要举行几场比赛？ • 解 一种常见的思路是按轮计场，费事。 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计) 集一一对应。99场比赛。
1.1 加法法则与乘法法则
例 n=73×112×134，求除尽n的整数个数。
1.1 应用举例
• 例 某保密装置须同时使用若干把不同 的钥匙才能打开。现有７人，每人持若 干钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开 锁。问①至少有多少把不同的钥匙？② 每人至少持几把钥匙？ • 解 ①每３人至少缺１把钥匙，且每３人 7 所缺钥匙不同。故至少共有( 3 )=35把不 同的钥匙。
1.1 加法法则与乘法法则
[例] 某种字符串由两个字符组成，第一个 字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符 可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5 3 = 15 个。 [例] 从A到B有三条道路，从B到C有两条 道路，则从A经B到C有32=6 条道路。
1.1 加法法则与乘法法则
• 例 某种样式的运动服的着色由底色和装 饰条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、 橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有42 = 8种着色方案。 • 若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、 黄四种颜色的话，则，方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。[要注意 题目中隐含的条件或约束] • 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的 相互独立性。
1.1应用举例
• 任一人对于其他６人中的每３人，都至 少有１把钥匙与之相配才能开锁。故每 人至少持( ６ )＝20把不同的钥匙。 ３ • 为加深理解，举一个较简单的例子： ４ ４人中３人到场，所求如上。共有( ２ )=6 ３ 把不同的钥匙。每人有( ２ )=3把钥匙。 （见下页图）
1.1应用举例
• 证明：一一对应法
多重集的组合
• 例：试问(x+y+z)4有多少项？
• 解： (x+y+z)4 =(x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) 相当于多重集{4•x, 4•y 4•z}的4-组合， 于是 N=C(3+4-1, 4)=15.
不相邻的组合
• 所谓不相邻的组合，是指从A={1,2,…,n}取r 个不相邻的数的组合，即不存在含有相邻 两个数j和j+1的组合。