范德蒙行列式介绍

a 3 1
(a 4)3 (a 4)2
? a 4
1
1 a 1 D (a 1)2 (a 1)3
1 a 2 (a 2)2 (a 2)3
1 a 3 (a 3)2 (a 3)3
1 a 4 (a 4)2 (a 4)3
1 a 4 (a 4)2 (a 4)3
1 a 3 (a 3)2 (a 3)3
11 1 1
12 4 8
21 D
41
3 9
4 16
D1 1 13
1 9
1 ? 27
12
8 1 27 64
1 4 16 64
(1 2)(3 2)(4 2)(3 1)(4 1)(4 3) 12
(a 1)3 (a 1)2 D a 1
1
(a 2)3 (a 2)2 a 2
1
(a 3)3 (a 3)2
1 a 2 (a 2)2 (a 2)3
1 a 1 (a 1)2 (a 1)3
3!2!1!12
练习
an an1 Dn1
1
(a 1)n (a 1)n1
a 1
1
(a n)n (a n)n1
a ? a n
1
a3
a
n 2
3
a
n 3
3
a2n2
an2 3
(a2
a1)(a3
a1)(an
a1)
2
jin
(ai
aj )
an
a
n n
3
an2 n
(ai aj ) 1 jin
对于范德蒙行列式,我们的任务就是 利用它计算行列式,因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果.
你能识别出范德蒙行列式吗？ 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？
共n(n-1)/2项的 乘积.
归纳法证明。
当k
2时 , D 2
1 a1
1 a2
a2
a1
1
ji2
(ai
aj
)
设k n 1时公式成立,即: 1 11
Dn1
a1
a n2 1
பைடு நூலகம்
a2
an2 2
an1
1 jin1(ai a j )
an2 n1
下证k n时成立.
第i 1行乘以 a1加到第i行上,从最后一行开始,
范德蒙行列式
1 1 11
按升幂排列,幂指 数成等差数列.
a1 a2 a3 an
Dn
a2 1
a2 2
a2 a2
(ai aj )
3
n
1 jin
an1 an1 an1 an1
1
2
3
n
结果可正可负 可为零.
(a2 a1)(a3 a1)(an a1) (a3 a2 )(an a2 ) (an an1)
1 11 1
1
1
a1 Dn
an2 1
a n1 1
a2
an2 2
an1 2
an 0
an2 0 n
an1 0 n
a2 a1
an a1
an2 a an3 an2 a an3
2
12
n
1n
an1 a an2 an1 a an2
2
12
n
1n
1
1 1
a2 (a2 a1)(a3 a1)(an a1)