圆锥曲线问题的三个易错点

圆锥曲线问题的三个易错点

解决圆锥曲线的有关问题是高考的重要内容之一，在平时的学习中只有加深对概念、公式和方法的理解，才能自觉地辨析正误，增强了防错的能力，提高解题的效率.现举例供大

家参考.

易错点一：忽视定义中的隐含条件致误

例1.已知动点(,)P x y

满足|3411|x y =+-，则点P 的轨迹是（ ）.

A.直线

B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆

错解辨析：

由已知条件|3411|x y =+-

可得15=表示(,)P x y 到定点为（1,2）的距离等于到直线3411x y +-＝0的距离，故表示抛物线，选B.

策略：以上解法利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上，故正确选项应为A.我们在利用圆锥曲线的统一定义解题时，一定要避免忽视定义中的隐含条件致误.

易错点二：忽视直线存在性的检验致误

例2.已知双曲线2

2

12y x -=,过(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？

错解辨析：设能作直线l 满足条件，设A （11y x ，），B （22y x ，），则有22

11

12y x -=，22

2212y x -=，化简得()212121212y y x x x x y y ++=--，P AB 的中点为 （1，1）222121=+=+∴y y x x ，，，得1212

2AB y y k x x -==-，直线l 的方程为12(1)y x -=-，即存在直线l ，其方程为12-=x y .以上解法忽视了对直线l 的存在性的检验，把直线12-=x y 代入双曲线方程中得03422=+-x x ，其判别式()032442

<⨯⨯--=∆，即直线与双曲线无公共点，不存在直线满足条件.

策略:在解决有关直线与圆锥曲线的问题时，一定要注意验证判别式∆，初学者往往会因为先入为主，求出直线的方程不去检验而导致解题错误，真可谓功亏一篑！

易错点三：忽视曲线的范围致误

例3已知1F 、2F 是双曲线20

162

2y x -=1的左、右焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离.

错解辨析：双曲线的实轴长为8，由12||||||8PF PF =－

，即2|9||8PF =－，得2||1,PF =或17.上述解法忽视了圆锥曲线(双曲线)的范围，由4,6a c ==,故2||2PF c a ≥-=,因此2||1PF =不合题意,故2||17PF =.

策略:把以上问题一般化，设双曲线)0,0( 122

22>>=-b a b

y a x ，21,F F 是其左右焦点，由10||PF a ex =+，20||PF a ex =-，又注意到0x a ≥或0x a ≤-,故00,a ex a c a ex a c -≥+-≤-,得2||PF c a ≥-.我们在解决有关圆锥曲线（或二元二次方程）有关的问题时，一定要注意x ,y 的取值范围，往往会因为忽视曲线的范围不自觉地导致解题错误.