2021届优化设计理科数学——专题提能课5：解析几何中热点问题的突破策略

专题提能课|解析几何中热点问题的突破策略
授课提示：对应学生用书第172页
中点弦问题、弦长问题，切线问题．问题情境往往比较直接，少有弯路，求解时以常规方法为主，但在解法上，可进一步创新． 类型一 中点弦问题
[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，AB 为
椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k ＞0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB 的斜率为k 1，点P 的坐标为(1，3
2)．
(1)求椭圆C 的方程； (2)求证：k 1k 为定值． 解析：(1)由题意知
⎩⎨⎧ 1a 2＋94b 2
＝1，c a ＝12，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝3，
c ＝1，
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)证明：设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点，所以x 214＋y 2
1
3＝1，
x 22
4＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3
， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)
＝－3x 04y 0.又k ＝y 0x 0，故k 1k ＝－34，为定值．
[方法总结] 本题第(2)问的实质是中点弦问题，其中蕴含了圆锥曲线的经典结论：记椭圆x 2
a 2
＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则有k OM ·k AB ＝－b 2
a 2(焦点在y 轴上的椭圆略有不同，留给大家自己推导)．类似地，在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)中有k OM ·k AB
＝b 2
a
2，在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中有k AB ·y 0＝p .以上结论均可使用点差法进行证明，熟记以上
结论，解与中点弦有关的客观题时，可以起到事半功倍的效果． [对点全练]
已知直线l 1(斜率存在)与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，且AB 中点M 的
横坐标为b ，过点M 且与直线l 1垂直的直线l 2过双曲线C 的右焦点，求双曲线C 的离心率． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (b ，y M )，直线l 1的斜率为k ，将A ，B 的坐标代入双曲线方程，作差整理可得1a 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝1b 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，则k ＝b 3a 2y M
.
又两直线垂直，所以k ＝b 3a 2y M ＝c －b
y M ，化简得a 2＝bc ，即a 4＝(c 2－a 2)c 2，所以e 4－e 2－1＝0，
得e ＝
1＋5
2
. 类型二 切线问题的求解策略
[典例2] 设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2
4上两点，点A 与点B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．
解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＝x 214，y 2＝x 22
4
，x 1＋x 2＝4，
故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 2
4＝1.
(2)设M (x M ，x 2M 4)，则曲线C 在点M 处的切线方程为y －x 2M
4＝x －x M ，
即y ＝x －x M ＋x 2M 4，与y ＝x 24联立，得x 24－x ＋x M －x 2M
4
＝0，
则Δ＝1－4×14(x M －x 2M 4)＝1－x M ＋x 2M
4
＝0，可得x M ＝2，所以M (2,1)．
设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，则线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.
将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2
4，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，x 1＝2＋2m ＋1，
x 2＝2－2m ＋1，从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.
[方法总结] 除了运用Δ判断直线与圆锥曲线的位置关系外，还可以用求导的方法判断直线与圆锥曲线的位置关系，比如已知斜率为k 的直线l 与抛物线y ＝12p x 2(p ＞0)交于点A (x 0，y 0)，
通过计算抛物线在点A 处的导数f ′(x 0)，结合图形，可知当f ′(x 0)≠k 时，直线l 与抛物线相交，
当f ′(x 0)＝k 时，直线l 与抛物线相切． [对点全练]
(2019·成都一诊)从抛物线x 2＝4y 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线P A ，PB ，且A 、B 为切点，若直线AB 的倾斜角为π
6，则P 点的横坐标为________．
解析：设P (x 0，－1)，则直线AB 的方程为x 0x ＝4·y －12，即y ＝x 0
2x ＋1.
又直线AB 的倾斜角为π6，所以x 02＝3
3，
所以x 0＝23
3.
答案：233
类型三 巧用几何条件转化求解
直线与圆锥曲线位置关系的研究方法相对固定，但其中往往含有丰富的几何性质，若能寻找到题目中隐藏的几何关系，根据其特点选好切入点，就能将条件中的代数关系进行合适的几何转化，从而找到运算量最小的解决方案，使解题难度大大降低．
[典例3] (2019·大庆模拟)斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线
离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3)
D ．(3，＋∞)
解析：结合双曲线的图像分析易知，当直线斜率小于渐近线的斜率时，直线与双曲线恒有两个交点，则2＜b
a ，
所以c ＝a 2＋b 2＞3a ，故e ＞ 3.选D.
答案：D
[方法总结] 本题表面上看是考查直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程保证Δ恒大于0来求解，但实际上，更加便捷的方法是利用直线的斜率为2与双曲线的渐近线斜率的关系求解．
注意双曲线的渐近线是其区别于其他两种圆锥曲线的个性化特征，能直接决定其几何“形象”，对于直线与双曲线的位置关系问题，渐近线往往是解决问题的重要的突破口，狠抓这点，很多问题即可得到简化．
如：(1)已知双曲线x 2－my 2＝1(m ＞0)的右顶点为A ，而B ，C 是双曲线右支上的两点，若△ABC 为正三角形，求m 的取值范围．
(2)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右两支上各存在两个点A 、B 和C 、D ，且四边形ABCD 为正方
形，求离心率e 的取值范围．
以上两题只要抓住正三角形、正方形的几何特征，就可全部转化为双曲线与已知斜率的直线有两个交点的问题，再进一步转化为直线斜率与渐近线斜率的关系问题，对于其具体解法此处不再赘述． [对点全练]
已知一个椭圆的两个焦点分别为F 1(－5,0)和F 2(5,0)，且与直线x ＋y －6＝0相切，则该椭圆的长轴长为________．
解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆与直线x ＋y －6＝0相切于P 点，则|PF 1|＋|PF 2|
＝2a .在直线x ＋y －6＝0上任取异于点P 的点Q ，均有|QF 1|＋|QF 2|＞2a ，可知点P 是直线x ＋y －6＝0上到两定点F 1，F 2的距离之和最小的点．若F 1(－5,0)关于直线x ＋y －6＝0对称的点为F 1′，则F 1′，P ，F 2三点在同一直线上，易得F 1′(6,11)，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1′|＋|PF 2|＝|F 1′F 2|＝122.即该椭圆的长轴长为122. 答案：122
(二)减少解析几何运算量的4个策略
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步，特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方向．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程． 策略一 巧用定义、优化过程
定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上． [典例4] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，
C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A.2 B ．3 C.32
D.6
2
D 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪
⎧
|AF 1
|＋|AF 2
|＝4，|AF 2|－|AF 1
|＝2a ，
|AF 1
|2
＋|AF 2|2
＝12，
解得a 2＝2，
故a ＝2，所以双曲线C 2的离心率 e ＝
32＝62
. [方法总结] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [对点全练]
抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF |
|P A |的最
小值为________．
解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2
＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2
(x P ＋m )2＋4mx P
＝
11＋4mx P (x P ＋m )2
≥11＋
4mx P (2x P ·m )2＝1
2(当且仅当x P
＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为2
2.
答案：
2
2
策略二 巧用根与系数的关系、化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两
根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
[典例5] 已知椭圆x 24＋y 2
＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，
N 两点．
(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；
(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
解析：(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.
解得x 1＝－2，x 2＝－6
5，
所以M ⎝⎛⎭
⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，
x 24＋y 2
＝1，
化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 2
1＋4k 2
，
x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k
2
1＋4k 2
.
同理，可得x N ＝2k 2－8
k 2＋4.
由(1)知若存在定点， 则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－6
5，0. 证明如下：
因为k MP ＝y M x M ＋65
＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2－8k 21＋4k 2
＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k
4－4k 2， 同理可计算得k PN ＝
5k
4－4k
2
.
所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭
⎫－6
5，0. [方法总结] 本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 2
1＋4k 2，这体现了整体思
路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量． [对点全练]
已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆C 的右顶点A 的两条斜率之积为－1
4的直线分别与椭圆交于
点M ，N .
问：直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过定点，请说明理由． 解析：根据已知直线AM ，AN 的斜率存在且不为零，A (2,0)．设AM ：y ＝k (x －2)， 代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0， 设M (x 1，y 1)，则2x 1＝16k 2－4
1＋4k 2，
即x 1＝8k 2－21＋4k 2，y 1＝k (x 1
－2)＝－4k
1＋4k 2
， 即M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2. 设直线AN 的斜率为k ′，则kk ′＝－1
4，
即k ′＝－1
4k
，
把点M 坐标中的k 替换为－1
4k
，
得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－8k 24k 2＋1，4k 4k 2＋1.
当M ，N 的横坐标不相等，即k ≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k
4k 2＋1
＝
2k 1－4k 2·⎝
⎛⎭⎪⎫x －2－8k 2
4k 2＋1，即y ＝2k
1－4k 2
x ， 该直线恒过定点(0,0)，当k ＝±1
2时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点(0,0)．
综上可知，直线MN 过定点D (0,0)． 策略三 借助曲线系理清规律
利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．
[典例6] 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在
抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2
108＝1 B.x 29－y 2
27＝1 C.x 2108－y 2
36
＝1 D.x 227－y 2
9
＝1 解析：由双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为
x 2－
y 2
3
＝λ(λ＞0)． 因为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是
双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 2
27＝1.
答案：B
[方法总结] 本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍． [对点全练]
圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )
A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0
B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0
C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0
D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0
解析：设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即x 2＋y 2＋
61＋λx ＋6λ
1＋λy －4＋28λ1＋λ
＝0， 其圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－31＋λ，－3λ1＋λ， 又圆心在直线x －y －4＝0上， 所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，
解得λ＝－7，故所求圆的方程为
x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 答案：A
策略四 巧引参数方程运算
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，事半功倍． 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．
[典例7] 设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B
两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.
证明：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b
2sin θ. |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k AQ ＝
b sin θ
2a ＋a cos θ
，
即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ . 从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a
1＋k 2AQ ，
解得|k AQ |＜33
， 故|k |＝
1
|k AQ |
＞ 3. [方法总结] 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点全练]
(2019·长春质检)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且离心率为1
2，点P
为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3. (1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2→·QF 2→
是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
解析：(1)已知椭圆的离心率为1
2，
不妨设c ＝t ，a ＝2t ，
则b ＝3t ，其中t ＞0，
当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点，因此1
2·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，
则椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，
可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＋y 2＝－6m
4＋3m 2，①
y 1y 2＝
－9
4＋3m 2，②
直线AA 1的方程为y ＝y 1
x 1＋2(x ＋2)，
直线BA 1的方程为y ＝y 2
x 2＋2
(x ＋2)，
则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，6y 2x 2＋2，
F 2R →＝⎝
⎛⎭⎪⎫3，6y 1x 1
＋2，F 2Q →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫3，6y 2x 2
＋2，
则F 2R →·F 2Q →＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2
m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9，将①②两式代
入上式，整理得F 2R →·F 2Q →＝0，即F 2R →·F 2Q →
为定值0.。