第十章_弹性力学的能量原理
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Wc=ijij为全微分
——逆弹性关系
且W+Wc=ijij
当材料为线弹性时
但 ,
在各向同性线性材料，应力——应变关系
——徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－3）
如在将几何关系引入上式
U=U(ui)应变能是位移的函数徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－5）
代入Uc表达式
徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－1）
1．弹性体的总势能
定义：(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui(k))=(k)(ui(k))
（1） 和 给定;
（2）已将几何关系引入ij=(ui,j+uj,i)/2 ;
（3）ui(k)为可能位移： 在su上;
（4）在各向同性线性材料应变能U的表达式为徐芝纶（上册）P.345（11－5）式。
2．由(k)中寻求真实位移
弹性体（变形体）的应变与位移处于相容状态，对于任意虚设的齐次容许应力ij及位移边界上的虚反力Xi，虚应力在应变上做的虚功等于虚反力在给定位移 上做的虚功。
5.2最小余能原理
1．变形体的总余能c(k)
已知变形体在体力fi、面力 作用及在位移边界上有给定位移 。
定义：由可能应力状态ij(k)表示
c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))——变形的总余能
而Xi(k)=njij(k)在su上（位移边界上的反力）
——应变余能
——边界位移的余能
第十章弹性力学的能量原理
弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系——静力法。在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建立弹性力学求解方程——能量法（从数学意义上说也可认为变分法）。本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。
第二状态：让一对力Q作用同一杆两端点，很易求得一对力Q引起杆横向缩短。
对两种状态应用功的互等定理P=Q
Q第二状态引起的易求：
,
第四节虚位移原理和最小势能原理
4.1虚位移原理
运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡的状态，ij、fi、 、 ;而第二状态为可能变形状态，为真实状态位移的变分:
ui、ij=(ui,j+uj,i)/2在V内
在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。
第一节几个基本概念和术语
1.1应变能U和应变余能Uc：
应变能U在第四章中已定义过：
应变能密度
——弹性关系
如果将几何关系引入应变能,U、W为位移的函数。源自文库
应变余能（类似应变能）定义
应变余能密度 ——单位体积的应变余能
Wc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。
1.2可能位移ui(k)和可能应变ij(k)：
可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在su上满足 。
可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的
1.3可能应力ij(k)：
可能应力ij(k)：在V内满足ij,j(k)+fi=0
在s上满足 满足静力方程
1.4虚位移ui和虚应变ij：
两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移ui，而由两种可能位移状态对应的可能应变ij(k1)、ij(k2)之差
ui=0在su上虚设状态
根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上做功
弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功——虚位移方程。将虚位移方程重新改写
代入原虚位移方程
虚位移方程为平衡方程和力的边界条件的积分形式。
4.2最小势能原理
虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。
第三节功的互等定理
将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。
第一种状态： 、 、 、 、 、 满足所有方程。
第二种状态： 、 、 、 、 、 满足所有方程。
根据虚功方程
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上做功
ij=(ui,j+uj,i)/2在V内
ui=0在su上齐次位移边界条件。
1.5虚应力ij：
ij=ij(k1)-ij(k2)；在V内：ij,j= 0；
在s上:njij= 0；满足齐次静力方程。
第二节虚功方程
2.1虚功方程
在给定体力、面力和约束情况下，
如果找到两种状态:
第一种状态：在给定的体力fi和面力 ，已知（找到）可能应力状态ij(k1)，在V内：ij(k1)+fi=0;在s=s:
第五节虚应力原理和最小余能原理
5.1虚应力原理
1．虚应力方程
运用虚功原理，但第一种状态为真实变形状态，ui和ij、fi、 、 ;
第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应力的变分）ij；
满足：ij,j= 0在V内
njij= 0在s上（在s上无面力）
ij在su上产生Xi（在su上有反力）
根据虚功方程
2．虚应力方程表达
ui(k)为可能位移,有无穷多。因此，与其对应的势能(k)也有无穷多。
要从(k)中找真实位移：
（1）=0
（2）引入本构关系真实位移应满足的方程。
取=0，得
——虚位移方程
或
ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而=0，表明由ui(k)导出ij(k)满足静力方程，所以由=0即为真解应满足的控制方程。
最小势能原理的表述：在位移满足几何方程和位移边界条件的前提下，如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条件，则该位移必使势能为驻值（极值）。如可能位移使的变分=0，则该位移相应应力必满足静力方程。=0等价与静力方程。
第二种状态：弹性体处于可能变形状态ui(k2)、ij(k2);
在s=su: ;
则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。——虚功原理
2.2虚功方程的证明：
代入虚功方程左端，得
并注意 ，则We=Wi
虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。
第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功
对于线弹性体本构关系
W12=W21
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上所做的功。
功的互等定理优点：可以避免求解物体内的应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。
第一：一对力P作用在直杆的垂直方向，局部效应，在两端点伸长？
——逆弹性关系
且W+Wc=ijij
当材料为线弹性时
但 ,
在各向同性线性材料，应力——应变关系
——徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－3）
如在将几何关系引入上式
U=U(ui)应变能是位移的函数徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－5）
代入Uc表达式
徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－1）
1．弹性体的总势能
定义：(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui(k))=(k)(ui(k))
（1） 和 给定;
（2）已将几何关系引入ij=(ui,j+uj,i)/2 ;
（3）ui(k)为可能位移： 在su上;
（4）在各向同性线性材料应变能U的表达式为徐芝纶（上册）P.345（11－5）式。
2．由(k)中寻求真实位移
弹性体（变形体）的应变与位移处于相容状态，对于任意虚设的齐次容许应力ij及位移边界上的虚反力Xi，虚应力在应变上做的虚功等于虚反力在给定位移 上做的虚功。
5.2最小余能原理
1．变形体的总余能c(k)
已知变形体在体力fi、面力 作用及在位移边界上有给定位移 。
定义：由可能应力状态ij(k)表示
c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))——变形的总余能
而Xi(k)=njij(k)在su上（位移边界上的反力）
——应变余能
——边界位移的余能
第十章弹性力学的能量原理
弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系——静力法。在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建立弹性力学求解方程——能量法（从数学意义上说也可认为变分法）。本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。
第二状态：让一对力Q作用同一杆两端点，很易求得一对力Q引起杆横向缩短。
对两种状态应用功的互等定理P=Q
Q第二状态引起的易求：
,
第四节虚位移原理和最小势能原理
4.1虚位移原理
运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡的状态，ij、fi、 、 ;而第二状态为可能变形状态，为真实状态位移的变分:
ui、ij=(ui,j+uj,i)/2在V内
在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。
第一节几个基本概念和术语
1.1应变能U和应变余能Uc：
应变能U在第四章中已定义过：
应变能密度
——弹性关系
如果将几何关系引入应变能,U、W为位移的函数。源自文库
应变余能（类似应变能）定义
应变余能密度 ——单位体积的应变余能
Wc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。
1.2可能位移ui(k)和可能应变ij(k)：
可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在su上满足 。
可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的
1.3可能应力ij(k)：
可能应力ij(k)：在V内满足ij,j(k)+fi=0
在s上满足 满足静力方程
1.4虚位移ui和虚应变ij：
两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移ui，而由两种可能位移状态对应的可能应变ij(k1)、ij(k2)之差
ui=0在su上虚设状态
根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上做功
弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功——虚位移方程。将虚位移方程重新改写
代入原虚位移方程
虚位移方程为平衡方程和力的边界条件的积分形式。
4.2最小势能原理
虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。
第三节功的互等定理
将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。
第一种状态： 、 、 、 、 、 满足所有方程。
第二种状态： 、 、 、 、 、 满足所有方程。
根据虚功方程
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上做功
ij=(ui,j+uj,i)/2在V内
ui=0在su上齐次位移边界条件。
1.5虚应力ij：
ij=ij(k1)-ij(k2)；在V内：ij,j= 0；
在s上:njij= 0；满足齐次静力方程。
第二节虚功方程
2.1虚功方程
在给定体力、面力和约束情况下，
如果找到两种状态:
第一种状态：在给定的体力fi和面力 ，已知（找到）可能应力状态ij(k1)，在V内：ij(k1)+fi=0;在s=s:
第五节虚应力原理和最小余能原理
5.1虚应力原理
1．虚应力方程
运用虚功原理，但第一种状态为真实变形状态，ui和ij、fi、 、 ;
第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应力的变分）ij；
满足：ij,j= 0在V内
njij= 0在s上（在s上无面力）
ij在su上产生Xi（在su上有反力）
根据虚功方程
2．虚应力方程表达
ui(k)为可能位移,有无穷多。因此，与其对应的势能(k)也有无穷多。
要从(k)中找真实位移：
（1）=0
（2）引入本构关系真实位移应满足的方程。
取=0，得
——虚位移方程
或
ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而=0，表明由ui(k)导出ij(k)满足静力方程，所以由=0即为真解应满足的控制方程。
最小势能原理的表述：在位移满足几何方程和位移边界条件的前提下，如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条件，则该位移必使势能为驻值（极值）。如可能位移使的变分=0，则该位移相应应力必满足静力方程。=0等价与静力方程。
第二种状态：弹性体处于可能变形状态ui(k2)、ij(k2);
在s=su: ;
则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。——虚功原理
2.2虚功方程的证明：
代入虚功方程左端，得
并注意 ，则We=Wi
虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。
第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功
对于线弹性体本构关系
W12=W21
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上所做的功。
功的互等定理优点：可以避免求解物体内的应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。
第一：一对力P作用在直杆的垂直方向，局部效应，在两端点伸长？