小波与分形理论

引言

小波就是人们可以观察到的最短、最简单的 振动。小波分析是富里叶（Fourier）分析的重 要发展，它既保留了富氏理论的优点，又克服了 它的不足。小波分析是基于一簇由母波函数生成 的“相似”函数——子波而展开的。由这组相似 函数的不同伸缩和平移构成平方可积函数空间 L2（R）的仿射构架，甚至是正交基，从而稳定地 逼近任意给定的映射关系。
小波变换

分形理论是描述其有无规结构的复杂系统形态的 一门新兴边缘学科，研究的对象主要是一类具有 “自相似性”、“自仿射性”的分形体。其分形 度量为维数；从工程技术上讲，从一个信号的局 部可得到与整个信号一样的细节，则该信号是具 有分形特征的信号。
分形理论

由上可知，多分辨分析是从远到近观察形体，首 先注意物体最显著的特征———轮廓，再慢慢注 意其结构———线条，最后逐步观察物体的纹理 或细节。这种识别过程体现了一种从低分辨到高 分辨的原理及对目标进行分割的思想。对分形的 观察正是这样，即通过从大到小的不同尺度变换， 在越来越小的尺度上观察越来越丰富的细节，这 也是从低分辨到高分辨的观察过程。
小波变换
小波函数的特性：多尺度，多分辨和紧支性。 小波：由基本小波或母小波 t 通过伸缩a和平 移b产生的一个函数族 a,b t 。有

a:尺度因子 b:时移因子 小波变换： t b 1 2 WT x b, a a xt dt
两者的关系
j j j+1
小波变换
Vj
Wj
Vj-1

采样信号x总是具有有限分辨率，即x∈VJ1。显然， 存在的有限正交分解过程可由分解公式而知，我们对 函数的不断分解，就是在2j分辨率下对函数x的连续 逼近，而｛Cj｝，｛dj｝则是2j分辨率下的离散逼近 和离散细节；在尺度a＝2－j中尺度越小，分辨率越高， ｛Cj｝可理解为函数x的频率不超过2－j的成分，而 ｛dj｝则是x的频率介于2－j和2－j＋1之间的成分。随 尺度a＝2－j中j的增大，由反映原始信号的细节逐步 过渡到主要反映原始信号的中低频成份；每分解一次 就剥去信号中一部分高频成份，剥下的信息可构成细 节部分，即所谓的精细结构信号。
小波与分形理论
引言 小波变换 分形
两者的关系

小波函数的定义使得它一出现就和分形理论 有了不解之缘。小波分析总是从远到近观察形体， 具有放大和移位的功能，与分形的本质尺度变换 是一样的，所以自小波分析创立以来，它在分形 对象中的应用日益广泛，并作为分形的“构件” 已显示出它的能力，但是小波分析仍然是采用局 部对整体依赖性的系统论方法，而分形分析则研 究局部信号以确定信号的整体特性
xt , a ,b t a
t b a ,b t a a
1 2
小波变换
பைடு நூலகம்
尺度因子a 小波变换有着多分辨分析的优点，这都取决于 尺度因子的变换。 在平方可积实数空间L2（R）的多分辨分析事 V 指存在一系列的闭子空间 j jZ ，W 是V 在 V 中的正交部空间。 一般我们选用Riesz基：不同的j意味着不同的 j 分辨率 2