第七章--正弦交流电路教学教材

uL
L
diL dt
iL
UL
U L 2 ω L I L s i n ( ω t 9 0 o ) 2 U L s i n ( ω t 9 0 o )
相量表达式 : I&L IL , U& LωLIL
iL uL
L
即有: U & Ljω LI& LjXLI& L 相欧量姆形定式律
Βιβλιοθήκη Baidu
ui t
电 压 与 电 流 有 效 值 关 系 U Lω LIL 电 感 电 压 超 前 电 感 电 流 90o
电 电 压 压 与 与 电 电 流 流 有 同 效 相 值 位 关 系URRIR
瞬时功率: p iR u R 2 U R IRsin 2(t)
U R IR [1co s2 (t )]
平均功率
P1 T
TURiRdtUII2R
0
P
it
u.
IR
.
.
UR
. I R R
UR
2）电感元件
时域表达式 iL 2ILsinωt
电流表达式必须规定参考方向! 例如规定参考方向从1到2，i＝5sin（ 314t+45°），则随 时间变化曲线如图，每一时刻都有确定的电流值，实际方向时 正时负。 对于同一个电流,如果参考方向改为从2到1，记为i′，则
i′＝－i＝－5sin（314t＋45°） ＝5sin（314t－135°），
即把时间起点沿ωt轴移动180°。i与i′表示同一电流，由 于正方向不同，初相位相差180°。
瞬时值。
φ
1
正弦交流电的三种表达方式:
瞬时表达式 相量(复数式)
相量图
2）正弦交流电量计算
设
i1
2I1 sin(ωt )
i2 2I2 sin(ωt )
求两个电流之和 i i1 i2
i1
i
i2
合成电流时域计算：正弦函数计算
i 2 I 1 s i n ( ω t ) 2 I 2 s i n ( ω t )
IT 10 tIm 2s in 2ω td tT 10 T Im 2 (1 c o 2 s2 ω t)d t Im 2
即 I Im
2
同样可定义电压有效值
U
Um
2
注意：电气工程上电压电流的大小，一般都用有效值来表示， 电气工程测量仪表一般也指有效值。
电路计算中一般用有效值运算。
单相电压220V是指有效值，其最大值约为300V.
附：复数计算规则
直角坐标：a jb
A a2 b2, tg1 b,
a
极坐标： A Aej aAcos b=Asin
设： A&1 A1 a1 jb1
A&2 A2 a2 jb2
①相加、减 A & 1 A & 2 ( a 1 j b 1 ) ( a 2 j b 2 ) ( a 1 a 2 ) j ( b 1 b 2 ) ②相乘： A & 1 g A & 2 A 1 g A 2 A 1 A 2
I1
注意，只有同频率量才可进行
相量运算。
相量图
.
I2
.1
I
7.4 正弦交流电路的元件电压电流相量表达式（相量欧姆定律）
1）电阻元件
i
时域瞬时式 iR 2 Is in ( ω t φ )u R 2 R Is in ( ω t φ ) u
uR RiR
相量表达式 :
U&R RI&R
相量形式 欧姆定律
第七章--正弦交流电路
2)正弦交流电的三要素
瞬时表达式 i＝Imsin(ωt＋yi)
1> Im 幅值(最大值)
2> ω 角频率, ω= 2pf ,
iR
i
Im
f 频率 , T 周期, T=1/f
y
t
3> (ωt＋yi) 相位，
yi 初相位
我国电网 f＝50Hz， ω＝314弧度／秒, T = 20毫秒
任一时刻合成电流瞬时值= 二个电流瞬 时值之和 合成相量=二个电流相量之和(相量和) 正弦交流电计瞬时表达式计算→相量计
. . . 算（复数计算）。
合成电流相量计算: I = I 1 + I 2
例1：已知 i 1 2 4 s i n ( ω t 3 0 o ) , i 2 2 3 s i n ( ω t 6 0 o ) ，
交流电功率: Wi T i2Rdt, 0
交流电功率:
WI TI2RdtI2RT
0
由 Wi WI
得周期交流电流有效值: I 1 T i2dt T0
（有效值又称 为均方根值）
同理，周期交流电压有效值为 U 1 T u2dt T0
正弦交流电流的有效值
设电流 i Imsint ,则正弦交流电流的有效值为:
1 i1
2
t
1 i'1
2
t
2）相位差 同频率正弦交流电相位差
两个同频率正弦量，见图
i1＝I1 sin （ωt＋φi1）， i2＝I2sin （ωt＋φi2）， 相位差：
φ＝（ωt＋φi1）－（ωt＋φi2）＝φi1－φi2 可见，相位差＝初相位之差。
若 φ＞0，φi1＞φi2，i1超前i2； φ＝0，φi1＝φi2，i1与i2同相位； φ<0，φi1＜φi2，i1滞后i2；
③相除：
AA& &12
A1 A2
A1 A2
7.3 正弦交流电量的相量表示
i
1）正弦交流电瞬时值与相量关系
ωt
瞬时表达式 i 2Isin(ωt)
代数表示法 iIm [ 2Iejejω t]
相量(复数式) I& I
波形图
j. I
相量以角频率 ω 逆时针旋转，其在
ω
虚轴上的投影即为正弦交流电流的
i1 i2
i2 i1
φ i2 φ i1
i1超前i2
φ i2 φ i1
i1滞后i2
7.2 周期交流电量的有效值
IR
iR
有效值物理意义：周期交流电流 i ( t ) 流过电阻R时，在一个 周期内消耗的能量等于某一大小的直流电流I在同一电阻相 同时间内消耗的能量。称这一直流电流I为交流电流 i ( t ) 的有 效值。
求 i i1 i2
解：I&1 430o, I&2 360o
1)转换为相量形式
I& I&1 I&2 430o 360o 2
3 j2 3 3 22
3j
2)相量(复 数)运算
(2 3 3) j(2 3 3) 5 6.9o
2
2
i 25sin(ωt 6.9o)A 3)转换为瞬时式
j.
把瞬时值运算变为相量运算,
XL ωL ，称为感抗，反映某一频率下电
感电压有效值与电流有效值关系, 具有阻抗 的量纲.
..
IL U L
. j L UL
.
IL
例1： 一线圈电感 L31.8103H， 试求电压为
u 2 1 0 s i n 3 1 4 t 和 u 2 1 0 s i n 3 1 4 0 0 0 t时的电感电流IL。