耦合模理论对光纤光栅的分析_王健刚

是
克罗内克符号 ; u 和 v 是模式数 , 当 u = v 时 , = v 时 = 0; 对于 S u , 当传播常数为实数 时, 有 S u = 1. 在这种情况下表示复共扼的 * 没 有影响; P u 代表第 u 个模的功率 . ( 3) 式中对 v 的 求和包含和
vt
( r) 有关的两项 , 一项由 (+ ) 号表
[ 6] [ 5]
而场的本征矢量解满足如下正交关系
+ 0 2 0
ez
[
v t
h ut ] r dr d =
*
2S u |
Pu |
uv
( 5) 其中 ez 是沿着传播方向的单位矢量 ; h ut 是折射率 未受微扰的光纤的第 u 个不连续磁场本征模的横 场部分 ; * 表示取复共扼; 对于分离的导模 1; 当 u
(z)
av
v t
( t ) e i(
t-
v
z)
( 3)
其中 : 数;
v t
v
是电场 的传播常数; av 是电 场的叠加系
tv
( r ) e i(
z)
是折射率未受微扰的光纤的第
v 个不连续电场本征模 , 它满足理想波导方程. 将 ( 3) 式代入( 2) 式得如下方程 2
v
+ e- i
(z)
]
( 9)
h u t * } r dr d
当光纤中折射率沿轴向有微小变化后, 微扰 P 微扰 = 2 0 n nE ( 7)
E t (r , t) -
( r)
Et ( r, t) = t2
2
t
2
[ P微扰 ( r, t) ] t ( 2)
假定光栅的折射率变化为余弦调制函数, 可 表示为[ 4] n= n0 ( r , ) + n 1 ( r , , z ) cos 2 z + (z) ( 8) 是光栅
z
( 12) e = it
2
将( 11) , ( 12) 式代入( 6 ) 式并利用
2
t2
则基模耦合方程可变为 W ( z ) - i W ( z ) = - ikS ( z ) S ( z ) + i S ( z ) = ikW ( z ) 其中 g(z) = = - ( - (
u
e i t 可得
收稿日期 : 2006 -05 -08 作者简介 : 王健刚 ( 1962 -) , 男 , 副教授 .
分光的反射率可达到 100% . 反射光的峰值波长 称为光栅中心波长, 或布拉格波长. 基于光栅的这 一波长选择特性, 光纤光栅已经在激光技术、 光通 信和传感技术中得到了广泛的应用 . 用来分析光栅物理机制的理论主要是耦合模 理论 . 但关于这一理论 , 各种文献的表述不尽相 同. 1973 年, Yar iv [ 3] 引入了平板中的耦合模理论, 这是光学中的微扰耦合模理论的基础 . 1981 年 ,
Analysis of fiber Bragg Grating by coupled -mode theory
W ANG Jian - gang , L IU H an - fa
1 2
( 1. Scho ol o f Electro mechanical Eng ineer ing, L aiyang Ag ricultur al U niv ersit y, Q ing dao 265200, China; 2. School of Physics and photoelectric Information technology, Shandong University of Technolog y , Zibo 255049, China)
其中 : P 微扰 ( r, t) 为光纤折射率发生变化引起的微 扰极化; ( r ) =
0
n 是光纤介质的介电常数.
2
对于光纤中传播的波 , 其电场矢量可以表示 为一系列分离的导模和连续的辐射模的叠加. 对 于弱导光纤, 可忽略导模和连续辐射模之间的耦 合, 只考虑分离理想导模的叠加, 把光纤中的横向 场表示为 E t ( r, t) =
(- )
=
2 0 0
|
ut
h* ut | z r d r d = ( 27)
u 0 2 (- ) au 2 uP u
2
n n0 |
u
ut
h* u t | z rdrd +
u 0 (+ ) i[ au e 4 uP u
ut
( z )- 2
z]
2 0 0
n n1
- ( +
n0 )
( 28)
v
(- L / 2 < z < L / 2 ) 光致折射率变化的振幅 ; L 为光栅长度 ;
其中, n 0 是光致折射率变化的直流分量 ; n 1 是 的折射率调制周期. ( z ) 用来描述沿光纤轴向光 栅周期的变化情况 . 一般情况下光栅的折射率变 化 n 0 和 n 1 是 r 和 z 的函数 , 很难得到方程的解 析解 . 只有对均匀 周期光栅, 光栅的折射率变化 n 0 , n 1 和 ( z ) 均为常数 . 为讨论方便 , ( z ) 可 取为 0, 把折射率变化表示为 n= 其中 n 0 + 1 n 1 [ ei 2 2
av (- i v ) z
2
vt
( r ) e i(
t-
v
z)
= ( z) = ( 4)
z+
( z)
( 10)
t
2
[ P 微扰 ( r , t) ] t
这样微扰极化可以表示为
86 P 微扰 ( r) = 2n 2n
0 0
山 东 理 工 大 学 学 报( 自 然 科 学 版)
2007 年
nE =
(z)
+
)
光栅的光学特性需要在 W 和 S 特定的边界 条件下通过求解耦合方程来确定 . 若忽略纤芯折 射率 n 的变化 , 对均匀周期光栅, 基模传输常数增 量、 基模耦合系数及 可表示为 2 u0 2 1 = n n 0 0 0 | ut 2 uP u n0 k= u0 2 n n1 4 uP u 2 n1 = ( 14) 其中 = 1 Pu
[ 2]
[ 1]
第1期
[ 4]
王健刚 , 等 : 耦合模理论对光纤光栅的分析
85
[ 6] * u u
Lam 和 Garside 在讨论单模光纤滤波器的特性时 引入了一种光纤中的耦合模理论. 他们忽略了光纤 中的正交关系与平板波导中的正交关系的差异, 使 用了平板波导中的正交关系, 因而耦合系数不够准 确. 1999 年 , Kashyap
第 21 卷 第 1 期 2007 年 1 月
山 东 理 工 大 学 学 报( 自 然 科 学 版) Journal of Shandong U niv ersit y of T echnolog y( Sci & T ech)
V ol. 21 N o. 1 Jan. 2007
文章编号 : 1672 - 6197( 2007) 01 - 0084- 04
(- ) t+
u
d au e i( dz i 2 0 2 uP u {[ a
(+ ) u 0 ut
z)
u - da e i( dz
(+ )
t-
u
z)
+
1
1
)z =
=
(z)
2 0
n
tu
n 0 + 1 n 1 ( ei 2
z) ) + a(u ut
+ e- i ( z ) ) e z ] h ut * } r dr d ( 13)
u
积分,
z)
-
da u i( e dz
2 2 2 0 0
(+ )
t-
u
z)
=
i 4
u u
t
ez ( 6)
其中 : E, H , D, B 是电磁场基本量; j , 是电流密 度和电荷密度. 从 ( 1) 式出发可得光纤内写入光 栅后电场横向分量满足的波动方程为[ 5]
2 2
{ [ P 微 扰 ( r , t) ] t 极化强度可以表示为
uv
对耦合模理论的阐述虽然
比较详尽, 但其中也有不妥之处. 2002 年, 廖帮全 等人 提出的光栅耦合模理论 , 只考虑到了紫外光 照射后纤芯折射率周期性的变化, 未考虑折射率的 直流增加量 , 因而不很严格 , 而且他们给出的耦合 模方程的解只考虑了一种情况. 文中对光纤光栅耦 合模理论进行了一些探讨 .
Abstract: Pr inciple and charact erist ics of Brag g g rating are int roduced br ief ly. N ew coupled mode equat ions as w ell as a co ncise representat ion of coupling const ant are derived and ob t ained, based on t he M ax w ell equat ions and using t he co upled - m ode t heor y of optical g uid ance and consider ing t he direct increase of f iber refract ive index of f iber core af ter UV ex posur e. When t he new coupled - mo de equat ions are so lved, a more accurate result of t he Bragg w av elengt h is obtained, w hich is coincided w it h ex periment al result. Key words: coupled - mode t heory ; f iber br ag g grat ing ; Bragg w aveleng th; co upling const ant 光纤光栅是最近十几年才得到快速发展和广 泛应用的光无源器件 . 它是利用光纤的光敏性, 在 紫外光照射下产生光致折变效应, 在光纤纤芯上形 成周期性的折射率调制分布, 从而对入射光中相位 匹配的频率或波长产生相干反射. 当一束宽带光通 过光纤传输到光栅上时, 大部分光被透射, 仅有一 小部分光会被光栅反射回来. 根据不同需要, 反射 光的带宽可以从几十 nm 到 0. 1nm 甚至更小, 这部
1
光纤光栅中的耦合模方程
电磁场传播的麦克斯韦方程组为 E= H = D= B= 0 B t D + j t
示, 代表沿 z 轴正方向传播 ; 另一项由 (- ) 号表 示, 代表沿 z 轴负向传播 . 我们把 ( 4) 式两边矢乘 以 h* ut , 然后取其结果与 z 方向 的单位矢量的标 积, 再对幅角取从 0 到 2 , 对半径从 0 到 并利用正交关系式( 5) , 可得 ( 1) d au i( e dz (- ) t+
2 0 a 0 2 0 0
e
i(
e i(
t+
u
z)
上式的左边两项分别是光纤中沿 z 轴正向和 负向传播的基模 , 这两项只能被右边对 z 含有近 似相同位相的项影响 . 我们首先看左边第一项 , 若 (z) u u
h* ut | r dr d = ( 26)
ห้องสมุดไป่ตู้
z
u
z , 而右边共有两项包含相位因子
, 因此有如下关系式 da u dz i i |
(+ ) u ut
2
耦合模方程的解
令 au ( z ) = W ( z ) e a
(- ) u (+ ) - i[ g ( z) +
1 1
z]
( 20) ( 21) ( 22) ( 23) z ( 24) ( 25)
e
i(
t-
u
z)
+ au
(- ) ut
e
i ( t+
u
z)
(z) = S(z) e
i[ g ( z )+
n 0 + 1 n 1 ( ei 2
+ e- i
( z)
) ( 11)
以上 2 式即为光纤光栅中正反向基模的耦合 方程 .
对于单模光纤中的布拉格光栅 , 它的主要光 学特性表现为正反向基模之间的耦合, 而基模与 包层辐射模之间的耦合可忽略 . 因此光栅区域的 光场可以简单的表示为正反向传播基模的叠加 Eu =
耦合模理论对光纤光栅的分析
王健刚 , 刘汉法
1 2
( 1. 莱阳农学院 机电工程学院, 山东 青岛 266109; 2. 山东理工大学 物理与光电信息技术学院, 山东 淄博 255049) 摘 要: 从麦克斯韦方程组出发 , 基于光波导中的模式耦合理论, 考虑到经紫外光照射后光纤
纤芯折射率的直流增量, 给出了新的光纤光栅耦合模方程, 得到了较简洁的耦合系数表达式 . 通过求解耦合方程, 得出了更严格的、 与实验结果相符的布拉格波长表达式 . 关键词: 耦合模理论; 光纤布拉格光栅; 布拉格波长; 耦合系数 中图分类号 : T N253 文献标识码: A