大学物理习题课

小球在O '点产生电场：Ev2O' 0
v EO

r3 3 0 a3
ar
v EO'

ar 3 0
(2)空腔内任取一点P点，O’P为b，OP为r
大球在P点产生电场：
Ò v r E1P dS
v E1P

rr 3 0
v E1P
4πr2

1
0
4 3
πr3
小球在P点产生电场：
dl'
AO
E

1
4 0
(a2
Qz z2 )3 2
解：将圆盘分割成许多同心的圆环：
dq 2 rdr
该圆环在P点的场强方向沿z轴，大小为：
dE=
z 2 0

(r 2
rdr z2
)3
2
因此，P点的总场强积分如下：
E
R dE z
0
2 0
R rdr 0 (r2 z2 )3 2
（2）场强叠加原理：
vv v
v
E E1 E2 ... En
nv Ej
j 1
1
4 0
n j 1
qj rj2
rvj0
（3）电荷连续分布：
v
E
1
4 0
dq r2
rv0
静电场的高斯定理：
通过任意闭合曲面S的电通量Φe，等于该闭合曲面内所有 电荷电量的代数和∑q除以ε0，与闭合曲面外的电荷无关。
当z

l，E＝
l 2 0
z
2
Q
4 0
z
2
即点电荷
• 一均匀带电薄圆盘，半径为R，电荷面密度为σ.试求：
z
dE'
dE
（1）轴线上的场强分布； （2）保持σ不变，若R→0或R→∞,结果如何？
dE' P dE θ
（3）保持总电量Q＝πR2σ不变，若R→0或R→∞,结果如何？
Rr
θPzຫໍສະໝຸດ dlaO O’
R
ar
解：（1）看作带正电的均匀大球与带负电的均匀小球的组合
大球在O点产生电场：Ev1O 0
小球在O点产生电场：
Ò v E2O
r dS

E2O
4πa2

1
0
4 3
πr 3
大球在O '点产生电场：
Ò v r E1O' dS

E1O' 4πa2

1
0
4 3
πa3
R ,则

=
Q
R
2
E

Q
2 0 R 2

zr z

zr R2 z2
= Q R2 z2 z
20 R2 R2 z2
Q
E 20R2 0
• 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ ,求环心处O 点的场强．
解：（1）建立坐标系；（2）选择电荷元；（3）O点的电场强度
dE

1
4 0


Rd
R2
（4）dE分解为dEx和dEy，由对称性分析可知，
y方向上的场强相互抵消 dEx
E Ex
1 d sin=- cos =
0 40 R
4 0 R
0 20R
dEy
半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内 挖去一块半径为r＜R的小球体．试求：两球心O与O’ 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
知识点回顾
• 库仑定律：
r F12

1
4 0
q1q2 r122
rr120
• 电场强度：
r E

r F q0
，q0为试探电荷的电量.
y F12
r1
+q 1 r12 r 2
+q
F 2 21 x
z
r
E
q
r0
q
F
0
电场强度
（1）点电荷：
v E

v F

qq0
rv0
q
rv0
q0 40r 2q0
40r 2
= z
2 0
R
dr 2
0 2(r 2 z2 )3 2
z 1 (r 2 z2 )3 21 R
40 1 3
0
2

2 0

z z

z R2 z2
r E

2 0

zr z

zr R2 z2
（2）保持σ不变， 若R→0，则E＝0； R→∞，即无限大平面的电场强度为：
2 F cos 30 F '
F
F
由库仑定理：
1 qq 3 1 qq'
2
4 0
a2

2

40
3a 2

3

q' 3 q 3
（2）与边长无关
A
F’
O
B
C
例3. 设均匀带电细棒长为2l，带电总量为Q。试求细 棒中垂面上的场强分布。
解：（1）以中点为原点O，向上为x轴正方向,向右 为z轴正方向，在z轴上任取一点P,距离原点为z.
l l
1
4 0

(

x2
dx z2
)

cos

=
l l
1
4 0
(x2
z
3
z2)2
dx
l
=
z 4 0

2( 3
1)

z2
x (x2

z2
3 1
)2
2
l
P θ
z
dEx
l ，E＝ 20 z
即无限长细棒
dEz dE

l
=
20 z l 2 z2
Ò v
E2 P
r dS
r
v E2 P
4πb2

1
0
4 3
πb3
v E2P

b 3 0
O
a
O’
r
b P
r EP

v E1P

v E2 P

rr 3 0

r
b 3 0
r r
(r b)
3 0
ar 3 0
(2)细棒上取一电荷单元： dq dx Q dx
2l
(3)电荷单元在P点产生的电场强度为：
dq
x o
z
dE

1
4 0


(x2
dx z2)
dE可分解为沿x轴的分量dEx和垂直于z轴分量dEz
5
P dEz
θ
dEx
dE
由对称性分析可知：
l
l dEx 0
o
E Ez
Rr
θ
P
z
E zr 20 z
（3）若保持总电量Q不变，则圆盘的电荷密度为： R r
R 0, E 0 , 采用洛必达法则 0
θ
P
z
2R
E Q
20 2R
2 R2 z2 R2 z2 R2 R
R2 z2
=
2 0
Q 2(R2
z2)

R2


Q
40 z2
e

(S)
E dS
1
0
q
( S内)
3
电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：
(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到 平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?
(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解： （1）以A处点电荷为研究对象，受力分析：