计算结构力学-有限元.

2.3 三结点三角形单元分析
2.3.1 结点力和结点位移
• 整体结点位移向量:
{} =[u1 v1 u2 v2 … un vn]T • 整体结点力向量: {F} =[U1 V1 U2 V2 … Un Vn ]T,
y j
n ——结点总数. • 单元局部编号：i, j, m
vj
vi , (Vi) ui , (Ui) i
i) 虚功原理：外力虚功=内力虚功

V
{f }T { p} d V {f }T {q} d S { }T {s } d V
S V
ii) 变分方程 — 势能驻值原理
=(U+UR)=0

V
1 T { } {s } d V { f }T { p} d V { f }T {q} d S V S 2
P(x, y)
m x
——系数1~6由结点位移 ui , vi , uj , vj , um , vm确定.
•
将位移模式写成结点位移的显式： u= Niui+ Njuj +Nmum y v= Nivi+ Njvj +Nmvm j Ni、Nj、Nm：形函数 (插值函数)
i P
m x 1 i
1 1 1 Ni 1 1 1
x
sx= sx(x, y) sy= sy(x, y) txy= txy(x, y)
例如：挡土墙、重力坝
y
平面应变问题
2.2.2 基本量及基本方程的矩阵表示
1) 基本量
应力: 应变:
{s } [s x s y t xy ]T { } [ x y xy ]
{ f } [u v]T
q
A y
B
x
在集中力{F}作用下, 虚功方程简化： {}T {F } 总势能简化：
T { } {s }t d x d y
Π
V
1 T { } {s } d V {}T {F } 2
{F}=[U1 V1 U2 V2 … Un Vn]T {}=[u1 v1 u2 v2 … un vn]T
1) 离散化 划分为有限数目的单元； 单元间在指定点连接——结点。
——单元形状、连接方式可不同。
rg
连续体
• 平面问题的常用单元：
三结点三角形单元
六结点三角形单元
矩形单元
任意四边形单元
8结点曲边 四边形单元
2) 单元分析
• 假设位移模式，分析单元力学特性： {F}e=[k]{}e • 体力、面力 —— 等效结点荷载
uj m
vm
um x
• 单元结点位移向量: {}e=[ui vi uj vj um vm]T • 单元结点力向量: {F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
2.3.2 单元位移模式
1) 什么是位移模式（位移函数）
利用单元的结点位移将整个单元的位移分量
表示为坐标的函数。
y j
i
2) 三结点三角形单元的位移模式 设： u=1+2 x+3 y v=4+5 x+6 y
计算结构力学
课 件（二）
第2章 有限单元法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 概述 弹性力学平面问题的矩阵描述 三结点三角形单元分析 高精度三角形单元、矩形单元 C0连续型单元形函数的构造 平面等参数单元分析 有限元程序实现 平面杆件结构有限元 板弯矩的有限元
2.1 概述
T
位移:
体积力:
{ p} [ px py ]T
{q} [qx qy ]
T
表面力:
2) 基本方程 • 几何方程：
{ } [ x y xy ]T u v v u T [ ] x y x y
{s } [ D ]{ }, 1 0 E 1 0 [ D] 2 1 1 0 0 2
2.1 概述
2.1.1 发展概况（续）
• 1960年代前：起步阶段 • 1960年代-70初：理论体系建立，快速发展期； • 1970初-80中：巩固期； • 1980中之后：推广、综合应用；
通用有限元软件：
SAP, ADINA, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS, MIDAS等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2.1.2 有限单元法概念
2.1.1 发展概况 • Courant——1943年应用三角形分片插值函数;
• • • • • • Turner, Clough等——1956年推广直接刚度法; Clough——1960年提出“有限单元法”名称； Zienkiewicz等——编写第一本有限元方面专著； Melosh ——证明有限元位移法是里兹法另一形式； 冯康——独立证明了有限元法； Wilson——第一个编写通用有限元软件：SAP； 1960-70年代理论基础研究 1960至今：实际工程应用、复杂问题理论研究
例如：深梁、剪力墙(受竖向力)
形状、受力沿z向不变 +
体积力
x O
t/2
t/2
z
y
y
平面应力问题
z向很薄——平面应力问题 z向很长——平面应变问题
2) 平面应变问题 w=0, z=0, zx=0, zy=0 x= x(x, y) y= y(x, y) xy= xy(x, y)
z
O
• 物理方程：
(平面应力问题)
[D]: 弹性矩阵; E: 弹性模量; : 泊松比。
1 0 E 1 [ D] 0 2 1 1 0 0 2
平面应力 平面应变 E E 1 2 1
• 平衡方程弱形式—— 能量原理
x xj xm xi xj xm
y yj ym , (i, j, m 轮换 ) yi yj ym
j
Ni(x, y) m
1
x
y yj ym 1 (ai bi x ci y ) (i, j, m 轮换 ) yi 2 A yj ym
静力等效
3) 整体分析—— 建立{F}=[K]{} [K]{}= {R} 4) 再次单元分析 求出各单元的应变和应力。
2.2 弹性力学平面问题的矩阵描述
2.2.1 两类平面问题
表面力
1) 平面应力问题 sz=0, tzx=0, tzy=0 sx= sx(x, y) sy= sy(x, y) txy= txy(x, y)