有限元法的基础理论

一、里兹法与迦辽金法（摘自电磁场有限元方法 金建铭） 1. 里兹法

里兹法是一种变分方法，其中边值问题用变分表达式（也称泛函）表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。通过求泛函相对于其变量的极小值可得到近似解。 2. 伽辽金法

伽辽金法属于残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权的方法得到方程的解。

若u

是方程的近似解，将u 代入方程可得到非零的残数： r Lu

f =- u

的最佳近似应能使残数r 在Ω内所有点上有最小值。残数加权方法要求： 0i i R rd ωΩ

=Ω=⎰

这里i R 表示残数的加权积分，i ω是所选的加权函数。

在伽辽金法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。通常，这样可得到最精确的

解。

二、有限元方法

里兹法和伽辽金法中，在整个解域内找出能表示或至少近似表示问题真实解的试探函数是非常重要的。然而对于许多问题，这个步骤是十分困难的，对二维和三维问题尤其如此。为此，我们可将整个区域划分成小子域，并应用定义在每个子域上的试探函数。因为子域是小区域，因而在每一子域内函数的变化不大，所以定义在子域上的试探函数通常比较简单。这正是有限元法的基本思想。应用里兹法的过程通常称为里兹有限元法或变分有限元法，而应用伽辽金方法的过程通常称为伽辽金有限元方法。

有限元法与经典里兹法和伽辽金法的不同之处是在试探函数的公式上。在经典里兹法和伽辽金法中，试探函数由定义在全域上的一组基函数组成。这种组合必须能够（至少近似）表示真实解，也必须满足适当的边界条件。在有限元法中，试探函数是由定义在组成全域的子域上的一组基函数构成。因为子域很小，所以定义在子域上的基函数能够十分简单。 三、关于形函数（摘自有限元法在电磁计算中的应用 张榴晨）

对于一个待求的微分方程，用一组线性独立的尝试函数i ψ和待定系数i C 来表示方程的近似解，并用加权余数法（迦辽金法）来求解这些待定系数。求解待定系数的代数方程组为：

1

[]1,2,,n

i j i j i d C q d j n ψψψΩ

Ω

=∇∇Ω=Ω

=∑⎰

⎰

这里j ψ为所选择的加权函数，应用迦辽金法时，所选取的加权函数即为尝试函数。 有限元中应用的尝试函数代表了单元上近似解的一种插值关系，它决定了近似解在单元上的形状。因此尝试函数在有限元法中又称为形函数。对于一维有限元来说，形函数为一个直线段；对一维高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；对二维一阶有限元来说，形函数为一个平面；对二维高阶有限元来说，形函数为一个曲面；三维有限元来说，形函数为多维平面或曲面。选择形函数时可以使一个任意元上的函数只与该元所对应的节点势函数值有关，而与其它各点的值无关。 1. 一维有限元

对于一维有限元来说，形函数分段线性。该形函数i ψ在节点i 上的值为1，并在与节点

i 相邻的两个单元上线性减小，直到在相邻节点1i -和1i +上分别减小为零。其形函数的形

式为：

i i i x ψαβ=+

根据形函数的性质即可得到两个线性方程组，解这两个线性方程组即得到系数i α和i β，进而得到i ψ。应用同样的方法可以得到每一个节点上的形函数表达式。 2. 二维有限元

以三角形单元为例，单元的顶点分别为,,i j k 。每个顶点都对应于一个形函数。考虑一阶有限元法，即用线性插值的方法表示一个有限元上的势函数分布。这样，三角形作为一个单元所对应的三个形函数都是分段线性的函数，并可以看作由几个平面组成。对应于节点i 的形函数i ψ在节点i 上取单位值（即为1），并由此在单元e 上直线下降，直到在其它另外两个节点j 和k 上降为零，在单元之外的区域则一直保持零值。于是这三个节点值就决定了该形函数的形状。形函数i ψ可由一个线性函数表达为：

i i i i x y ψαβγ=++

四、势函数分布

有限元的作用在于求解分布场的势函数在每个节点上的近似值，而势函数在单元的其它位置的值，可用插值的原理来表示。如果采用线性插值的方法来表示分布势函数，则称为一阶有限元法，如果有限元法采用高阶插值法表示分布势函数，则称为高阶有限元法。

任意一个单元上的势函数分布由这个单元上的节点势函数值及相应的形函数表示，对于一个一维单元有：

1

1e i i i i ϕϕψϕψ++=+ 整个区域的势函数分布则由每一个单元的势函数分布相加得到。 五、关于对称性的利用

利用对称性可以减少节点和单元的数目，从而节省用于建立模型和计算近似解的时间。从另外一个角度来讲，如果维持节点和单元的数目不变，则利用对称性可以对这四分之一区域作更为详细地划分，即单元的尺寸可大为减小，从而提高近似解的精度。 case 1（a ）：一个两极电容器的静电场分布问题。假设两个极板都接在0.5v 电源端，极板间的距离为2，极板间充有密度为ρ的自由电荷。这样，电容器的激励和几何形状都关于y 轴对称。由于这种关系的存在，我们只要求解电场在整个区域的一半的分布即可，而另一半的电场分布则能从对称关系而得到。从边界条件的观点出发，这种对称的结构导致电力线垂直穿过y 轴，使电势在该对称轴上沿x 方向的变化率为零。

描述这一问题的微分方程和边界条件为：

21

(0,1)

0.50

x x x n

ϕρ

ϕ

ϕ==∇=-∈=∂=∂

见原文page62 case 1（b ）：当考虑极板端部的边缘效应时（考虑一个方向的边缘效应），这个问题则为一个二维边值问题。假设电势分布在与极板垂直平等的截面上分布相同，那么只需计算一个截面的电势分布即可。在y 轴两侧，几何结构及施加电压都对称，因此y 轴为对称轴，即沿y 轴的电势对法线方向（x 方向）的变化率为零（是否可以理解为等势面与y 轴垂直而与x 轴平行），这样y 轴便构成一个齐次诺伊曼边界条件。从另外一个角度看，该问题的几何结构x 轴对称，而施加电压则x 轴反对称，因此沿x 轴的电势应取两极板施加电压的中值，即零值。因此x 轴构成一个狄利克莱边界条件。于是计算区域被减为原区域的四分之一。

为了把边缘效应考虑进去，计算区域还应考虑电容器周围空间，并应将无限远处设为零电位参考点。但从实际意义来讲，假设电容器外某一定距离的空间处为零电位参考点即可满足实际需要。设沿x 轴方向的2m 处电位为零。

描述这一问题的微分方程和边界条件为：

12

3

4

20

1000

n

ϕϕϕ

ϕ

ϕΓΓΓΓ∇====∂=∂

case 2：一个同轴传输线，两个同芯长方形导体间充满了线性介质，其介电常数为ε。假设两导体间加有直流电压10V ，导体间贮有密度为ρ的自由电荷，传输线的长度远远大于其

截面的长和宽，那么可以认为电场在传输线各个截面上的分布都相同，因此只需求解电场在某个截面的分布，从而检查绝缘材料的工况。该问题的几何形状、介质及激励都x 轴和y 轴对称，因此只需求解整个截面的四分之一即可。在对称轴的两侧，电势对于该轴线的法向

变化率为零。从电力线的观点出发，也可以说电力线垂直对称轴线。

描述这一问题的微分方程和边界条件为：

13

2

4

2,()010

q

x y q n

n

ρϕε

ϕϕ

ϕϕΓΓΓΓ∇=-∈Ω=

==∂∂=

=∂∂

见原文page68。