球的体积和表面积-PPT课件

奥运会中所使用的排球的体积和表面积是 多少呢？
思考： （1）球的表面积：能否采用展开的方法，求球体 的表面积呢？
不能，球体无法展开为一个平面图形
（2）球的体积：给你一个半径为R的实心铁球， 如何测量该球的体积呢？
排水法
思考：当球的半径变化时，球的体积随之改变， 你是否每次都要这样测量呢？
探求：用数学方法探求球的体积与半径的关系。
R 3 a S 3 a2
2
把这个四棱锥补形为一个正方体
课堂小结
半径是R的球的体积： V 4 πR3
3
半径是R的球的表面积： S 4πR2
祖暅原理
分割
近似求和
取极限
在圆柱中挖去一个圆锥，得到的这个几何体的截面 就是一个圆环。
思考：
在同高处截这个构造的几何体与半球所得到的截面 面积相等吗？
R R
RR h
S圆环 R2 h2
R O
R
R O
1 2
V球
R3
1
3
R3
2
3
R3
R
V球 4 R3
3
（四）球的表面积公式的推导
第一步：分割
O
把球面分割成n个小网格，球 面被分为n “小球面片”，表
（三）方法与思想的起源
2、在我国，早在三国时期, 我国古代的数学家刘徽就提 出了“割圆术”。刘徽指出： "割之弥细，所失弥少．割 之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣!即 以圆内接正多边形的面积来 无限逼近圆的面积。
半径为R的球体的体积为：V 4 R3
3
半径为R的球体的表面积为：S 4 R2
R O
R R
（3）在同高处截圆柱和半球所得到的截面面积相等吗？
S 圆柱的截面 R2
R O
RR
（4）在同高处截圆台和半球所得到的截面面积相等吗？
（4）在同高处截圆锥和半球所得到的截面面积相等吗？
R O
R
h R
S S半球的截面 (R2 h2 ) 圆锥的截面 (R h)2
思考：圆柱、圆台、圆锥都不满足要求，那么究竟要 怎样组合这些几何体，才能使构造的几何体的截面面 积才等于半球的截面面积呢？
每个“准锥体”的体积之和与球 的体积有怎样的关系呢？
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 L Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗？ 可以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
棱锥的高无限接近球的半径。
所有“准锥体”的体积之和为
V
1 3
R(S1
S2
S3
...
Sn )
1 3
RS
又球的体积为：V 4 R3
3
4 R 3 1 RS , 从而S 4R 2
3
3
（三）方法与思想的起源
1、“分割-----近似求和-----取极限”这一数 学思想方法，最早提出来是柯西，而且后来 黎曼进一步发展，形成了积分理论，因此， 今天我们数学分析中的积分也叫柯西—黎曼 积分。
祖暅，子景烁，祖冲之之子， 南北朝时代的伟大科学家，于 5世纪末提出祖暅原理。
“幂势即同，则积不容异”
（一）球的体积的探究
探索与发现
1、祖暅原理： 夹在两个平行平面之间的两个几何
体，被平行于这两个平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等。
（1）两个等高的几何体 （2）在同高处所截得的截面的面积总相等 如何利用祖暅原理求出半径为R的半球的体积呢？
（四）公式的简单应用
例1:已知奥运会中所使用的
排球直径大约是20cm,则
它的表面积为(400 cm2 )
体积为( 4000 cm3 )
3
（四）公式的简单应用
例2：如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求： 1、球的体积等于圆柱体积的多少 倍？
2、球的表面积与圆柱的侧面积有怎样的关系？
R
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面 半径为R，高为2R。
（一）球的体积的探究
2、构造与半球体积相等的几何体：
提出问题：能否构造一个几何体，让这个几何体与 半球同高、等截面呢？
hR O
S半球的截面 (R2 h2 )
（1） 用一个与底面平行且离下底面的距离为 h(0 h R) 的平面截半球,所得到截面面积是多少呢？
（2）能不能构造一个与半球同高等底的几何体？
面积分别为：S1, S2, S3,L , Sn
则球的表面积：
S S1 S2 S3 L Sn
Si 把球心 O和每个“小球面片”的顶点
连接起来，整个球体就被分割成以这些“小
O
球面片”为底，球心为顶点的“准锥体”。
（四）球的表面积公式的推导
第一步：分割
设每个“准锥体”的体积分别为：
O
V1,V2 ,V3,L Vn
第三步：化为准确值
思考： 怎样提高这个近似值的精确度?
Si
Si
以平代曲 hi
O
Vi
O
分割的越细密，也就是每一个“小球面片”越小， “准锥体”就越接近棱锥，精确度就越高。
但只要分割份数是一个有限值，误差就一定存在， 得到的始终是一个近似值。
第三步：取极限
（3）那么怎样把这个近似值化为准确值呢？
让分割份数无限变大，由有限变到无限 “准锥体”无限接近棱锥，它们的底无限接近
hR O
S半球的截面 R2 h2
（5）能不能由这个代数式 ，联想到一个几何图形？ 圆环
于是可以考虑： 构造的几何体的截面是一个大圆挖去一个小圆
（6）可以构造一个怎样的几何体，使构造的几何体 的截面就是这样一个大圆挖小圆呢？
R
R
O
构造的几何体为:一个半径和高都等于R的圆柱， 挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆 锥后所得的几何体。
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
小棱锥的底近似取为：Si 高设为：hi
第二步：近似求和
O O
Si
Si
以平代曲 hi
Vi
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得：
V V1 V2 V3 L Vn
V
1 3
S1h1Biblioteka 1 3S2h21 3
S3h3
L
1 3
Sn
hn
球的体积的近似值。
因为
V球
4 3
πR3
V圆柱 πR2 2R 2 R3
（所2以），因为V球S球32V圆4柱 R 2
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
所以，S球 S圆柱侧
例3：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a cm，求球的体积。
D1B a2 a2 a2 3a
R 3a 2
V 3 a3
2
思考题：正方体 AC1 中 ，它的棱长是 a ，以底面 ABCD 为底，C1为顶点作四棱锥， 求这个四棱锥 外接球的表面积。